Streckung und Stauchung einer Normalparabel

Streckung einer Parabel

Wenn der Faktor vor dem $x^2$ größer als $1$ oder kleiner als $-1$ ist, wird die Funktion gestreckt. Dies kann man sich relativ einfach erklären: Die Normalparabel hat den Streckfaktor $1$ ($f(x) = x^2$); daraus ergeben sich folgende Punkte, die auf der Normalparabel liegen:

$1^2 = 1$ $\rightarrow $ P(1/1)
$2^2 = 4$ $\rightarrow $ Q(2/4)
$3^2 = 9$ $\rightarrow $ R(3/9)

Jede Quadratzahl wird nun mit $a$ multipliziert.

Nehmen wir an, der Faktor vor dem $x^2$ beträgt $3$. Dann wird jede Quadratzahl mit $3$ multipliziert. In diese Funktion $f(x) = 3·x^2$ setzen wir nun die ersten x-Werte ein:

$3 · 1^2 = 3 · 1 = 3$ $\rightarrow $ P(1/3)
$3 · 2^2 = 3 · 4 = 12$ $\rightarrow $ P(2/12)
$3 · 3^2 = 3 · 9 = 27$ $\rightarrow $ P(3/27)

Dabei musst du darauf achten, dass immer zuerst die Quadratzahl ausgerechnet wird. Danach wird die Quadratzahl mit $a$ multipliziert, nicht umgekehrt!

Abbildung: zwei quadratische Funktionen

Die linke Funktion ist um den Faktor $3$ gestreckt, die rechte Funktion ist die Normalparabel. Siehst du den Unterschied?

Wie du siehst, ist die linke Funktion nach $_"$oben gezogen$"$ (gestreckt). 

Stauchung einer Parabel

Wenn wir als Faktor vor dem $x^2$ eine Zahl stehen haben, die zwischen $-1$ und $1$ liegt, wird die Funktion gestaucht oder anders gesagt $_"$zusammengedrückt$"$. 

Wenn wir nun eine Zahl vor dem $x^2$ stehen haben, werden die Quadratzahlen mit diesem Wert multipliziert.

Nehmen wir an, der Faktor vor dem $x^2$ beträgt $0,2$. Dann wird jede Quadratzahl mit $0,2$ multipliziert.
In diese Funktion $f(x) = 0,2·x^2$ setzen wir nun die ersten x-Werte ein:

$0,2 · 1^2 = 0,2 · 1 = 0,2$ $\rightarrow $ P(1/0,2)
$0,2 · 2^2 = 0,2 · 4 = 0,8$ $\rightarrow $ P(2/0,8)
$0,2 · 3^2 = 0,2 · 9 = 1,8$ $\rightarrow $ P(3/1,8)

Wie du siehst, steigt der Graph weniger steil als bei der Normalparabel und sieht so aus:

Die Funktion sieht so aus, als hätte sie jemand zusammengedrückt (gestaucht).

Quadratische Funktionen nach unten geöffnet

Eine Funktion ist nach unten geöffnet, wenn der Faktor vor dem $x^2$ negativ ist. Denn wenn wir vor das $x^2$ einen negativen Faktor setzen, werden die y-Werte negativ.

Hierzu nun ein Beispiel: Wir schauen uns die Funktion $f(x) = -x^2$ an und erstellen für die Funktion eine Wertetabelle.

Versuche, mithilfe der Wertetabelle die Normalparabel zu zeichnen.

Diese umgedrehte Normalparabel kann nun wieder gestreckt oder gestaucht werden.

Hierzu ein letztes Beispiel:
$f(x) = - 0,9 x^2 + 3$

Die Funktion ist gestaucht und nach unten geöffnet, da der Faktor zwischen $-1$ und $1$ liegt und negativ ist. Außerdem wird wegen $+3$ in der Funktionsgleichung um $3$ nach oben verschoben. Und somit sieht der Graph so aus:

Jetzt weißt du auch schon, wie eine Funktion gestreckt und gestaucht wird. Außerdem hast du gelernt, wann eine quadratische Funktion nach oben oder unten geöffnet ist.

Überprüfe dein Verständnis zur Streckung und Stauchung von Normalparabeln mit unseren Übungsaufgaben. Wir wünschen dir dabei viel Spaß!