Lineares Wachstum und lineare Abnahme

Ein Schwimmbecken wird mit Wasser gefüllt. Am Anfang ist das Becken leer. Pro Minute laufen nun $20~l$ Wasser in das Becken. Das Schwimmbecken fasst insgesamt $54.000~l$.

Fragen:

1. Wie viel Wasser befindet sich nach einer Stunde in dem Becken?

2. Nach welcher Zeit ist das Becken vollständig mit Wasser gefüllt?

Antworten:

Als erstes müssen wir die Funktionsgleichung aufstellen:

$N(t) = 0 + 20  \cdot t $

Dabei ist $t$ die Zeit in Minuten und $N(t)$ die Wassermenge in Litern.
Mit dieser Gleichung kann nun die Wassermenge zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden. Mit dieser Gleichung kann auch berechnet werden, wie lange es dauert, bis eine bestimmte Wassermenge in dem Becken ist.

1. $N(60) = 20  \cdot 60 = 1200$

Nach $60$ Minuten sind $1.200~ l$ Wasser in dem Schwimmbecken.

2. $N(t) $ muss $54.000~l$ betragen:

$54000 = 20  \cdot t $

$t =\frac{54000}{20} = 2700~min$

Nach $2.700$ Minuten (45 Stunden) ist das Becken vollständig mit Wasser gefüllt.

Anka hat $50$ € zu Weihnachten geschenkt bekommen. Sie liebt Rosinenschnecken und kauft sich daher von dem Geld jede Woche eine. Eine Rosinenschnecke kostet $2$ €.

Fragen:

1. Nach wie vielen Monaten ist das Geld aufgebraucht? 

2. Wie viel Geld ist nach acht Wochen noch übrig?

Antworten:

Wir müssen als erstes die Gleichung für den Sachverhalt aufstellen. Der Anfangswert beträgt $50$ € und die Änderungsrate ist $-2$ € je Woche:

$N(t) = 50 -2 \cdot t$

Dabei ist $t$ die Zeit und wird in Wochen angegeben und $N(t)$ ist der Geldbetrag in Euro.

1. Wenn das Geld aufgebraucht ist, gilt: $N(t) = 0$
Wir ersetzen also $N(t)$ durch $0$ und formen die Gleichung dann nach $t$ um:

$0 = 50 - 2\cdot t$

$t = \frac{-50}{-2} = 25$

Nach $25$ Wochen, also nach ca. $6$ Monaten, ist das Geld aufgebraucht.

2. Um den Geldbetrag nach acht Wochen zu ermitteln, müssen wir für $t$ den Wert $8$ einsetzen:

$N(8) = 50 - 2\cdot 8 = 34 $

Nach acht Wochen sind noch $34$ € übrig.