Mathematik > Funktionen

Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Text erklären wir dir, was monoton steigend bzw. fallend ist und wie du mithilfe einer Funktionsgleichung herausfinden kannst, an welchen Stellen die Funktion steigt bzw. fällt.

Definition: Monotonie einer Funktion

Die Monotonie beschreibt den Verlauf einer Funktion. Das Monotonieverhalten beschreibt, ob der Graph der Funktion steigt, fällt oder konstant verläuft. Somit hat die Monotonie viel mit der Steigung der Funktion zu tun.
Es gibt Funktionen, die ausschließlich monoton steigend/ zunehmend /wachsend sind und Funktionen, die ausschließlich monoton fallend/ abnehmend sind. 
Wichtig ist hierbei, dass Monotonie nur für einen Teil des Definitionsbereiches betrachtet wird, in dem die Funktion stetig ist. Das bedeutet für uns, dass man den Graph der Funktion zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen.

monotomie

Abbildung: streng monoton steigende Funktion und streng monoton fallende Funktion

Monoton steigende Funktionen

Bei streng monoton steigenden Funktionen steigt der $y$-Wert, der Funktionswert $f(x)$, mit dem $x$-Wert. Das heißt, wenn der $x$-Wert größer wird, wir auch der $y$-Wert größer. Dies bedeutet mit anderen Worten, dass die Funktion an jeder Stelle steigt.

Merke

Merke

streng monoton steigend:

$x_1 < x_2   →   f(x_1) < f(x_2)$

In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner ist als $x_2$, also der $x$-Wert größer wird, dann ist auch der Funktionswert von $x_1$ kleiner als der Funktionswert von $x_2$, also auch der $y$-Wert wird größer.

Wenn $f '(x) > 0$, so verläuft eine Funktion streng monoton steigend. Wenn also für den $x$-Wert die erste Ableitung ein positiver Wert ist, dann ist die Funktion an dieser Stelle streng monoton wachsend.

Die Ableitung ist größer als null. Egal, welchen $x$-Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv.

Es gibt auch Funktionen, die nur monoton steigend sind, nicht streng monoton steigend. Diese Funktionen steigen nicht an jedem Punkt an, sondern verlaufen zum Teil auch gerade, also parallel zur $x$-Achse. Jedoch dürfen sie nicht fallen. Eine solche Funktion könnte dann zum Beispiel so aussehen:

monotomie_steigend

Abbildung: monoton steigende Funktion

Die Funktion steigt entweder oder verläuft konstant, parallel zur $x$-Achse. Die Steigung der Funktion ist also entweder positiv oder null. Wenn der $x$-Wert größer wird, wird der $y$-Wert also entweder größer oder bleibt unverändert.
Eine so konstruierte Funktion dürfte dir in deinem Schulalltag nur sehr selten begegnen.
Grundsätzlich gilt für Funktionen: Eine Funktion, die nicht abschnittsweise definiert (praktisch konstruiert) ist, hat entweder nur geradlinige oder nirgendwo geradlinige Achsen.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

monoton steigend:

$x_1 < x_2   →   f(x_1) ≤ f(x_2)$

In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner ist als $x_2$, also der $x$-Wert steigt, dann ist auch der Funktionswert von $x_1$ kleiner oder gleich dem Funktionswert von $x_2$.

Wenn eine Funktion monoton steigend verläuft, gilt:

$f '(x) \ge 0$

Die Ableitung ist größer als null oder gleich null. Die Steigung wird also nicht negativ. Egal, welchen $x$-Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv oder gleich null.

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Monoton fallende Funktionen

Bei streng monoton fallenden Funktionen nimmt der $y$-Wert ($f(x)$) ab, wenn der $x$-Wert größer wird.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

streng monoton fallend:

$x_1 < x_2   →   f(x_1) > f(x_2)$

In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner ist als $x_2$ ist, also der $x$-Wert größer wird, dann wird der $y$-Wert kleiner. Also ist der Funktionswert von $x_2$ kleiner als der Funktionswert von $x_1$.

Wenn $f '(x) < 0$, so verläuft eine Funktion streng monoton fallend. Wenn also für den $x$-Wert die erste Ableitung ein negativer Wert ist, dann ist die Funktion an dieser Stelle streng monoton fallend.
Die Reihenfolge ist bei einer sogenannten Implikation (Wenn – dann – Beziehung) wichtig.

Auch bei den monoton fallenden Funktionen gibt es Funktionen, die nicht als streng monoton fallend bezeichnet werden können. Dies sind dann Funktionen, die entweder fallend oder konstant, parallel zur $x$-Achse, verlaufen.
Stell dir die oben gezeigte Funktion mit dem geradlinigen Teil als Spiegelbild an der x-Achse vor und du hast einen Graphen, der monoton fallend, aber nicht streng monoton fallend für alle x-Werte ist.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

monoton fallend:

$x_1 < x_2   →   f(x_1) ≥ f(x_2)$

In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner als $x_2$, also der $x$-Wert steigt, dann wird der $y$-Wert kleiner oder bleibt unverändert. Also ist der Funktionswert von $x_1$ größer oder gleich dem Funktionswert von $x_2$.

Wenn eine Funktion monoton fallend verläuft, gilt:

$f '(x) \le 0$

Die Ableitung ist kleiner oder gleich null. Mit anderen Worten ist die Steigung an keinem Punkt positiv. Egal, welchen $x$-Wert man in die Ableitung einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer negativ oder null.

Monotonie-Intervalle

Es gibt viele Funktionen, deren Graphen weder durchgehend steigen noch durchgehend fallen. Dies sind Funktionen, deren Monotonieverhalten sich entlang des Graphen verändert. Das Monotonieverhalten solcher Funktionen muss dann abschnittsweise untersucht werden.
Die Funktion $f(x) = x^2$ ist für alle positiven $x$-Werte, also für alle $x ≥ 0$, streng monoton fallend.
Monotonie-Intervalle:
$-∞ < x ≤ 0$     → $f$ ist streng monoton fallend
$0 ≤ x < ∞$       → $f$ ist streng monoton steigend

monotonie_unterteilung

Abbildung: Funktion unterteilt in zwei Intervalle

Monotonieverhalten bestimmen

Um das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen zu können, müssen wir die Funktion ableiten. Die Ableitungsregeln und die Vorgehensweise findest du hier nochmal zusammengefasst: Ableitungsregeln

Es gibt verschiedene Vorgehensweisen, um das Monotonieverhalten zu bestimmen. Eine relativ einfache Methode basiert auf der ersten und zweiten Ableitung der Funktion.

Vorgehensweise:

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

  1. Die erste und zweite Ableitung bilden.
  2. Die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen.
  3. Art des Extremums mithilfe der zweiten Ableitung bestimmen.
  4. Interpretation.

Beispielaufgabe

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Die Funktion $f(x) = -5 x^2 -3$ ist gegeben.

1. $f ' (x) = -10 x$
$~f '' (x) = -10 $

2. $f '(x) = 0 ~~~\rightarrow~~~0= -10 x~~~ \rightarrow ~~~x=0$

3. Die Art des Extremums wird bestimmt, indem die Nullstelle der ersten Ableitung in die zweite Ableitung eingesetzt wird. Wenn das Ergebnis negativ ist, besitzt die Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt, wenn das Ergebnis positiv ist, besitzt die Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt.

$f ''(0) = -10$

4. Die Funktion besitzt bei $x=0$ einen Hochpunkt. Das bedeutet, dass die Funktion links von diesem Punkt steigen muss und rechts von diesem Punkt fallen muss. Also:

Für $x = 0$ ist die Funktion sowohl streng monoton wachsend als auch fallend, je nachdem, von wo aus man den Sachverhalt betrachtet.

In den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Lektor: Frank Kreuzinger

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion.

$f(x) = x^3 -3 x^2+5x$

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Teste dein Wissen!

Kennzeichne die Beschreibungen, die fehlerhaft sind.

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie bestimmt man die Monotonie einer Funktion? Markiere die richtige Reihenfolge der Arbeitsschritte.

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Welche Angaben über die folgende Funktion sind korrekt? Achte dabei auf die verschiedenen Intervalle.

$f(x) =- 3 x^4 -5x^2$

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis!

Selbst-Lernportal Online

Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!

  • Online-Chat 14-20 Uhr
  • 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungsaufgaben

Jetzt kostenlos entdecken

Einzelnachhilfe Online

Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!

Gratis Probestunde

Nachhilfe in deiner Nähe

Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

Gratis Probestunde

Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

23.08.2022
Sehr schnell Nachhilfestunden bekommen und Kind konnte den Lehrer bestimmen mit dem das Kind sich wohl fühlte
16.08.2022
Netter Kontakt, super Nachhilfe Lehrer. Die noten meines Kindes hat sich im halben Jahr super verbessert....
12.08.2022 , von Eva B.
Meine Tochter hätte es ohne die exzellente Nachhilfe beim Studienkreis in Mathe und Physik nicht geschafft, Zensuren zu erreichen, die eine Versetzung erlauben.
Mathematik > Funktionen

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

funktionsgleichung-bestimmen-1
Quadratische Funktionen bestimmen leicht gemacht
Normalparabel nach unten verschoben um 3
Wie verschiebt man eine Normalparabel?
quadratische-funktion-11
Quadratische Funktionen: Nullstellen berechnen Mitternachtsformel, abc-Formel
Br?cke
Quadratische Funktionen zeichnen
Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Bitte Beschreibung eingeben
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung lösen
Quadratischen Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform
p-q-formel-3
Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's!
textaufgabe-1
Quadratische Funktionen: Aufgaben mit Lösungen
gestreckte_und_gestauchte_funktion
Was ist eine quadratische Funktion?
vergleich
Streckung und Stauchung einer Normalparabel
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
Potenzfunktion $\large{x^{-4}}$
Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
Potenzfunktion x hoch 8/3
Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
funktion_x_hoch_2
Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt
Potenzfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren
Potenzfunktionen zeichnen
Wurzelfunktion f(x) = \sqrt x
Was ist eine Wurzelfunktion? - Erklärungen
Bitte Beschreibung eingeben
Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht
Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
Funktionen mit der Faktorregel ableiten
Funktionen mit der Potenzregel ableiten
Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden
Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben
ableitung
Ableitung: Bedeutung im Sachzusammenhang
Wie wende ich die Kettenregel an?
Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln
Funktionen mit der Quotientenregel ableiten
Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln
exponentialfunktion-2-hoch-x
Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben
Logarithmusfunktionen log, ln, lg
Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften
e-Funktion
Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt
funktion_linearer_wachstum
Lineares Wachstum und lineare Abnahme
funktion_bakterien
Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
koordinatensystem
Achsenschnittpunkte von Funktionen berechnen
Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt
Umkehrfunktion2
Wie bildet man eine Umkehrfunktion?
koordinatensystem
Was ist eine mathematische Funktion?
asymptote
Was sind senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten?
beispiel-lineare-funnktion
Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften
kurvendiskussion_beispiel
Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
monotomie
Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
tangente
Tangentengleichung bestimmen einfach erklärt
Die Kosinusfunktion
Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften
Kosinusfaktor mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Periode einer Sinuskurve
Sinusfunktion und ihre Eigenschaften
Sinusfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Kartesisches Koordinatensystem
Kartesisches Koordinatensystem
Wertetabelle
Wertetabellen erstellen
ablesen-5a
Lineare Funktion bestimmen mithilfe von zwei Punkten
ablesen-2
Lineare Funktion bestimmen mithilfe eines Steigungsdreiecks
beispiel-lineare-funnktion1
Lineare Funktionen - So löst du eine Textaufgabe!
Schnittwinkel zweier linearer Funktionen
Schnittwinkel zweier linearer Funktionen berechnen
steigungsdreick-1a
Steigung einer linearen Funktion bestimmen- Steigungsdreieck
zeichnen-a
So zeichnest du eine lineare Funktion!
beispiel-lineare-funnktion
Lineare Funktionen - Definition und Erklärung
nullstelle-1
Nullstelle einer linearen Funktion bestimmen
schnittpunkte-2a
Schnittpunkt zweier linearer Funktionen berechnen
Eine lineare Funktion und ihre Umkehrfunktion.
Umkehrfunktion einer linearen Funktion berechnen
ablesen-4
y-Achsenabschnitt/Ordinatenabschnitt berechnen
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig

Wir benötigen deine Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um den am besten geeigneten Lehrer zu ermitteln. Deine Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir dir telefonisch stellen könnten:

  • "Für welche Tage und Uhrzeiten wünschst du Nachhilfe?"
  • "In welchem Fach und bei welchen Themen wird Unterstützung benötigt?"
Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 gratis Probestunden & unverbindliche Beratung

In einem unverbindlichen Beratungsgespräch lernen wir uns kennen und Ihr Kind kann unsere Profi-Nachhilfe in 2 Probestunden gratis testen.

1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Finden Sie den Studienkreis in Ihrer Nähe!
Geben Sie hier Ihre PLZ oder Ihren Ort ein.

Füllen Sie einfach das Formular aus. Den Gutschein sowie die Kontaktdaten des Studienkreises in Ihrer Nähe erhalten Sie per E-Mail. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis setzt sich mit Ihnen in Verbindung und berät Sie gerne!

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
8555