Funktionen mit der Faktorregel ableiten
Merke
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Die Allgemeinform der Faktorregel sieht wie folgt aus:
Die Funktion sei $\large{f(x) = k \cdot x^n}$. Die Ableitung dazu ist $\large{f\textcolor{red}{'}(x) = k \cdot \textcolor{blue}{n} \cdot x^{\textcolor{green}{n-1}}}$.
Damit du verstehst wie die Faktorregel funktioniert, solltest du auf jeden Fall schon mit der Potenzregel vertraut sein.
Herleitung der Faktorregel
Du hast also schon gelernt, wie du Funktionen ableitest, also Funktionen wie $f(x)=x^3$ oder $f(x)=2x$. Doch was passiert, wenn die Funktion eine Streckung hat wie etwa die Funktion $f(x)= 5 \cdot x^4$ ? Wie leitet man eine solche Funktion ab?
Hierfür benötigen wir nicht mehr viel: Wenn du die Allgemeinform der Potenzregel im Kopf hast, wirst du die Faktorregel auch sehr schnell verstehen!
Schauen wir uns ein Beispiel an, um die oben im Merkekasten gezeigte Allgemeinform besser nachvollziehen zu können:
Es sei die Funktion $f(x)=5 \cdot x^{4}$ gegeben. Wendest du nun die Allgemeinform aus dem Merkekasten an, lässt sich die Ableitung zu dieser Funktion wie folgt bilden:
$f(x)=5 \cdot x^{4}$
$\large{f\textcolor{red}{'}(x) = 5 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot x^{\textcolor{green}{4-1}} =5 \cdot \textcolor{blue}{4} \cdot x^{\textcolor{green}{3}}}$, vereinfacht ergibt das $\large{f'(x)= 20x^3}$
Merke
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Einfacher gesagt, setzt man den Exponenten von x vor das x und zieht vom Exponenten einen ab.
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