Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln
In diesem Text erhältst du eine Übersicht über die Ableitungsregeln der Mathematik inklusive Beispielen. Du kannst über die einzelnen Begriffe auf die jeweilige Lernseite gelangen, die dir die entsprechende Regel im Detail erklärt.
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Für beliebige reelle Funktionen gelten folgende Regeln:
1. Potenzregel: $f(x)= x^n \rightarrow~~ f'(x)= n \cdot x ^{n-1}$
2. Faktorregel: $f(x)= k \cdot g(x) \rightarrow~~ f'(x)= k \cdot g'(x)$
3. Summenregel: $f(x)=g(x)+k(x) \rightarrow ~~f'(x)= g'(x)+k'(x)$
4. Produktregel: $f(x) = u(x) \cdot v(x) \rightarrow ~~f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
5. Kettenregel: $f(x)= u(b(x)) \rightarrow~~ f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$
6. Quotientenregel: $f(x)= \frac{u(x)}{v(x)} \rightarrow~~ f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$
Um die Steigung einer Funktion in einem Punkt berechnen zu können, sind die Ableitungsregeln hilfreich. Daher sind diese Regeln auch für die Kurvendiskussion sehr wichtig. Bei physikalischen Größen zum Beispiel spielen deren Ableitungen oft eine große Rolle.
Gut zu wissen
Hinweis
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Die erste Ableitung gibt für jede Funktion $f(x)$ die Steigung (Anstieg) des Graphen an. Mit ihrer Hilfe kann man für jede Stelle $x$ die Steigung des Graphen in dem Punkt berechnen. Man setzt also den x-Wert in die erste Ableitung ein und berechnet, wie groß der Anstieg der Funktion in dem entsprechenden Punkt ist.
Als Zeichen für die erste Ableitung wird oft $f'(x)$ verwendet. Man sagt "$f$ Strich von $x$".
Potenzregel
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Für jede reelle Zahl $n$ gilt:
$f(x)= x^n$
$f'(x)= n \cdot x ^{n-1}$
In der ersten Ableitung tritt der Exponent als Faktor auf und wird um $1$ vermindert. Hierzu ein Beispiel:
Beispiel
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$f(x) = x^3$
$f'(x) = 3 \cdot x ^{3-1} = 3 \cdot x^2$
Die Potenzfunktion $f(x) = x$ leitest du mit der Regel folgendermaßen ab:
$f(x) =x= x ^{1}$
$f'(x) = 1\cdot x^{1-1}= x^0= 1$
Die Variable verschwindet durch das Ableiten und nur der Faktor bleibt stehen.
Erfahre hier mehr zur Potenzregel!
Faktorregel
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Für jede reelle Zahl $k$ gilt:
$f(x)= k \cdot g(x)$
$f'(x)= k \cdot g'(x)$
Die Faktorregel besagt, dass der Faktor vor der abzuleitenden Funktion erhalten bleibt. Dabei ist $k$ eine beliebige reelle Zahl.
Beispiel
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$f(x) = \textcolor{blue}{ 5} x^2$
$f'(x) = \textcolor{blue}{ 5}\cdot 2 x^{2-1}= 10 x$
Wenn du noch mehr über die Faktorregel erfahren möchtest, schaue dir die Seite Faktorregel an.
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Summenregel
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$f(x)=g(x)+k(x)$
$f'(x)= g'(x)+k'(x)$
Die Summenregel besagt, dass bei einer Funktion, deren Term eine Summe von Funktionen ist, diese Funktionsteile einzeln abgeleitet werden müssen. Daher kommt auch der Name Summenregel.
Sind Funktionsteile, die selbst Funktionen sind, durch ein Minuszeichen verbunden, gilt diese Regel auch.
Schauen wir uns zwei Beispiele an:
Beispiel
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1.
$f(x) = 5x^2+0,5x$
$f'(x) = 5 \cdot 2 \cdot x ^{2-1} + 0,5 \cdot x ^{1-1} = 10 x+ 0,5$
Beispiel
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2.
$f(x) = x^3 -2 x^2$
$f'(x)= 3 x^2 -4 x$
Weitere Informationen zur Summenregel erhältst du hier: Summenregel
Produktregel
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$f(x) = u(x) \cdot v(x)$
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Wenn zwei Teilfunktionen durch ein Malzeichen verbunden sind, wird die Ableitung der Funktion wie folgt gebildet: Du multiplizierst die Ableitung der ersten Teilfunktion mit der zweiten Teilfunktion und addierst nun das Produkt aus der ersten Teilfunktion und der Ableitung der zweiten Teilfunktion. Welche Teilfunktion du als erste und welche Teilfunktion du als zweite betrachtest, ist egal.
Vorgehensweise:
- Die beiden Teilfunktionen $u(x)$ und $v(x)$ identifizieren.
- Die Funktionen getrennt ableiten.
- Die Funktionen und die Ableitungen in die Formel $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ einsetzen.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel
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Wir betrachten die folgende Funktion:
$f(x) = 4x^2 \cdot e^x$
1. Als erstes müssen die Funktionen identifiziert werden:
$u(x) = 4x^2$
Das ist eine Potenzfunktion.
$v(x) = e^x$
Das ist eine Exponentialfunktion mit der Konstanten $e = 2,7182818...$ als Basis.
2. Nun werden die Funktionen jeweils abgeleitet:
$u(x) = 6x \rightarrow u'(x) = 8x$
$v(x) = e^x \rightarrow v'(x) = e^x$
Die Funktion $v(x) = e^x$ ist eine der wenigen Funktionen, die sich selbst als Ableitung hat.
3. Jetzt wird in die Formel eingesetzt:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
$f'(x) = 8x \cdot e^x + 4x^2 \cdot e^x$
Hinweis: Die Exponentialfunktion sollte im Anschluss ausgeklammert werden, um weitere Berechnungen zu vereinfachen.
Hier kannst du dir weitere Beispiele sowie die Herleitung der Produktregel anschauen.
Kettenregel
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$f(x)= u(v(x))$
$f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$
Die Kettenregel wird angewandt, wenn zwei Funktionen ineinander verschachtelt, also verkettet sind. Ein Beispiel für eine verkettete Funktion ist: $f(x) = (3x^2 - 1)^4$. Es liegt eine innere Funktion vor $3x^2 - 1$, auf die eine äußere Funktion $(\blacksquare)^4$ angewendet wird. Ein Quadrat wird also danach in die vierte Potenz erhoben. Erst wird quadriert (innere Funktion), dann wird die Funktion 4. Grades angewendet (äußere Funktion).
Bei der Anwendung der Kettenregel geht man wie folgt vor:
Vorgehensweise:
- Die äußere und die innere Funktion identifizieren.
- Die Ableitungen der beiden Funktionen bilden.
- Die Funktionen und ihre Ableitungen in die Formel $f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$ einsetzen.
Beispiel
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$f(x) = (3x^2 - 1)^4$
1. Die äußere und die innere Funktion identifizieren:
äußere Funktion: $u(x) = (v(x)) ^4$
innere Funktion: $v(x) =3x^2 - 1$
2. Die Ableitungen der beiden Funktionen bilden:
äußere: $ u'(x) =4\cdot (v(x))^3$
innere: $b'(x) = 6x$
3. Zum Schluss wird in die Formel eingesetzt:
$f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$
$f'(x) = 4 (3x^2 - 1)^3 \cdot 6x = 24x (3x^2 - 1)^3$
Mehr zu der Kettenregel erfährst du hier: Kettenregel
Quotientenregel
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$f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}$
$f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$
Die Quotientenregel wird angewandt, wenn die abzuleitende Funktion ein Bruch ist.
Es werden zunächst wieder die zwei Funktionen identifiziert und getrennt abgeleitet. Danach werden die Teilfunktionen und deren Ableitungen in die Formel eingesetzt. Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel
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$f(x) = \frac{3x^3+5x}{x^2}$
1. Funktionen identifizieren:
$u(x) = 3x^3+5x$
$v(x) = x^2$
2. Die Funktionen jeweils ableiten:
$u'(x) = 9x^2+5$
$v'(x) = 2x$
3. In die Formel einsetzen:
$f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$
$f'(x)= \frac{((9x^2+5) \cdot x^2) - ((3x^3+5x) \cdot 2x)}{x^4}$
Hier müssen die einzelnen Funktionen in Klammern gesetzt werden!
$f'(x)= \frac{((9x^2+5) \cdot x^2) - ((3x^3+5x) \cdot 2x)}{x^4}= \frac{(9x^4+5x^2)-(6x^4+10x^2)}{x^4}$
$f'(x)= \frac{3x^4-5x^2}{x^4}$
Hier haben wir noch eine Übersichtsseite zum Herunterladen für dich vorbereitet.
Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du auch alle Ableitungsregeln anwenden kannst. Viel Erfolg dabei!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Lektor: Frank Kreuzinger
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