Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
In diesem Lerntext werden wir dir die verschiedenen Begrifflichkeiten und Eigenschaften der allgemeinen Sinusfunktion erklären. Dabei gehen wir auf die verschiedenen Bedeutungen der Variablen der allgemeinen Sinusfunktion genauer ein und erklären dir diese.
Die allgemeine Sinusfunktion
Die Sinusfunktion ordnet jedem Winkel eine Streckenlänge zu. Wie das passiert, kannst Du in dem Lerntext Sinusfunktion und ihre Eigenschaften nachlesen. Nachfolgend erklären wir dir die Bedeutung der Variablen a und b in der Funktion:
$y\;=\;\textcolor{orange}{a}\;\cdot \sin(\textcolor{green}{b}\;\cdot x)$
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Streckungsfaktor $\textcolor{orange}{a}$
Die reelle Zahl $\textcolor{orange}{a}$, die in dieser Funktion als Streckungsfaktor auftritt, wirkt aich auf verschiedene Weisen auf den Verlauf der Funktion $y=sin \textcolor{green}{b}x$ aus. Der Streckungsfaktor $\textcolor{orange}{a}$ streckt, staucht oder spiegelt. Wie sich dieser Faktor auswirkt, zeigen wir dir in der folgenden Abbildung:
Wir sehen an den verschiedenen Kosinusfunktionen die Wirkungen des Streckfaktors $a$ auf die Funktion $f(x)=sin x$.
Bei der blau gezeichneten Funktion $g(x)=3 sin x$ ist $a=3$. Diese Funktion ist gegenüber der grün gezeichneten Funktion gestreckt.
Bei der rot gezeichneten Funktion $h(x)=0,7 sin x$ ist $a=0,7$. Diese Funktion ist gegenüber der grün gezeichneten Funktion gestaucht.
Bei der lila gezeichneten Funktion $i(x)= -2sin x$ ist $a= -2$. Diese Funktion ist gegenüber der grün gezeichneten Funktion $f(x)=sin x$ zusätzlich gespiegelt.
Gut zu wissen
Hinweis
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Ist $\textcolor{orange}{a}$ größer als 1 oder kleiner als -1, dann bewirkt $\textcolor{orange}{a}$ eine Streckung.
Liegt $\textcolor{orange}a$ zwischen -1 und 1, dann bewirkt $\textcolor{orange}a$ eine Stauchung.
Ist $\textcolor{orange}a$ negativ, so bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse
Durch die Veränderung des Streckungsfaktors ändert sich auch der Wertebereich der Funktion.
Merke
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Die Amplitude der Sinusfunktion wird "der größte Ausschlag nach oben und unten" genannt.
Die Variable $a$ bezeichnet den Streckungsfaktor. Dieser verändert die Amplitude und damit die Wertemenge.
Die Amplitude einer Schwingung. Die Amplitude ist gleich dem Betrag des Streckfaktors $a$.
Periode $\textcolor{green}{p}$ der Sinusfunktion
Die Sinusfunktion verläuft periodisch, das heißt, dass sich die einzelnen Abschnitte der Funktion wieder und wieder wiederholen. Die Periode der Sinusfunktion wird hierbei der sich immer wieder wiederholende Abschnitt genannt. Wenn wir den Faktor $\textcolor{green}{b}$ der Funktion verändern, ändert sich auch die Länge der kleinsten Periode. Bei größerem Faktor $\textcolor{green}{b}$ wird die kleinste Periode der Funktion kürzer, bei kleinerem Faktor $\textcolor{green}{b}$ größer, bis hin zur Spiegelung der Funktion bei negativem Vorzeichen. Die kleinste Periode berechnet man mit der Formel $p = | \frac{2 \cdot \pi}{b} | $
In der folgenden Abbildung haben wir die Funktionen $\textcolor{green}{f(x) = sin x}$ , $\textcolor{blue}{g(x) = sin (\frac{1}{2} x)}$ , $\textcolor{purple}{i(x) = sin (-2x)}$ und $\textcolor{red}{h(x) = sin (3x)}$ .
Verschiedene Perioden von Sinusfunktionen
Für die blau gezeichnete Funktion gilt zum Beispiel:
$p = | \frac{2π}{\textcolor{blue}{b}} | = | \frac{2π}{\textcolor{blue}{\frac{1}{2}}} | = 4π$
Die Länge der kleinsten Periode ist $4π$.
Merke
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Die Periode beschreibt den sich wiederholenden Abschnitt der Sinusfunktion. Er kann verlängert, verkürzt oder sogar gespiegelt werden, je nachdem wie der Faktor $\textcolor{green}{b}$ der Funktion aussieht.
Als allgemeine Gleichung einer Sinusfunktion wird oft $ f(x) = a sin (bx + c) + d$ bezeichnet.
Reelle Zahlen $a, b, c$ und $d$ haben folgende Effekte:
- $a$ streckt entlang der $y$-Achse
- $b$ beeinflusst die Periode
- $c$ verschiebt entlang der $x$-Achse
- $d$ verschiebt entlang der $y$-Achse
Ruhelage der Sinusfunktion
Ein weiterer Fachbegriff bei Sinusfunktionen beschreibt die Ruhelage. Diese stellt den Mittelwert zwischen Höchstpunkt und Tiefpunkt der Funktion dar. Sie wird als Gerade dargestellt. Bei keiner Verschiebung der Funktion in Richtung der y-Achse bildet die x-Achse die Ruhelage.
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Viel Erfolg beim Lösen der Aufgaben!
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Lektor: Frank Kreuzinger
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