Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften

• Allgemeine Funktionsgleichung
• Definitions- und Wertemenge der Kosinusfunktion
• Periode und Symmetrieverhalten der Kosinuskurve
• Nullstellen der Kosinusfunktion
• Relative Maxima und Minima
• Verschiebung in y-Richtung
• Verschiebung in x-Richtung

In diesem Lerntext erhältst du einen Überblick über die Eigenschaften der Kosinusfunktion. Außerdem erklären wir dir, wie du die Kosinuskurve in x- oder y-Richtung verschieben kannst.

Allgemeine Funktionsgleichung

Die Kosinusfunktion ist eine der trigonometrischen Funktionen und ordnet jedem $x$ seinen entsprechenden Kosinuswert $y$ zu.

Zu sehen ist ein Einheitskreis. Der heißt so, weil die Länge seines Radius‘ 1 beträgt.

Die Kosinusfunktion ordnet jedem Winkel eine Streckenlänge zu. Die Länge der blau gezeichneten Strecke gehört dabei zu dem Winkel $x$. Ist $x$ zum Beispiel mit $60°$ gegeben, so ist die Länge der blauen Strecke $0,5$. Daher ist cos⁡ $60°=0,5$. Zu jedem Winkel gehört eine Länge des Kreisbogens. Der ist hier lila als Bogen eingezeichnet. Die Länge dieses Bogens nennt man auch Bogenmaß des Winkels $x$. Ist der Radius 1, dann ist der Umfang des gesamten Kreises $U = \pi \cdot d = \pi \cdot 2r = \pi \cdot 2 \cdot 1 = 2\pi $. Der gesamte Kreis hat also eine Bogenlänge von $2π$. Das sind ca. $6,28$ Einheiten (zum Beispiel cm). Also gehört zum Winkel $360°$ das Bogenmaß $2π$. Entsprechend gehört zum Gradmaß $60°$ das Bogenmaß $ \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.

Die Kosinusfunktion hat, genau wie die Sinusfunktion einige Besonderheiten. Für die Skalierung der Achse wird in der Regel das Bogenmaß genutzt. Wichtig ist an der Stelle, ob der Taschenrechner mit dem Gradmaß oder dem Bogenmaß rechnen soll. Das muss in den Einstellungen berücksichtigt werden. In der Regel gibt es auf dem Taschenrechner die Einstellungen RAD (für Bogenmaß) und DEG (für Gradmaß).

Definitions- und Wertemenge der Kosinusfunktion

Für die x-Werte der Kosinusfunktion sind alle reellen Zahlen erlaubt. Die Definitionsmenge lautet also:

$\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Wie du in der Abbildung erkennen kannst können die y-Werte nur Werte von $-1$ bis $1$ annehmen. Der Wertebereich der normalen Kosinusfunktion lautet also:

$W= [-1;1]$

Periode und Symmetrieverhalten der Kosinuskurve

Die Kosinuskurve verläuft periodisch, das heißt, dass sich ein einzelner Abschnitt immer wieder wiederholt. Man kann auch sagen, dass sich die Funktionswerte $y$ im selben Abstand wiederholen. Eine Wellenbewegung oberhalb und unterhalb der x-Achse entspricht einer kleinsten Periode von $2 \pi$.

Außerdem ist die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Dies lässt sich rechnerisch beweisen:

$cos(-x) = cos (x)$