Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt
In diesem Text erklären wir dir, was die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion ist und wie du sie berechnen kannst.
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Definition
Hier erfährst du, was eine Umkehrfunktion ist und wie du eine Umkehrfunktion berechnen kannst.
Umkehrfunktion
Umkehrfunktionen ordnen, wie der Name schon sagt, die Funktion umgekehrt zu. Das bedeutet, dass der $x$-Wert mit dem $y$-Wert getauscht wird. Dies ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert $(y)$ nur einen $x$-Wert gibt. Grafisch kannst du die Umkehrfunktion bilden, indem du die Funktion an der Winkelhalbierenden, also an der Funktion $f(x) =x$, spiegelst.
Die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)$ wird mit $f^{\textcolor{red}{-1}} (x)$ gekennzeichnet. Die hochgestellte $\textcolor{red}{-1}$ ist also das Zeichen für die Umkehrfunktion.
Um eine Umkehrfunktion zu bilden, muss die Funktion zunächst nach $x$ umgestellt werden. Danach werden $x$ und $y$ getauscht, dabei vertauscht sich auch die Definitions- und die Wertemenge.
Methode
Methode
Vorgehensweise: Umkehrfunktion bilden
- Die Funktion nach $x$ auflösen.
- $x$ und $y$ tauschen.
Schauen wir uns zwei Beispiele an:
Beispiel
Beispiel
$y = 3x^2+5$
1. Die Funktion nach $x$ auflösen.
$y = 3x^2+5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|-5$
$y-5 = 3x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|:3$
$\frac{y-5}{3}=x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt{~~}$
$\sqrt{\frac{y-5}{3}}=x$
2. $x$ und $y$ tauschen.
$\sqrt{\frac{x-5}{3}}=y$ bzw. $y= \sqrt{\frac{x-5}{3}}$
$f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x-5}{3}} $
Beispiel
Beispiel
$f(x)= 5x^3$
1. Die Funktion nach $x$ auflösen.
$y =5x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|:5$
$\frac{y~}{5~}=x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$
$\sqrt[3]{\frac{y~}{5~}}=x$
2. $x$ und $y$ tauschen.
$f^{-1}(x) = \sqrt[3~]{\frac{x~}{5~}}$
Potenzfunktion
Bei einer Potenzfunktion hat die Variable, also der $x$-Wert, einen Exponenten.
Gut zu wissen
Hinweis
$f(x) = x ^\textcolor {red}{n}$
Allgemein verlaufen Potenzfunktionen mit positiven Exponenten immer durch den Ursprung. In diesem Text schauen wir uns aber nur die Umkehrfunktionen von solchen Potenzfunktionen an.
Wie sehen die Umkehrfunktionen von solchen Potenzfunktionen mit positiven Exponenten aus?
Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen
Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion $f(x) = x^3$ soll gebildet werden. Wir gehen so vor, wie oben beschrieben:
Beispiel
Beispiel
1. Die Funktion nach $x$ auflösen:
$y = x^3 ~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$
$\sqrt[3]{y}= x$
2. $x$ und $y$ tauschen:
$y= \sqrt[3]{x}$ bzw. $f^{-1}(x) =y= \sqrt[3]{x}$
Bei allen anderen Potenzfunktionen, die einen ungeraden Exponenten haben, kann man genauso vorgehen. Bei Potenzfunktionen, die einen geraden Exponenten haben, muss man anders verfahren, denn jedem $y$-Wert werden zwei $x$-Werte zugeordnet. So ist beispielsweise bei der Funktion $y=x^2$ für den $y$-Wert $y= 4$ sowohl $x=2$ als auch $x=-2$ richtig. Daher muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden.
Schauen wir uns dazu die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=x^2$ an:
Beispiel
Beispiel
Es muss zunächst die Definitionsmenge festgelegt werden. Wir wollen die Umkehrfunktion für alle positiven $x$-Werte bilden, $x\ge 0$.
1. Die Funktion nach $x$ auflösen:
$f(x)= x^2 ~~~~~~~|\sqrt[2]{~~}$
$\sqrt[2]{y}= x$
2. $x$ und $y$ tauschen:
$f^{-1}(x)= \sqrt[2]{x}$, für alle $x\ge 0$.
Mit den Aufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei!
Video: Simon Wirth
Text: Chantal Rölle
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In welchem Bild wurde die Umkehrfunktion richtig gebildet?
Bilde die Umkehrfunktion von:
$f(x) = 5x^5+5$
Berechne die Umkehrfunktion von $f(x) = x^4 -6$. Zunächst muss der Definitionsbereich festgelegt werden, $x \ge -6$. Markiere die richtige Lösung.
Wie geht man vor, um eine Umkehrfunktion zu bilden? Markiere die richtige Lösung.
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