Mathematik > Funktionen

Wie verschiebt man eine Normalparabel?

Inhaltsverzeichnis:

Der Graph der Funktion $f(x)=x^2$ wird Normalparabel genannt. Der Graph dieser Funktion kann in einem Koordinatensystem in 4 verschiedene Richtungen verschoben werden: Nach oben, nach unten, nach links und nach rechts.

Übersicht

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Für beliebige positive reelle Zahlen $a$, $b$, $c$ und $d$ gilt:

Verschiebung in Richtung der y-Achse

nach $\textcolor{red}{oben}$ : $f(x) = x^2 \textcolor{red}{+ a} \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um a nach oben

nach $\textcolor{red}{unten} $ : $f(x) = x^2 \textcolor{red}{-b} \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um b nach unten

Verschiebung in Richtung der x-Achse

nach $\textcolor{red}{rechts} $ : $f(x) = (x \textcolor{red}{-c})^2 \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um c nach rechts

nach $\textcolor{red}{links} $ : $f(x) = (x \textcolor{red}{+d})^2 \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um d nach links

Verschiebung nach oben

Die Normalparabel wird nach oben verschoben, indem zu $x^2$ eine positive Zahl addiert wird. Der Graph von $g(x)=x^2+10$ ist gegenüber dem Graphen von $f(x)=x^2$ um $10$ Einheiten nach oben verschoben.

Normalparabel nach oben verschoben um 10
Abbildung: Normalparabel um $10$ nach oben verschoben

Die Normalparabel wurde um $10$ Einheiten in Richtung der y-Achse nach oben verschoben.

Verschiebung nach unten

Die Normalparabel wird nach unten verschoben, indem zu $x^2$ ein negativer Wert addiert wird. Der Graph von $g(x)=x^2-3$ ist gegenüber dem Graphen von $f(x)=x^2$ um $3$ Einheiten nach unten verschoben.

Normalparabel nach unten verschoben um 3
Abbildung: Normalparabel um $3$ nach unten verschoben

Die Normalparabel wurde um $3$ Einheiten in Richtung der y-Achse nach unten verschoben.

Verschiebung nach rechts

Der Graph der Normalparabel wird nach rechts verschoben, indem von $x$ eine positive Zahl subtrahiert wird und die Differenz dann quadriert wird.
Das ist zum Beispiel $f(x)=(x-3)^2$

Normalparabel nach rechts verschoben um 3
Abbildung: Normalparabel um $3$ nach rechts verschoben

Also bewirkt der negative Wert, der mit dem $x$ in der Klammer steht, dass die Parabel auf der x-Achse nach rechts, also in den positiven Bereich verschoben wird.

Merke dir einfach: Wenn die Zahl, die dem $x$ in der Klammer folgt, negativ ist, dann wird die Parabel nach rechts, also in den positiven Bereich verschoben.

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Hier ist es genau umgekehrt im Vergleich zur Verschiebung nach rechts: Der Graph der Normalparabel wird nach links verschoben, indem zu $x$ eine positive Zahl addiert wird und die Summe dann quadriert wird.
Das ist zum Beispiel: $f(x) = (x+5)^2$

Normalparabel nach links verschoben um 5
Abbildung: Normalparabel um $5$ nach links verschoben

Also bewirkt der positive Wert, der mit dem $x$ in der Klammer steht, dass die Parabel auf der x-Achse nach links, also in den negativen Bereich verschoben wird.

Merke dir einfach: Wenn die Zahl, die dem $x$ in der Klammer folgt, positiv ist, dann wird die Parabel nach links, also in den negativen Bereich verschoben.

Beides zusammen

Natürlich können wir den Graphen zum Beispiel auch nach unten und gleichzeitig nach rechts verschieben.

Sagen wir der Graph soll um $3$ nach unten und um $1$ nach rechts verschoben werden. Wie muss unsere Funktion dann aussehen?

Vertiefung

Hier klicken zum Ausklappen
Lösung

Wir gehen schrittweise vor:
Zuerst verschieben wir den Graphen um $3$ nach unten $\rightarrow f(x) = x^2-3$.
Dann noch um $1$ nach rechts $\rightarrow f(x) = (x-1)^2-3$.
Jetzt haben wir unseren Graphen und der sieht gezeichnet so aus:

Normalparabel um 3 nach unten und 1 nach rechts verschoben
Abbildung: Normalparabel um $3$ nach unten und um $1$ nach rechts verschoben

Die Funktion kann auch in Normalform angegeben werden. Leider können wir daraus die Verschiebung nicht direkt ablesen. Schauen wir uns ein Beispiel an. $f(x) = x^2+2x+5$. Der Graph dazu sieht so aus:

Normalparabel um 1 nach links und 4 nach oben verschoben
Abbildung: Normalparabel um $1$ nach links und um $4$ nach oben verschoben

Das einzige, was wir aus der Funktion direkt ablesen können, ist der y-Achsenabschnitt, also hier $5$. 
Nun können wir die Form natürlich in die Scheitelpunktform umformen.

 $f(x) = x^2+2x+5$
 $f(x) = (x^2+2x+1-1)+5$
 $f(x) = (x^2+2x+1)+5-1$
 $f(x) = (x+1)^2+4$

Jetzt können wir die Verschiebung ablesen. Der Graph wird um 1 nach links verschoben und um 4 nach oben. Wir können dies nun nochmal mit dem Bild von oben vergleichen; das Bild bestätigt, dass der Scheitelpunkt der Funktion bei S(-1/4) liegt.


Jetzt hast du einen Überblick über die verschiedenen Verschiebungen der Normalparabel bekommen. Dieses Wissen kannst du gerne an unseren Übungen testen. Wir wünschen dir viel Spaß dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Welche Funktion passt zu der Formel?

$f(x) = 5(x-2)^2+3,5$

Teste dein Wissen!

Die Normalparabel wird um 3 nach unten verschoben und um 1 nach rechts.
Wie sieht die Funktionsgleichung der Funktion aus?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

$f(x) = (x-a)^2+b$ 
Wofür sind die Faktoren a und b zuständig? Markiere die korrekte(n) Aussage(n).

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

In welche Richtung wird die Normalparabel verschoben?

$f(x) = 0,5\cdot(x+3)-6,5$y

Markiere die richtige Lösung.

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Mathematik > Funktionen

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

p-q-formel-3
Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's!
quadratische-funktion-11
Quadratische Funktionen: Nullstellen berechnen Mitternachtsformel, abc-Formel
Br?cke
Quadratische Funktionen zeichnen
textaufgabe-1
Quadratische Funktionen: Aufgaben mit Lösungen
funktionsgleichung-bestimmen-1
Quadratische Funktionen bestimmen leicht gemacht
Quadratischen Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform
Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Normalparabel nach unten verschoben um 3
Wie verschiebt man eine Normalparabel?
vergleich
Streckung und Stauchung einer Normalparabel
Bitte Beschreibung eingeben
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung lösen
gestreckte_und_gestauchte_funktion
Was ist eine quadratische Funktion?
Bitte Beschreibung eingeben
Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht
Potenzfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren
Potenzfunktionen zeichnen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
Potenzfunktion $\large{x^{-4}}$
Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
Potenzfunktion x hoch 8/3
Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
Wurzelfunktion f(x) = \sqrt x
Was ist eine Wurzelfunktion? - Erklärungen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt
funktion_x_hoch_2
Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen
Funktionen mit der Potenzregel ableiten
Funktionen mit der Faktorregel ableiten
Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden
Wie wende ich die Kettenregel an?
Funktionen mit der Quotientenregel ableiten
Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln
Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln
Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
ableitung
Ableitung: Bedeutung im Sachzusammenhang
Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben
exponentialfunktion-2-hoch-x
Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben
Logarithmusfunktionen log, ln, lg
Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften
e-Funktion
Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt
funktion_linearer_wachstum
Lineares Wachstum und lineare Abnahme
funktion_bakterien
Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
koordinatensystem
Was ist eine mathematische Funktion?
monotomie
Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
Umkehrfunktion2
Wie bildet man eine Umkehrfunktion?
Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt
kurvendiskussion_beispiel
Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
beispiel-lineare-funnktion
Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften
koordinatensystem
Achsenschnittpunkte von Funktionen berechnen
tangente
Tangentengleichung bestimmen einfach erklärt
asymptote
Was sind senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten?
Periode einer Sinuskurve
Sinusfunktion und ihre Eigenschaften
Die Kosinusfunktion
Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften
Sinusfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Kosinusfaktor mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!

Lehrer sofort fragen

Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.

  • Sofort, ohne Termin
  • Online-Chat 14 – 21 Uhr
  • Erfahrene Mathematik-Lehrer
Jetzt Lehrer kostenlos fragen
Lehrer zum Wunschtermin online fragen

Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.

  • Zum Wunschtermin
  • Online-Einzelgespräch
  • Geprüfte Nachhilfelehrer
Gratis Probestunde vereinbaren
Lehrer zum Wunschtermin in deiner Nähe fragen

Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

  • Zum Wunschtermin
  • In deiner Stadt
  • Geprüfte Nachhilfelehrer

Gratis Probestunde vereinbaren

Selbst-Lernportal
Wissen vertiefen und selber üben

Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.

  • Über 250.000 Übungsaufgaben
  • 700 Lernvideos
  • Original-Abi-Klausuren
Jetzt kostenlos entdecken
Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

anonymisiert, vom 2019-11-12
Die Beratung war ehrlich und sehr freundlich, es wurde auf die Bedürfnisse meiner Tochter eingegangen. Sie wurde in das Beratungsgespräch eingebunden. Sie fühlt sich in den Nachhilfestunden ernst genommen und sehr wohl. Sie geht gerne zur Nachhilfe.
Susanne S., vom 2019-10-29
Den Terminwünschen konnte entsprochen werden; kurzfristige Änderungen wurde entgegengekommen; die Leistung hat sich verbessert, das Selbstvertrauen ist gewachsen; wir sind sehr zufrieden
anonymisiert, vom 2019-10-18
Alles freundlich, kompetent und schülerorientiert
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
N-tv Gütesiegel
TÜV-Gütesiegel
Die Welt Service-Champions
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Wir benötigen deine Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um deinen konkreten Nachhilfebedarf zu ermitteln. Deine Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir dir telefonisch stellen könnten:

  • "Bei welchem Thema gibt es besondere Schwierigkeiten?
  • "Wann hättest du generell Zeit für den Unterricht?"

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen!

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
7772