Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln
In diesem Text erhältst du eine Übersicht über die Ableitungsregeln der Mathematik inklusive Beispielen. Du kannst über die einzelnen Begriffe auf die jeweilige Lernseite gelangen, die dir die entsprechende Regel im Detail erklärt.
Methode
Methode
Für beliebige reelle Funktionen gelten folgende Regeln:
1. Potenzregel: $f(x)= x^n \rightarrow~~ f'(x)= n \cdot x ^{n-1}$
2. Faktorregel: $f(x)= k \cdot g(x) \rightarrow~~ f'(x)= k \cdot g'(x)$
3. Summenregel: $f(x)=g(x)+k(x) \rightarrow ~~f'(x)= g'(x)+k'(x)$
4. Produktregel: $f(x) = u(x) \cdot v(x) \rightarrow ~~f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
5. Kettenregel: $f(x)= u(b(x)) \rightarrow~~ f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$
6. Quotientenregel: $f(x)= \frac{u(x)}{v(x)} \rightarrow~~ f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$
Um die Steigung einer Funktion in einem Punkt berechnen zu können, sind die Ableitungsregeln hilfreich. Daher sind diese Regeln auch für die Kurvendiskussion sehr wichtig. Bei physikalischen Größen zum Beispiel spielen deren Ableitungen oft eine große Rolle.
Gut zu wissen
Hinweis
Die erste Ableitung gibt für jede Funktion $f(x)$ die Steigung (Anstieg) des Graphen an. Mit ihrer Hilfe kann man für jede Stelle $x$ die Steigung des Graphen in dem Punkt berechnen. Man setzt also den x-Wert in die erste Ableitung ein und berechnet, wie groß der Anstieg der Funktion in dem entsprechenden Punkt ist.
Als Zeichen für die erste Ableitung wird oft $f'(x)$ verwendet. Man sagt "$f$ Strich von $x$".
Potenzregel
Merke
Merke
Für jede reelle Zahl $n$ gilt:
$f(x)= x^n$
$f'(x)= n \cdot x ^{n-1}$
In der ersten Ableitung tritt der Exponent als Faktor auf und wird um $1$ vermindert. Hierzu ein Beispiel:
Beispiel
Beispiel
$f(x) = x^3$
$f'(x) = 3 \cdot x ^{3-1} = 3 \cdot x^2$
Die Potenzfunktion $f(x) = x$ leitest du mit der Regel folgendermaßen ab:
$f(x) =x= x ^{1}$
$f'(x) = 1\cdot x^{1-1}= x^0= 1$
Die Variable verschwindet durch das Ableiten und nur der Faktor bleibt stehen.
Erfahre hier mehr zur Potenzregel!
Faktorregel
Merke
Merke
Für jede reelle Zahl $k$ gilt:
$f(x)= k \cdot g(x)$
$f'(x)= k \cdot g'(x)$
Die Faktorregel besagt, dass der Faktor vor der abzuleitenden Funktion erhalten bleibt. Dabei ist $k$ eine beliebige reelle Zahl.
Beispiel
Beispiel
$f(x) = \textcolor{blue}{ 5} x^2$
$f'(x) = \textcolor{blue}{ 5}\cdot 2 x^{2-1}= 10 x$
Wenn du noch mehr über die Faktorregel erfahren möchtest, schaue dir die Seite Faktorregel an.
Summenregel
Merke
Merke
$f(x)=g(x)+k(x)$
$f'(x)= g'(x)+k'(x)$
Die Summenregel besagt, dass bei einer Funktion, deren Term eine Summe von Funktionen ist, diese Funktionsteile einzeln abgeleitet werden müssen. Daher kommt auch der Name Summenregel.
Sind Funktionsteile, die selbst Funktionen sind, durch ein Minuszeichen verbunden, gilt diese Regel auch.
Schauen wir uns zwei Beispiele an:
Beispiel
Beispiel
1.
$f(x) = 5x^2+0,5x$
$f'(x) = 5 \cdot 2 \cdot x ^{2-1} + 0,5 \cdot x ^{1-1} = 10 x+ 0,5$
Beispiel
Beispiel
2.
$f(x) = x^3 -2 x^2$
$f'(x)= 3 x^2 -4 x$
Weitere Informationen zur Summenregel erhältst du hier: Summenregel
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Produktregel
Merke
Merke
$f(x) = u(x) \cdot v(x)$
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Wenn zwei Teilfunktionen durch ein Malzeichen verbunden sind, wird die Ableitung der Funktion wie folgt gebildet: Du multiplizierst die Ableitung der ersten Teilfunktion mit der zweiten Teilfunktion und addierst nun das Produkt aus der ersten Teilfunktion und der Ableitung der zweiten Teilfunktion. Welche Teilfunktion du als erste und welche Teilfunktion du als zweite betrachtest, ist egal.
Vorgehensweise:
- Die beiden Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$ identifizieren.
- Die Funktionen getrennt ableiten.
- Die Funktionen und die Ableitungen in die Formel $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ einsetzen.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel
Beispiel
Wir betrachten die folgende Funktion:
$f(x) = 4x^2 \cdot e^x$
1. Als erstes müssen die Funktionen identifiziert werden:
$u(x) = 4x^2$
Das ist eine Potenzfunktion.
$v(x) = e^x$
Das ist eine Exponentialfunktion mit der Konstanten $e = 2,7182818...$ als Basis.
2. Nun werden die Funktionen jeweils abgeleitet:
$u(x) = 6x \rightarrow u'(x) = 8x$
$v(x) = e^x \rightarrow v'(x) = e^x$
Die Funktion $v(x) = e^x$ ist eine der wenigen Funktionen, die sich selbst als Ableitung hat.
3. Jetzt wird in die Formel eingesetzt:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
$f'(x) = 8x \cdot e^x + 4x^2 \cdot e^x$
Hinweis: Die Exponentialfunktion sollte im Anschluss ausgeklammert werden, um weitere Berechnungen zu vereinfachen.
Hier kannst du dir weitere Beispiele sowie die Herleitung der Produktregel anschauen.
Kettenregel
Merke
Merke
$f(x)= u(v(x))$
$f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$
Die Kettenregel wird angewandt, wenn zwei Funktionen ineinander verschachtelt, also verkettet sind. Ein Beispiel für eine verkettete Funktion ist: $f(x) = (3x^2 - 1)^4$. Es liegt eine innere Funktion vor $3x^2 - 1$, auf die eine äußere Funktion $(\blacksquare)^4$ angewendet wird. Ein Quadrat wird also danach in die vierte Potenz erhoben. Erst wird quadriert (innere Funktion), dann wird die Funktion 4. Grades angewendet (äußere Funktion).
Bei der Anwendung der Kettenregel geht man wie folgt vor:
Vorgehensweise:
- Die äußere und die innere Funktion identifizieren.
- Die Ableitungen der beiden Funktionen bilden.
- Die Funktionen und ihre Ableitungen in die Formel $f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$ einsetzen.
Beispiel
Beispiel
$f(x) = (3x^2 - 1)^4$
1. Die äußere und die innere Funktion identifizieren:
äußere Funktion: $u(x) = (v(x)) ^4$
innere Funktion: $v(x) =3x^2 - 1$
2. Die Ableitungen der beiden Funktionen bilden:
äußere: $ u'(x) =4\cdot (v(x))^3$
innere: $b'(x) = 6x$
3. Zum Schluss wird in die Formel eingesetzt:
$f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$
$f'(x) = 4 (3x^2 - 1)^3 \cdot 6x = 24x (3x^2 - 1)^3$
Mehr zu der Kettenregel erfährst du hier: Kettenregel
Quotientenregel
Merke
Merke
$f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}$
$f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$
Die Quotientenregel wird angewandt, wenn die abzuleitende Funktion ein Bruch ist.
Es werden zunächst wieder die zwei Funktionen identifiziert und getrennt abgeleitet. Danach werden die Teilfunktionen und deren Ableitungen in die Formel eingesetzt. Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel
Beispiel
$f(x) = \frac{3x^3+5x}{x^2}$
1. Funktionen identifizieren:
$u(x) = 3x^3+5x$
$v(x) = x^2$
2. Die Funktionen jeweils ableiten:
$u'(x) = 9x^2+5$
$v'(x) = 2x$
3. In die Formel einsetzen:
$f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$
$f'(x)= \frac{((9x^2+5) \cdot x^2) - ((3x^3+5x) \cdot 2x)}{x^4}$
Hier müssen die einzelnen Funktionen in Klammern gesetzt werden!
$f'(x)= \frac{((9x^2+5) \cdot x^2) - ((3x^3+5x) \cdot 2x)}{x^4}= \frac{(9x^4+5x^2)-(6x^4+10x^2)}{x^4}$
$f'(x)= \frac{3x^4-5x^2}{x^4}$
Hier haben wir noch eine Übersichtsseite zum Herunterladen für dich vorbereitet.
Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du auch alle Ableitungsregeln anwenden kannst. Viel Erfolg dabei!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Teste dein Wissen!
Wobei handelt es sich um keine Ableitungsregel?
Wie lautet die richtige Ableitung der Funktion?
$f(x) = 1,5 x^2 \cdot 2x$
Wie lautet die Ableitung der Funktion?
$f(x) = (2x^2+6x)^3$
Bilde die Ableitung der Funktion.
$f(x) = ax^3\cdot bx^a$
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
Schon registriert? Hier einloggen
Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Schon registriert? Hier einloggen
Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Bereits registriert? Hier einloggen