Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Funktionen Grundlagen zum Thema Funktionen Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt

Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der sogenannten Kurvendiskussion. Zu jeder beliebigen Funktion kann eine solche Kurvendiskussion durchgeführt werden. Die Ergebnisse der Kurvendiskussionen geben dann Informationen über den Verlauf und das Aussehen des Graphen

Um eine Kurvendiskussion durchzuführen, können folgende Schritte der Reihe nach abgearbeitet werden:

Schritte bei einer Kurvendiskussion

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen
  1. Definitionsmenge
  2. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  3. Symmetrieverhalten
  4. Verhalten im Unendlichen
  5. Monotonie und Extremwerte
  6. Krümmung und Wendepunkte
  7. Wertebereich und Graph

Die verschiedenen Schritte und auch die Reihenfolge können je nach Schulbuch variieren. Wir schauen uns diese Schritte nun genauer an:

1. Definitionsmenge

Die Definitionsmenge besteht aus allen Zahlen, die für die Variable $x$ eingesetzt werden dürfen.

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x) = x^2$

Welche Werte dürfen für $x$ eingesetzt werden? Es darf jede beliebige Zahl eingesetzt werden. $\rightarrow D_f= \mathbb{R} $

Der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen.

Bei einem anderen Beispiel wird der Grund, wieso die Definitionsmenge bestimmt werden muss, deutlicher:

$g(x) = \sqrt{x}$

Wir wissen, dass unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf. Daher dürfen für $x$ nur positive Zahlen oder die Zahl Null eingesetzt werden. Mathematisch formuliert bedeutet das: $D_f=\mathbb{R}^+$

2. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind zum einen die Schnittpunkte mit der x-Achse und zum anderen der Schnittpunkt mit der y-Achse. Bei den x-Werten der Schnittpunkte mit der x-Achse handelt es sich um die Nullstellen. Die Nullstellen berechnen wir, indem die Funktion gleich Null gesetzt wird ($f(x) = 0$) und den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem für die Variable Null eingesetzt wird ($x =0$).

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Was sind die Schnittpunkte der Funktion $f(x)=x^{2}-3x+2$ mit den Koordinatenachsen?

1. Nullstellen 

$f(x) = 0$

$f(x)=x^{2}-3x+2=0$

Mit der pq-Formel erhalten wir:

$x_1 = 1~~~~\wedge~~~~x_2 = 2$   

Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind also $S_{x1}(1\mid0)$ und $S_{x2}(2\mid0)$.

2. Schnittpunkte mit der y-Achse

$x=0$

$f(0)=0^{2}-3\cdot0+2=2$

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist also $S_{y}(0\mid2)$.

3. Symmetrieverhalten

Eine Funktion kann zur y-Achse symmetrisch sein oder auch zum Ursprung. Um zu überprüfen, ob die Funktion solch ein Symmetrieverhalten zeigt, muss für alle Werte aus dem Definitionsbereich von $f$ Folgendes gelten:

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen
  • $f(-x) = f(x)$: Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse. 
  • $f(-x) = -f(x)$: Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x) = x^2$

Überprüfen wir, ob die Funktion achsensymmetrisch ist:

$(-x)^2 = x^2$ ist $\textcolor{green}{richtig}$ für alle $x$.
Also gilt $f(-x) = f(x)\rightarrow f$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Ist die Funktion auch punktsymmetrisch?

$x^2= - (x^2)$ ist zum Beispiel $\textcolor{red}{falsch}$ für $x = 1$.
Also gilt nicht $f(-x) = -f(x)\rightarrow f$ ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

4. Verhalten im Unendlichen

Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, stellen wir uns die Funktion für eine sehr große und sehr kleine Variable vor.

Mathematisch wird dies dann so geschrieben: $\lim\limits_{x \to \infty} f(x)$ und $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)$

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Betrachten wir das gleiche Beispiel wie gerade: $f(x) = x^2$

Je größer $x$ wird, desto größer wird der Funktionswert. Das bedeutet, dass die Funktionswerte für größer werdende x-Werte gegen plus unendlich laufen.

$\lim\limits_{x \to \infty}x^2=\infty $

Je kleiner $x$ wird, desto größer wird der Funktionswert. Die Funktionswerte gehen auch für kleiner werdende x-Werte gegen positiv unendlich.

$\lim\limits_{x \to -\infty}x^2=\infty $

5. Monotonie und Extremwerte

Das Monotonieverhalten sagt etwas über die Steigung der Funktion aus. An den Extremstellen ändert sich das Steigungsverhalten entweder von steigend zu fallend oder von fallend zu steigend.

Um einen Extrempunkt zu bestimmen, müssen wir die erste Ableitung bilden und diese gleich null setzen. Die mit der ersten Ableitung berechneten x-Werte können dann in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden, um die y-Koordinaten der Extrempunkte zu bestimmen.

Um zu bestimmen ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt, bilden wir die zweite Ableitung und setzen den x-Wert ein:

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Ist das Ergebnis größer Null liegt ein Tiefpunkt vor. Ist das Ergebnis kleiner null liegt ein Hochpunkt vor.

6. Krümmung und Wendepunkte

Eine Funktion kann entweder links- oder rechtsgekrümmt sein. Der Wendepunkt ist der Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.

Um den Wendepunkt zu bestimmen, muss die zweite Ableitung gleich null gesetzt werden. Die mit der zweiten Ableitung berechneten x-Werte können dann in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu bestimmen.

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Wenn $f''(x) > 0$ ist, ist die Funktion linksgekrümmt.

Ist $f''(x) < 0$, ist die Funktion rechtsgekrümmt.

7. Wertebereich und Graph

Im letzten Schritt bestimmen wir den Wertebereich. Das bedeutet, dass wir die Werte bestimmen, die der Funktionswert annehmen kann. Dann können wir mit allen berechneten Punkten, den Graph skizzieren. Für $f(x)=x^2$ bedeutet es, dass die y-Werte alle positiven reellen Zahlen sowie die Zahl Null annehmen können. Mathematisch formuliert bedeutet das: $W_f=\mathbb{R}^+$

Nun hast du eine Übersicht über die Vorgehensweise einer Kurvendiskussion bekommen. Als kleine Hilfe stellen wir dir eine Übersichtsseite zum Herunterladen zur Verfügung. Hier kannst du dir eine Beispielaufgabe anschauen. Außerdem kannst du dein Wissen mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!

Video: Fabian Serwitzki

Text: Chantal Rölle

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Du brauchst Hilfe? Frag einen Lehrer!

Lehrer jetzt sofort fragen

Wende dich direkt online ohne Termin per Video-Chat an einen unserer Lehrer der Mathematik-Hausaufgabenhilfe, täglich zwischen 14-21 Uhr.

Jetzt kostenlos fragen

Lehrer zum Wunschtermin fragen

Vereinbare einen Termin bei einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe-Online

Gratis Probestunde online

Du möchtest lieber einen Lehrer in einer unserer Nachhilfe-Schulen fragen? Dann wähle hier deine nächstgelegene Mathematik-Nachhilfe-Schule aus.

Gratis Probestunde vor Ort
TESTE KOSTENLOS UNSER SELBST-LERN-PORTAL:
  • Über 600 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
7752