Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode

Streckungsfaktor $\textcolor{orange}{a}$

Die reelle Zahl $\textcolor{orange}{a}$, die in dieser Funktion als Streckungsfaktor auftritt, wirkt aich auf verschiedene Weisen auf den Verlauf der Funktion $y=sin   \textcolor{green}{b}x$ aus. Der Streckungsfaktor $\textcolor{orange}{a}$ streckt, staucht oder spiegelt. Wie sich dieser Faktor auswirkt, zeigen wir dir in der folgenden Abbildung:

Wir sehen an den verschiedenen Kosinusfunktionen die Wirkungen des Streckfaktors $a$ auf die Funktion $f(x)=sin x$.

Bei der blau gezeichneten Funktion $g(x)=3 sin⁡ x$ ist $a=3$. Diese Funktion ist gegenüber der grün gezeichneten Funktion gestreckt.
Bei der rot gezeichneten Funktion $h(x)=0,7 sin⁡ x$ ist $a=0,7$. Diese Funktion ist gegenüber der grün gezeichneten Funktion gestaucht.
Bei der lila gezeichneten Funktion $i(x)= -2sin ⁡x$ ist $a= -2$. Diese Funktion ist gegenüber der grün gezeichneten Funktion $f(x)=sin⁡ x$ zusätzlich gespiegelt.

Durch die Veränderung des Streckungsfaktors ändert sich auch der Wertebereich der Funktion.

Die Amplitude einer Schwingung. Die Amplitude ist gleich dem Betrag des Streckfaktors $a$.

Periode $\textcolor{green}{p}$ der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion verläuft periodisch, das heißt, dass sich die einzelnen Abschnitte der Funktion wieder und wieder wiederholen. Die Periode der Sinusfunktion wird hierbei der sich immer wieder wiederholende Abschnitt genannt. Wenn wir den Faktor $\textcolor{green}{b}$ der Funktion verändern, ändert sich auch die Länge der kleinsten Periode. Bei größerem Faktor $\textcolor{green}{b}$ wird die kleinste Periode der Funktion kürzer, bei kleinerem Faktor $\textcolor{green}{b}$ größer, bis hin zur Spiegelung der Funktion bei negativem Vorzeichen.

In der folgenden Abbildung haben wir die $\textcolor{blue}{blaue \;Sinusfunktion}$ unverändert gelassen, bei der $\textcolor{green}{grünen\; Funktion}$ den Faktor auf $0,5$ gesetzt und bei der $\textcolor{orange}{orangenen \;Funktion}$ den Faktor $2$ bzw. $-2$ gewählt. Die Funktion mit dem negativen Faktor haben wir zur besseren Übersichtlichkeit nach oben verschoben. Die kleinste Periode berechnet man mit der Formel $p = | \frac{2 \cdot \pi}{b} | $

Verschiedene Perioden von Sinusfunktionen

Für die blau gezeichnete Funktion gilt zum Beispiel:
$p = | \frac{2π}{b} | = | \frac{2π}{\frac{1}{2}} | = 4π$
Die Länge der kleinsten Periode ist $4π$.

Als allgemeine Gleichung einer Sinusfunktion wird oft $ f(x) = a sin (bx + c) + d$ bezeichnet.

Reelle Zahlen $a, b, c$ und $d$ haben folgende Effekte:

• $a$ streckt entlang der $y$-Achse
• $b$ beeinflusst die Periode
• $c$ verschiebt entlang der $x$-Achse
• $d$ verschiebt entlang der $y$-Achse

Ruhelage der Sinusfunktion

Ein weiterer Fachbegriff bei Sinusfunktionen beschreibt die Ruhelage. Diese stellt den Mittelwert zwischen Höchstpunkt und Tiefpunkt der Funktion dar. Sie wird als Gerade dargestellt. Bei keiner Verschiebung der Funktion in Richtung der y-Achse bildet die x-Achse die Ruhelage. 

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Viel Erfolg beim Lösen der Aufgaben!