Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften
In diesem Lerntext erhältst du einen Überblick über die Eigenschaften der Kosinusfunktion. Außerdem erklären wir dir, wie du die Kosinuskurve in x- oder y-Richtung verschieben kannst.
Allgemeine Funktionsgleichung
Die Kosinusfunktion ist eine der trigonometrischen Funktionen und ordnet jedem $x$ seinen entsprechenden Kosinuswert $y$ zu.
Merke
Merke
$y~= cos(x)$
Ähnlich wie die Sinusfunktion besitzt die Kosinusfunktion einige Besonderheiten. Für die Skalierung der x-Achse nutzt man auf Grund des geometrischen Hintergrunds das Bogenmaß. Die Kurve der Kosinusfunktion verläuft periodisch.
Definitions- und Wertemenge der Kosinusfunktion
Für die x-Werte der Kosinusfunktion sind alle reellen Zahlen erlaubt. Die Definitionsmenge lautet also:
$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Wie du in der Abbildung erkennen kannst, können die y-Werte nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen. Der Wertebereich der normalen Kosinusfunktion lautet also:
$W= [-1;1]$
Periode und Symmetrieverhalten der Kosinuskurve
Die Kosinuskurve verläuft periodisch, das heißt, dass sich ein einzelner Abschnitt immer wieder wiederholt. Man kann auch sagen, dass sich die Funktionswerte ($y$) im selben Abstand wiederholen. Eine Wellenbewegung oberhalb und unterhalb der x-Achse entspricht einer Periode von $2 \pi$.
Außerdem ist die Kosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Dies lässt sich rechnerisch folgendermaßen beweisen:
$cos(-x) = cos (x)$
Wenn du nicht mehr genau weißt, wie du die Symmetrie einer Funktion rechnerisch beweisen kannst, findest du in unserem Lerntext zu Kurvendiskussionen eine ausführliche Erklärung.
Nullstellen der Kosinusfunktion
Aufgrund ihres periodischen Verlaufs entlang der x-Achse, besitzt die Kosinusfunktion unendlich viele Nullstellen, die jeweils um den Wert $\pi$ auseinander liegen.
Merke
Merke
Für die Berechnung der Nullstellen der Kosinusfunktion gilt:
$x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi $
Dabei können für $k$ alle möglichen ganzen Zahlen eingesetzt werden.
Beispiel
Beispiel
$x_{-1} = \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot \pi = - \frac{\pi}{2}$
$x_{0} = \frac{\pi}{2} + (0) \cdot \pi = \frac{\pi}{2}$
$x_{2} = \frac{\pi}{2} + (2) \cdot \pi = \frac{3 \cdot \pi}{2}$
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Relative Maxima und Minima
Auch für die Extremwerte (Hoch- und Tiefpunkte) lässt sich aufgrund des periodischen Verlaufs der Kosinuskurve eine allgemeine Formel angeben.
Merke
Merke
Relative Maxima
$x_k = k \cdot 2 \cdot \pi$
Beispiel
Beispiel
$x_{-1} = -1 \cdot 2 \cdot \pi = -2 \cdot \pi$
$x_1 = 1 \cdot 2 \cdot \pi = 2 \cdot \pi$
Merke
Merke
Relative Minima
$x_k = \pi + k \cdot 2 \cdot \pi$
Beispiel
Beispiel
$x_{-1} = \pi + k \cdot 2 \cdot \pi = \pi + (-1) \cdot 2 \cdot \pi = - \pi$
$x_{1} = \pi + 1 \cdot 2 \cdot \pi = 3 \cdot \pi$
Verschiebung in y-Richtung
Die Kosinusfunktion wird entlang der y-Achse verschoben, wenn ein Wert zum Funktionsterm dazu addiert oder davon abgezogen wird. Dadurch wird die Kosinuskurve entlang der y-Achse in positive oder negative Richtung verschoben.
Merke
Merke
$y = cos(x) + d$
Der Parameter $d$ verschiebt die Kosinuskurve entlang der y-Achse.
$d>0 \rightarrow$ Verschiebung nach oben
Bei der Verschiebung in y-Richtung ist zu beachten, dass die verschobenen Kosinuskurven keine Nullstellen, also keine Schnittpunkte mit der x-Achse, besitzen. Die x-Koordinaten der Maxima und Minima ändern sich nicht.
Verschiebung in x-Richtung
Außerdem kann die Kosinuskurve entlang der x-Achse verschoben werden.
Merke
Merke
$y = sin(x + c)$
Der Parameter $c$ verschiebt die Kosinuskurve entlang der x-Achse.
$c>0 \rightarrow$ Verschiebung nach rechts
Bei der Verschiebung entlang der x-Achse ändern sich sowohl Null- als auch Extremstellen der Funktion. Außerdem ist die Verschiebung immer nur innerhalb einer Periode ($2\cdot \pi$) sichtbar. Wird die Kosinuskurve beispielsweise um $2 \pi$ nach links verschoben, kann man diese Verschiebung nicht sehen, da die Kurve wieder deckungsgleich mit der normalen Form ist.
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Berechne die Nullstelle einer Kosinusfunktion für $x_5$.
Welches Ergebnis ist korrekt?
Berechne die Extremstelle (Minimum) für $x_4$.
Welches Ergebnis ist korrekt?
Welche Eigenschaften treffen auf die Kosinusfunktion zu?
Wie lautet die Wertemenge der Kosinusfunktion?
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