Mathematik > Funktionen

Streckung und Stauchung einer Normalparabel

Inhaltsverzeichnis:

Thema des folgenden Lerntextes ist das Stauchen und Strecken von Parabeln in der Mathematik. Wir klären die Bedeutung des Faktors $a$, welcher vor dem $x^2$ in einer Funktion steht. Er wird auch Streckfaktor genannt und kann eine Funktion strecken oder stauchen (bzw. an der x-Achse spiegeln (die Funktion $_"$umdrehen$"$)). Wir behandeln hier Funktionen, deren Bilder Parabeln sind. Unsere Aussagen über den Streckfaktor vergleichen die entstehende Funktion immer mit $f(x)=x^2$.

Stauchen und Strecken von Parabeln: 6 Fakten

Im Folgenden geben wir dir vorab schonmal einen groben Überblick über das, was du über Streckung und Stauchung wissen musst:

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Wenn $a$ eine beliebige reelle Zahl (außer $0$) ist, dann gelten für $f(x)=ax^2$:

  1. Der Faktor $a$ gibt an, wie eine Funktion gestreckt oder gestaucht wurde.
  2. Wenn $a$ größer als $1$ oder kleiner als $-1$ ist, dann ist die Funktion gestreckt.
  3. Wenn $a$ zwischen $1$ und $-1$ liegt, dann ist die Funktion gestaucht.
  4. Ist $a=1$ oder $a=-1$, dann ist der Graph von $f$ eine Normalparabel oder eine umgekehrte Normalparabel.
  5. Ist der Streckfaktor größer als Null, dann ist der Funktionsgraph nach oben geöffnet.
  6. Ist der Streckfaktor kleiner als Null, dann ist der Funktionsgraph nach unten geöffnet.

Wir erklären dir nachfolgend die oben genannten Kurzinformationen. Zusätzlich gehen wir mit dir eine Übung durch, damit du fit im Thema Stauchung und Streckung von Normalparabeln wirst.

Definition des Streckfaktors

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Sowohl bei der allgemeinen Form als auch bei der Scheitelpunktform ist der Streckfaktor $a$ die reelle Zahl (außer $0$), die sich als Faktor auf $x$ in seiner quadratischen Form bezieht, zum Beispiel $f(x)=\textcolor{red}{3}x^2+1$ oder $f(x)=\textcolor{red}{0,5}(x-2)^2-4$.

$\textcolor{red}a>1$ oder $\textcolor{red}a<-1$: (Betrag von $a$ größer als $1$) $\rightarrow$ Funktion gestreckt

$-1<\textcolor{red}a<1$: (Betrag von $a$ kleiner als $1$) $\rightarrow$ Funktion gestaucht

Allgemeine Form: $f(x)=\textcolor{red}a⋅x^2+b⋅x+c$
Scheitelpunktform:$f(x)=\textcolor{red}a⋅(x−d)^2+e$

Öffnung nach oben und nach unten

Der Graph ist nach oben geöffnet, wenn a positiv ist. Der Graph ist nach unten geöffnet, wenn a negativ ist. Du musst also bei Parabeln nicht berechnen, sondern nur ablesen, in welche Richtung sie geöffnet sind.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

$a>0$ (a größer als 0, a ist positiv)  $\rightarrow $ der Graph ist nach oben geöffnet

$a<0$ (a kleiner als 0, a ist negativ) $\rightarrow $ der Graph ist nach unten geöffnet

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Streckung einer Parabel

Wenn der Faktor vor dem $x^2$ größer als $1$ oder kleiner als $-1$ ist, wird die Funktion gestreckt. Dies kann man sich relativ einfach erklären: Die Normalparabel hat den Streckfaktor $1$ ($f(x) = x^2$); daraus ergeben sich folgende Punkte, die auf der Normalparabel liegen:

$1^2 = 1$ $\rightarrow $ P(1/1)
$2^2 = 4$ $\rightarrow $ Q(2/4)
$3^2 = 9$ $\rightarrow $ R(3/9)

Jede Quadratzahl wird nun mit $a$ multipliziert.

Nehmen wir an, der Faktor vor dem $x^2$ beträgt $3$. Dann wird jede Quadratzahl mit $3$ multipliziert. In diese Funktion $f(x) = 3·x^2$ setzen wir nun die ersten x-Werte ein:

$3 · 1^2 = 3 · 1 = 3$ $\rightarrow $ P(1/3)
$3 · 2^2 = 3 · 4 = 12$ $\rightarrow $ P(2/12)
$3 · 3^2 = 3 · 9 = 27$ $\rightarrow $ P(3/27)

Dabei musst du darauf achten, dass immer zuerst die Quadratzahl ausgerechnet wird. Danach wird die Quadratzahl mit $a$ multipliziert, nicht umgekehrt!

vergleich
Abbildung: zwei quadratische Funktionen

Die linke Funktion ist um den Faktor $3$ gestreckt, die rechte Funktion ist die Normalparabel. Siehst du den Unterschied?

Wie du siehst, ist die linke Funktion nach $_"$oben gezogen$"$ (gestreckt). 

Stauchung einer Parabel

Wenn wir als Faktor vor dem $x^2$ eine Zahl stehen haben, die zwischen $-1$ und $1$ liegt, wird die Funktion gestaucht oder anders gesagt $_"$zusammengedrückt$"$. 

Wenn wir nun eine Zahl vor dem $x^2$ stehen haben, werden die Quadratzahlen mit diesem Wert multipliziert.

Nehmen wir an, der Faktor vor dem $x^2$ beträgt $0,2$. Dann wird jede Quadratzahl mit $0,2$ multipliziert.
In diese Funktion $f(x) = 0,2·x^2$ setzen wir nun die ersten x-Werte ein:

$0,2 · 1^2 = 0,2 · 1 = 0,2$ $\rightarrow $ P(1/0,2)
$0,2 · 2^2 = 0,2 · 4 = 0,8$ $\rightarrow $ P(2/0,8)
$0,2 · 3^2 = 0,2 · 9 = 1,8$ $\rightarrow $ P(3/1,8)

Wie du siehst, steigt der Graph weniger steil als bei der Normalparabel und sieht so aus:

stauchung-um-02

Die Funktion sieht so aus, als hätte sie jemand zusammengedrückt (gestaucht).

Quadratische Funktionen nach unten geöffnet

Eine Funktion ist nach unten geöffnet, wenn der Faktor vor dem $x^2$ negativ ist. Denn wenn wir vor das $x^2$ einen negativen Faktor setzen, werden die y-Werte negativ.

Hierzu nun ein Beispiel: Wir schauen uns die Funktion $f(x) = -x^2$ an und erstellen für die Funktion eine Wertetabelle.

x-Wertey-Werte
-1f(-1)= -(-1)² = -1
00
1f(1) = - (1)² = -1
2-4
3-9

Versuche, mithilfe der Wertetabelle die Normalparabel zu zeichnen.

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Möchtest du noch einmal vertiefen, wie du eine Normalparabel zeichnen kannst? Im Lerntext Quadratische Funktionen zeichnen, erklären wir dir dies ausführlich.

Diese umgedrehte Normalparabel kann nun wieder gestreckt oder gestaucht werden.

Hierzu ein letztes Beispiel:
$f(x) = - 0,9 x^2 + 3$

Die Funktion ist gestaucht und nach unten geöffnet, da der Faktor zwischen $-1$ und $1$ liegt und negativ ist. Außerdem wird wegen $+3$ in der Funktionsgleichung um $3$ nach oben verschoben. Und somit sieht der Graph so aus:

stauchung-und-verschiebung

Jetzt weißt du auch schon, wie eine Funktion gestreckt und gestaucht wird. Außerdem hast du gelernt, wann eine quadratische Funktion nach oben oder unten geöffnet ist.

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Im Lerntext Wie verschiebt man eine Normalparabel kannst du nachlesen und lernen, wie du eine Normalparabel verschiebst. Außerdem lernst du dort, wie du an einer Funktion erkennst, um wie viele Stellen und in welche Richtung diese Funktion verschoben wurde.

Überprüfe dein Verständnis zur Streckung und Stauchung von Normalparabeln mit unseren Übungsaufgaben. Wir wünschen dir dabei viel Spaß!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Um welchen Faktor wurde die Normalparabel gestreckt oder gestaucht?

aufgabe-verschiebung-1

Teste dein Wissen!

Wie sieht die Abbildung der Funktion mit der Gleichung $f(x)= 4,5 x^2+1$ aus?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie lautet die Gleichung der hier abgebildeten Funktion?

aufgabe-verschiebung-4

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie lautet die Gleichung der hier abgebildeten Funktion?

aufgabe-verschiebung-2

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Mathematik > Funktionen

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

p-q-formel-3
Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's!
quadratische-funktion-11
Quadratische Funktionen: Nullstellen berechnen Mitternachtsformel, abc-Formel
Br?cke
Quadratische Funktionen zeichnen
textaufgabe-1
Quadratische Funktionen: Aufgaben mit Lösungen
funktionsgleichung-bestimmen-1
Quadratische Funktionen bestimmen leicht gemacht
Quadratischen Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform
Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Normalparabel nach unten verschoben um 3
Wie verschiebt man eine Normalparabel?
vergleich
Streckung und Stauchung einer Normalparabel
Bitte Beschreibung eingeben
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung lösen
gestreckte_und_gestauchte_funktion
Was ist eine quadratische Funktion?
Bitte Beschreibung eingeben
Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht
Potenzfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren
Potenzfunktionen zeichnen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
Potenzfunktion $\large{x^{-4}}$
Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
Potenzfunktion x hoch 8/3
Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
Wurzelfunktion f(x) = \sqrt x
Was ist eine Wurzelfunktion? - Erklärungen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt
funktion_x_hoch_2
Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen
Funktionen mit der Potenzregel ableiten
Funktionen mit der Faktorregel ableiten
Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden
Wie wende ich die Kettenregel an?
Funktionen mit der Quotientenregel ableiten
Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln
Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln
Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
ableitung
Ableitung: Bedeutung im Sachzusammenhang
Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben
exponentialfunktion-2-hoch-x
Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben
Logarithmusfunktionen log, ln, lg
Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften
e-Funktion
Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt
funktion_linearer_wachstum
Lineares Wachstum und lineare Abnahme
funktion_bakterien
Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
koordinatensystem
Was ist eine mathematische Funktion?
monotomie
Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
Umkehrfunktion2
Wie bildet man eine Umkehrfunktion?
Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt
kurvendiskussion_beispiel
Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
beispiel-lineare-funnktion
Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften
koordinatensystem
Achsenschnittpunkte von Funktionen berechnen
tangente
Tangentengleichung bestimmen einfach erklärt
asymptote
Was sind senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten?
Periode einer Sinuskurve
Sinusfunktion und ihre Eigenschaften
Die Kosinusfunktion
Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften
Sinusfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Kosinusfaktor mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!

Lehrer sofort fragen

Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.

  • Sofort, ohne Termin
  • Online-Chat 14 – 21 Uhr
  • Erfahrene Mathematik-Lehrer
Jetzt Lehrer kostenlos fragen
Lehrer zum Wunschtermin online fragen

Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.

  • Zum Wunschtermin
  • Online-Einzelgespräch
  • Geprüfte Nachhilfelehrer
Gratis Probestunde vereinbaren
Lehrer zum Wunschtermin in deiner Nähe fragen

Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

  • Zum Wunschtermin
  • In deiner Stadt
  • Geprüfte Nachhilfelehrer

Gratis Probestunde vereinbaren

Selbst-Lernportal
Wissen vertiefen und selber üben

Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.

  • Über 250.000 Übungsaufgaben
  • 700 Lernvideos
  • Original-Abi-Klausuren
Jetzt kostenlos entdecken
Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

anonymisiert, vom 2019-11-18
Klappt super
anonymisiert, vom 2019-11-17
Bin zufrieden.
anonymisiert, vom 2019-11-17
Ich finde meinen Lehrer sehr gut aber wenn ich mal was ändern möchte kann ich keinen bei der online Nachhilfe erreichen per Telefon. Auch beim Rückruf dauert es sehr sehr lange bis man zurück gerufen wird. Ich würde mir auch bei Studenten, Langzeit Tarife wünschen die billiger sind weil man hat als Student nicht so viel Geld. Aber insgesamt bin ich ganz zufrieden. Mechanik wäre noch gut als Fach.
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
N-tv Gütesiegel
TÜV-Gütesiegel
Die Welt Service-Champions
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Wir benötigen deine Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um deinen konkreten Nachhilfebedarf zu ermitteln. Deine Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir dir telefonisch stellen könnten:

  • "Bei welchem Thema gibt es besondere Schwierigkeiten?
  • "Wann hättest du generell Zeit für den Unterricht?"

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen!

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
8571