Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
In diesem Text erklären wir dir, was monoton steigend bzw. fallend ist und wie du mithilfe einer Funktionsgleichung herausfinden kannst, an welchen Stellen die Funktion steigt bzw. fällt.
Definition: Monotonie einer Funktion
Die Monotonie beschreibt den Verlauf einer Funktion. Das Monotonieverhalten beschreibt, ob der Graph der Funktion steigt, fällt oder konstant verläuft. Somit hat die Monotonie viel mit der Steigung der Funktion zu tun.
Es gibt Funktionen, die ausschließlich monoton steigend/ zunehmend /wachsend sind und Funktionen, die ausschließlich monoton fallend/ abnehmend sind.
Wichtig ist hierbei, dass Monotonie nur für einen Teil des Definitionsbereiches betrachtet wird, in dem die Funktion stetig ist. Das bedeutet für uns, dass man den Graph der Funktion zeichnen kann, ohne den Stift abzusetzen.
Abbildung: streng monoton steigende Funktion und streng monoton fallende Funktion
Monoton steigende Funktionen
Bei streng monoton steigenden Funktionen steigt der $y$-Wert, der Funktionswert $f(x)$, mit dem $x$-Wert. Das heißt, wenn der $x$-Wert größer wird, wir auch der $y$-Wert größer. Dies bedeutet mit anderen Worten, dass die Funktion an jeder Stelle steigt.
Merke
streng monoton steigend:
$x_1 < x_2 → f(x_1) < f(x_2)$
In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner ist als $x_2$, also der $x$-Wert größer wird, dann ist auch der Funktionswert von $x_1$ kleiner als der Funktionswert von $x_2$, also auch der $y$-Wert wird größer.
Wenn $f '(x) > 0$, so verläuft eine Funktion streng monoton steigend. Wenn also für den $x$-Wert die erste Ableitung ein positiver Wert ist, dann ist die Funktion an dieser Stelle streng monoton wachsend.
Die Ableitung ist größer als null. Egal, welchen $x$-Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv.
Es gibt auch Funktionen, die nur monoton steigend sind, nicht streng monoton steigend. Diese Funktionen steigen nicht an jedem Punkt an, sondern verlaufen zum Teil auch gerade, also parallel zur $x$-Achse. Jedoch dürfen sie nicht fallen. Eine solche Funktion könnte dann zum Beispiel so aussehen:
Abbildung: monoton steigende Funktion
Die Funktion steigt entweder oder verläuft konstant, parallel zur $x$-Achse. Die Steigung der Funktion ist also entweder positiv oder null. Wenn der $x$-Wert größer wird, wird der $y$-Wert also entweder größer oder bleibt unverändert.
Eine so konstruierte Funktion dürfte dir in deinem Schulalltag nur sehr selten begegnen.
Grundsätzlich gilt für Funktionen: Eine Funktion, die nicht abschnittsweise definiert (praktisch konstruiert) ist, hat entweder nur geradlinige oder nirgendwo geradlinige Achsen.
Merke
monoton steigend:
$x_1 < x_2 → f(x_1) ≤ f(x_2)$
In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner ist als $x_2$, also der $x$-Wert steigt, dann ist auch der Funktionswert von $x_1$ kleiner oder gleich dem Funktionswert von $x_2$.
Wenn eine Funktion monoton steigend verläuft, gilt:
$f '(x) \ge 0$
Die Ableitung ist größer als null oder gleich null. Die Steigung wird also nicht negativ. Egal, welchen $x$-Wert man einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer positiv oder gleich null.
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Monoton fallende Funktionen
Bei streng monoton fallenden Funktionen nimmt der $y$-Wert ($f(x)$) ab, wenn der $x$-Wert größer wird.
Merke
streng monoton fallend:
$x_1 < x_2 → f(x_1) > f(x_2)$
In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner ist als $x_2$ ist, also der $x$-Wert größer wird, dann wird der $y$-Wert kleiner. Also ist der Funktionswert von $x_2$ kleiner als der Funktionswert von $x_1$.
Wenn $f '(x) < 0$, so verläuft eine Funktion streng monoton fallend. Wenn also für den $x$-Wert die erste Ableitung ein negativer Wert ist, dann ist die Funktion an dieser Stelle streng monoton fallend.
Die Reihenfolge ist bei einer sogenannten Implikation (Wenn – dann – Beziehung) wichtig.
Auch bei den monoton fallenden Funktionen gibt es Funktionen, die nicht als streng monoton fallend bezeichnet werden können. Dies sind dann Funktionen, die entweder fallend oder konstant, parallel zur $x$-Achse, verlaufen.
Stell dir die oben gezeigte Funktion mit dem geradlinigen Teil als Spiegelbild an der x-Achse vor und du hast einen Graphen, der monoton fallend, aber nicht streng monoton fallend für alle x-Werte ist.
Merke
monoton fallend:
$x_1 < x_2 → f(x_1) ≥ f(x_2)$
In Worten erklärt bedeutet dies, dass wenn $x_1$ kleiner als $x_2$, also der $x$-Wert steigt, dann wird der $y$-Wert kleiner oder bleibt unverändert. Also ist der Funktionswert von $x_1$ größer oder gleich dem Funktionswert von $x_2$.
Wenn eine Funktion monoton fallend verläuft, gilt:
$f '(x) \le 0$
Die Ableitung ist kleiner oder gleich null. Mit anderen Worten ist die Steigung an keinem Punkt positiv. Egal, welchen $x$-Wert man in die Ableitung einsetzt, das Ergebnis der Ableitung ist immer negativ oder null.
Monotonie-Intervalle
Es gibt viele Funktionen, deren Graphen weder durchgehend steigen noch durchgehend fallen. Dies sind Funktionen, deren Monotonieverhalten sich entlang des Graphen verändert. Das Monotonieverhalten solcher Funktionen muss dann abschnittsweise untersucht werden.
Die Funktion $f(x) = x^2$ ist für alle positiven $x$-Werte, also für alle $x ≥ 0$, streng monoton fallend.
Monotonie-Intervalle:
$-∞ < x ≤ 0$ → $f$ ist streng monoton fallend
$0 ≤ x < ∞$ → $f$ ist streng monoton steigend
Abbildung: Funktion unterteilt in zwei Intervalle
Monotonieverhalten bestimmen
Um das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmen zu können, müssen wir die Funktion ableiten. Die Ableitungsregeln und die Vorgehensweise findest du hier nochmal zusammengefasst: Ableitungsregeln
Es gibt verschiedene Vorgehensweisen, um das Monotonieverhalten zu bestimmen. Eine relativ einfache Methode basiert auf der ersten und zweiten Ableitung der Funktion.
Vorgehensweise:
Methode
- Die erste und zweite Ableitung bilden.
- Die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen.
- Art des Extremums mithilfe der zweiten Ableitung bestimmen.
- Interpretation.
Beispielaufgabe
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel
Die Funktion $f(x) = -5 x^2 -3$ ist gegeben.
1. $f ' (x) = -10 x$
$~f '' (x) = -10 $
2. $f '(x) = 0 ~~~\rightarrow~~~0= -10 x~~~ \rightarrow ~~~x=0$
3. Die Art des Extremums wird bestimmt, indem die Nullstelle der ersten Ableitung in die zweite Ableitung eingesetzt wird. Wenn das Ergebnis negativ ist, besitzt die Funktion an dieser Stelle einen Hochpunkt, wenn das Ergebnis positiv ist, besitzt die Funktion an dieser Stelle einen Tiefpunkt.
$f ''(0) = -10$
4. Die Funktion besitzt bei $x=0$ einen Hochpunkt. Das bedeutet, dass die Funktion links von diesem Punkt steigen muss und rechts von diesem Punkt fallen muss. Also:
Für $x = 0$ ist die Funktion sowohl streng monoton wachsend als auch fallend, je nachdem, von wo aus man den Sachverhalt betrachtet.
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Video: Simon Wirth
Text: Chantal Rölle
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Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)
Teste dein Wissen!
Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion.
$f(x) = x^3 -3 x^2+5x$
Kennzeichne die Beschreibungen, die fehlerhaft sind.
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