In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der sogenannten Kurvendiskussion. Zu jeder beliebigen Funktion kann eine solche Kurvendiskussion durchgeführt werden. Die Ergebnisse der Kurvendiskussionen geben dann Informationen über den Verlauf und das Aussehen des Graphen.
Um eine Kurvendiskussion durchzuführen, können folgende Schritte der Reihe nach abgearbeitet werden:
Schritte bei einer Kurvendiskussion
Methode
- Definitionsmenge
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
- Symmetrieverhalten
- Verhalten im Unendlichen
- Monotonie und Extremwerte
- Krümmung und Wendepunkte
- Wertebereich und Graph
Die verschiedenen Schritte und auch die Reihenfolge können je nach Schulbuch variieren. Wir schauen uns diese Schritte nun genauer an:
1. Definitionsmenge
Die Definitionsmenge besteht aus allen Zahlen, die für die Variable $x$ eingesetzt werden dürfen.
Beispiel
$f(x) = x^2$
Welche Werte dürfen für $x$ eingesetzt werden? Es darf jede beliebige Zahl eingesetzt werden. $\rightarrow D_f= \mathbb{R} $
Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen.
Bei einem anderen Beispiel wird der Grund, wieso die Definitionsmenge bestimmt werden muss, deutlicher:
$g(x) = \sqrt{x}$
Wir wissen, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf. Daher dürfen für $x$ nur positive Zahlen oder die Zahl Null eingesetzt werden. Mathematisch formuliert bedeutet das: $D_f=\mathbb{R}^+$
2. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind zum einen die Schnittpunkte mit der x-Achse und zum anderen der Schnittpunkt mit der y-Achse. Bei den x-Werten der Schnittpunkte mit der x-Achse handelt es sich um die Nullstellen. Die Nullstellen berechnen wir, indem die Funktion gleich Null gesetzt wird ($f(x) = 0$) und den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem für die Variable Null eingesetzt wird ($x =0$).
Beispiel
Was sind die Schnittpunkte der Funktion $f(x)=x^{2}-3x+2$ mit den Koordinatenachsen?
1. Nullstellen
$f(x) = 0$
$f(x)=x^{2}-3x+2=0$
Mit der pq-Formel erhalten wir:
$x_1 = 1~~~~\wedge~~~~x_2 = 2$
Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind also $S_{x1}(1\mid0)$ und $S_{x2}(2\mid0)$.
2. Schnittpunkte mit der y-Achse
$x=0$
$f(0)=0^{2}-3\cdot0+2=2$
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also $S_{y}(0\mid2)$.
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3. Symmetrieverhalten
Eine Funktion kann zur y-Achse symmetrisch sein oder auch zum Ursprung. Um zu überprüfen, ob die Funktion solch ein Symmetrieverhalten zeigt, muss für alle Werte aus dem Definitionsbereich von $f$ Folgendes gelten:
Merke
- $f(-x) = f(x)$: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
- $f(-x) = -f(x)$: Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:
Beispiel
$f(x) = x^2$
Überprüfen wir, ob die Funktion achsensymmetrisch ist:
$(-x)^2 = x^2$ ist $\textcolor{green}{richtig}$ für alle $x$.
Also gilt $f(-x) = f(x)\rightarrow f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Ist die Funktion auch punktsymmetrisch?
$x^2= - (x^2)$ ist zum Beispiel $\textcolor{red}{falsch}$ für $x = 1$.
Also gilt nicht $f(-x) = -f(x)\rightarrow f$ ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
4. Verhalten im Unendlichen
Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, stellen wir uns die Funktion für eine sehr große und sehr kleine Variable vor.
Mathematisch wird dies dann so geschrieben: $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$ und $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)$
Beispiel
Betrachten wir das gleiche Beispiel wie gerade: $f(x) = x^2$
Je größer $x$ wird, desto größer wird der Funktionswert. Das bedeutet, dass die Funktionswerte für größer werdende x-Werte gegen plus unendlich laufen.
$\lim\limits_{x \to \infty}x^2=\infty $
Je kleiner $x$ wird, desto größer wird der Funktionswert. Die Funktionswerte gehen auch für kleiner werdende x-Werte gegen positiv unendlich.
$\lim\limits_{x \to -\infty}x^2=\infty $
5. Monotonie und Extremwerte
Das Monotonieverhalten sagt etwas über die Steigung der Funktion aus. An den Extremstellen ändert sich das Steigungsverhalten entweder von steigend zu fallend oder von fallend zu steigend.
Um einen Extrempunkt zu bestimmen, müssen wir die erste Ableitung bilden und diese gleich null setzen. Die mit der ersten Ableitung berechneten x-Werte können dann in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden, um die y-Koordinaten der Extrempunkte zu bestimmen.
Um zu bestimmen ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, bilden wir die zweite Ableitung und setzen den x-Wert ein:
Methode
Ist das Ergebnis größer Null liegt ein Tiefpunkt vor. Ist das Ergebnis kleiner null liegt ein Hochpunkt vor.
6. Krümmung und Wendepunkte
Eine Funktion kann entweder links- oder rechtsgekrümmt sein. Der Wendepunkt ist der Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.
Um den Wendepunkt zu bestimmen, muss die zweite Ableitung gleich null gesetzt werden. Die mit der zweiten Ableitung berechneten x-Werte können dann in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu bestimmen.
Methode
Wenn $f''(x) > 0$ ist, ist die Funktion linksgekrümmt.
Ist $f''(x) < 0$, ist die Funktion rechtsgekrümmt.
7. Wertebereich und Graph
Im letzten Schritt bestimmen wir den Wertebereich. Das bedeutet, dass wir die Werte bestimmen, die der Funktionswert annehmen kann. Dann können wir mit allen berechneten Punkten, den Graph skizzieren. Für $f(x)=x^2$ bedeutet es, dass die y-Werte alle positiven reellen Zahlen sowie die Zahl Null annehmen können. Mathematisch formuliert bedeutet das: $W_f=\mathbb{R}^+$
Nun hast du eine Übersicht über die Vorgehensweise einer Kurvendiskussion bekommen. Als kleine Hilfe stellen wir dir eine Übersichtsseite zum Herunterladen zur Verfügung. Hier kannst du dir eine Beispielaufgabe anschauen. Außerdem kannst du dein Wissen mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!
Video: Fabian Serwitzki
Text: Chantal Rölle
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)
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