Funktionen mit der Faktorregel ableiten
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Die Allgemeinform der Faktorregel sieht wie folgt aus:
Für beliebige reelle Zahlen $k$ und $n$ sei die Funktion $\large{f(x) = k \cdot x^n}$ gegeben. Dann ist die erste Ableitung $\large{f\textcolor{red}{'}(x) = k \cdot \textcolor{blue}{n} \cdot x^{\textcolor{green}{n-1}}}$.
Damit du verstehst wie die Faktorregel funktioniert, solltest du auf jeden Fall schon mit der Potenzregel vertraut sein.
Erklärung der Faktorregel
Du hast also schon gelernt, wie du Funktionen ableitest, also Funktionen wie $f(x)=x^3$ oder $f(x)=2x$. Doch was passiert, wenn die Funktion $f(x)= 5 \cdot x^4$ ist? Wie leitet man eine solche Funktion ab?
Hierfür benötigen wir nicht mehr viel: Wenn du die Allgemeinform der Potenzregel im Kopf hast, wirst du die Faktorregel auch sehr schnell verstehen!
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Beispiel für die Faktorregel
Schauen wir uns ein Beispiel an, um die oben im Merkekasten gezeigte Allgemeinform besser nachvollziehen zu können:
Es sei die Funktion $f(x)=5 \cdot x^{4}$ gegeben. Wendest du nun die Allgemeinform aus dem Merkekasten an, lässt sich die Ableitung zu dieser Funktion wie folgt bilden:
$f(x)=5 \cdot x^{4}$
$\large{f\textcolor{red}{'}(x) = 5 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot x^{\textcolor{green}{4-1}} =5 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot x^{\textcolor{green}{3}}}$, vereinfacht ergibt das $\large{f'(x)= 20x^3}$
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Einfacher gesagt, setzt man den Exponenten von x vor das x und zieht vom Exponenten 1 ab.
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