Mathematik > Funktionen

Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Text erklären wir dir, was die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion ist und wie du sie berechnen kannst.

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Definition

Hier erfährst du, was eine Umkehrfunktion ist und wie du eine Umkehrfunktion berechnen kannst.

Umkehrfunktion

Umkehrfunktionen ordnen, wie der Name schon sagt, die Variablen umgekehrt zu. Das bedeutet, dass der $x$-Wert mit dem $y$-Wert getauscht wird. Dies ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert $(y)$ nur einen $x$-Wert gibt. Grafisch kannst du die Umkehrfunktion bilden, indem du die Funktion an der Winkelhalbierenden, also an der Funktion $g(x) =x$, spiegelst.

Die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)$ wird mit $f^{\textcolor{red}{-1}} (x)$ gekennzeichnet. Die hochgestellte $\textcolor{red}{-1}$ ist also das Zeichen für die Umkehrfunktion.
Um eine Umkehrfunktion zu bilden, muss die Funktion zunächst nach $x$ umgestellt werden. Danach werden $x$ und $y$ getauscht, dabei vertauscht sich auch die Definitions- und die Wertemenge.

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Vorgehensweise: Umkehrfunktion bilden

  • Die Funktion nach $x$ auflösen.
  • $x$ und $y$ tauschen.
  • Schauen wir uns zwei Beispiele an:

    Beispiel

    Beispiel

    Hier klicken zum Ausklappen$y = 3x^2+5$

    Hier müssen wir den Definitionsbereich einschränken, da das Bild eine quadratische Parabel ist, die nicht eindeutig ist.

    Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt auf der $y$-Achse. Damit ist sie zum Beispiel für $x ≥ 0$ umkehrbar. Dieser Parabelast ist eindeutig. Der Definitionsbereich für diese Funktion seien also alle reellen Zahlen, die größer oder gleich Null sind. Den Wertebereich bilden alle reellen $y$-Werte die größer oder gleich 5 sind, denn die Parabel ist nach oben offen und ihr Scheitelpunkt liegt bei 5 auf der $y$-Achse.

    Definitionsbereich: D$f$:$x$ ∈ ℝ, $x$ ≥0

    Wertebereich: W$f$:$y$ ∈ ℝ, $y$ ≥5

    1. Die Funktion nach $x$ auflösen.

    $y = 3x^2+5~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|-5$
    $y-5 = 3x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|:3$
    $\frac{y-5}{3}=x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt{~~}$
    $\sqrt{\frac{y-5}{3}}=x$

    2. $x$ und $y$ tauschen.

    $\sqrt{\frac{x-5}{3}}=y$    bzw.    $y= \sqrt{\frac{x-5}{3}}$  

    $f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x-5}{3}} $

    Beispiel

    Beispiel

    Hier klicken zum Ausklappen

    Wir bilden hier die Umkehrfunktion für $x$ ≥ 0.

    Das Beispiel gibt es für den gesamten Definitionsbereich auf Wie bildet man eine Umkehrfunktion?

    $f(x)= 5x^3$

    1. Die Funktion nach $x$ auflösen.

    $y =5x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|:5$

    $\frac{y~}{5~}=x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$

    $\sqrt[3]{\frac{y~}{5~}}=x$

    2. $x$ und $y$ tauschen.

    $f^{-1}(x) =  \sqrt[3~]{\frac{x~}{5~}}$

    Potenzfunktion

    Gut zu wissen

    Hinweis

    Hier klicken zum Ausklappen

    Für jede ganze Zahl n ist $f(x) = x ^\textcolor {red}{n}$ eine Potenzfunktion.

    Potenzfunktion mit positivem Exponenten verlaufen immer durch den Ursprung. In diesem Text schauen wir uns aber nur die Umkehrfunktionen von solchen Potenzfunktionen an.  

    potenzfunktionen-beispiele
    Abbildung: Graphen von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten

    Wie sehen die Umkehrfunktionen von solchen Potenzfunktionen mit positiven Exponenten aus?

    Umkehrfunktionen von Potenzfunktionen

    Die Umkehrfunktion der Potenzfunktion $f(x) = x^3$ soll gebildet werden. Wir gehen so vor, wie oben beschrieben:

    Beispiel

    Beispiel

    Hier klicken zum Ausklappen

    Auch hier bilden wir die Umkehrfunktion für x≥0. Wir schränken hier den Definitionsbereich ein, da Wurzelfunktionen für negative Werte nicht erklärt sind.

    1. Die Funktion nach $x$ auflösen:

    $y = x^3 ~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$
    $\sqrt[3]{y}= x$

    2. $x$ und $y$ tauschen:

    $y= \sqrt[3]{x}$   bzw.   $f^{-1}(x) =y= \sqrt[3]{x}$

    umkehrfunktionx3
    Abbildung: Funktion $f(x) = x^3 $ und die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)= \sqrt[3]{x}$

    Bei allen anderen Potenzfunktionen, die einen ungeraden Exponenten haben, kann man genauso vorgehen. Bei Potenzfunktionen, die einen geraden Exponenten haben, muss man anders verfahren, denn jedem $y$-Wert außer dem vom Scheitelpunkt, werden zwei $x$-Werte zugeordnet. So ist beispielsweise bei der Funktion $y=x^2$ für den $y$-Wert $y= 4$ sowohl $x=2$ als auch $x=-2$ richtig. Daher muss der Definitionsbereich eingeschränkt werden.

    Schauen wir uns dazu die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)=x^2$ an:

    Beispiel

    Beispiel

    Hier klicken zum Ausklappen

    Es muss zunächst die Definitionsmenge festgelegt werden. Wir wollen die Umkehrfunktion für alle positiven $x$-Werte bilden, $x\ge 0$.

    1. Die Funktion nach $x$ auflösen:

    $f(x)= x^2 ~~~~~~~|\sqrt[2]{~~}$
    $\sqrt[2]{y}= x$

    2. $x$ und $y$ tauschen:

    $f^{-1}(x)=  \sqrt[2]{x} =\sqrt{x}$,          für alle $x\ge 0$.

    umkehrfunktionx2
    Abbildung: Funktion $f(x) = x^2 $ mit Umkehrfunktion $f^{-1}(x)= \sqrt[2]{x}$

    Mit den Aufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Viel Erfolg dabei!

    Video: Simon Wirth

    Text: Chantal Rölle

    autoren-mathematik

    Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

    Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

    Übungsaufgaben

    Teste dein Wissen!

    Teste dein Wissen!

    In welchem Bild wurde die Umkehrfunktion richtig gebildet?

    Teste dein Wissen!

    Bilde die Umkehrfunktion von:
    $f(x) = 5x^5+5$

    Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
    Teste dein Wissen!

    Berechne die Umkehrfunktion von $f(x) = x^4 -6$. Zunächst muss der Definitionsbereich festgelegt werden, $x \ge -6$. Markiere die richtige Lösung.

    Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
    Teste dein Wissen!

    Wie geht man vor, um eine Umkehrfunktion zu bilden? Markiere die richtige Lösung.

    Aufgabenblätter & Lösungen
    Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
    Mathematik > Funktionen

    Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

    p-q-formel-3
    Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's!
    quadratische-funktion-11
    Quadratische Funktionen: Nullstellen berechnen Mitternachtsformel, abc-Formel
    Br?cke
    Quadratische Funktionen zeichnen
    textaufgabe-1
    Quadratische Funktionen: Aufgaben mit Lösungen
    funktionsgleichung-bestimmen-1
    Quadratische Funktionen bestimmen leicht gemacht
    Quadratischen Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform
    Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
    Normalparabel nach unten verschoben um 3
    Wie verschiebt man eine Normalparabel?
    vergleich
    Streckung und Stauchung einer Normalparabel
    Bitte Beschreibung eingeben
    Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung lösen
    gestreckte_und_gestauchte_funktion
    Was ist eine quadratische Funktion?
    Bitte Beschreibung eingeben
    Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht
    Potenzfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren
    Potenzfunktionen zeichnen
    potenzfunktionen-beispiele
    Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
    Potenzfunktion $\large{x^{-4}}$
    Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
    Potenzfunktion x hoch 8/3
    Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
    Wurzelfunktion f(x) = \sqrt x
    Was ist eine Wurzelfunktion? - Erklärungen
    potenzfunktionen-beispiele
    Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt
    funktion_x_hoch_2
    Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen
    Funktionen mit der Potenzregel ableiten
    Funktionen mit der Faktorregel ableiten
    Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden
    Wie wende ich die Kettenregel an?
    Funktionen mit der Quotientenregel ableiten
    Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln
    Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln
    Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
    ableitung
    Ableitung: Bedeutung im Sachzusammenhang
    Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben
    exponentialfunktion-2-hoch-x
    Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben
    Logarithmusfunktionen log, ln, lg
    Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften
    e-Funktion
    Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt
    funktion_linearer_wachstum
    Lineares Wachstum und lineare Abnahme
    funktion_bakterien
    Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
    koordinatensystem
    Was ist eine mathematische Funktion?
    monotomie
    Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
    Umkehrfunktion2
    Wie bildet man eine Umkehrfunktion?
    Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt
    kurvendiskussion_beispiel
    Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
    beispiel-lineare-funnktion
    Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften
    koordinatensystem
    Achsenschnittpunkte von Funktionen berechnen
    tangente
    Tangentengleichung bestimmen einfach erklärt
    asymptote
    Was sind senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten?
    Periode einer Sinuskurve
    Sinusfunktion und ihre Eigenschaften
    Die Kosinusfunktion
    Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften
    Sinusfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
    Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
    Kosinusfaktor mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
    Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
    Du brauchst Hilfe?

    Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!

    Lehrer sofort fragen

    Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.

    • Sofort, ohne Termin
    • Online-Chat 14 – 21 Uhr
    • Erfahrene Mathematik-Lehrer
    Jetzt Lehrer kostenlos fragen
    Lehrer zum Wunschtermin online fragen

    Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.

    • Zum Wunschtermin
    • Online-Einzelgespräch
    • Geprüfte Nachhilfelehrer
    Gratis Probestunde vereinbaren
    Lehrer zum Wunschtermin in deiner Nähe fragen

    Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

    • Zum Wunschtermin
    • In deiner Stadt
    • Geprüfte Nachhilfelehrer

    Gratis Probestunde vereinbaren

    Selbst-Lernportal
    Wissen vertiefen und selber üben

    Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.

    • Über 250.000 Übungsaufgaben
    • 700 Lernvideos
    • Original-Abi-Klausuren
    Jetzt kostenlos entdecken
    Bewertungen

    Unsere Kunden über den Studienkreis

    anonymisiert, vom 2020-09-17
    Alles gute
    anonymisiert, vom 2020-09-16
    Die Leitung (Frau Gräf) ist sehr freundlich und geht den Wünschen nach. Auch Matheunterricht bringt unseren Sohn was.
    Detlef R., vom 2020-09-15
    Alles super, die Lehrer sind super lieb und meine Noten verbessern sich :)
    Noch Fragen?

    Wir sind durchgehend für dich erreichbar

    0800 111 12 20
    (kostenlos und jederzeit)
    n-tv Siegel Testsieger Nachhilfe Studienkreis 2019
    TÜV-Gütesiegel - Servicequalität Nachhilfe
    Service-Champions - Studienkreis - Nr. 1 der Nachhilfeanbieter
    Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

    Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

    Dein Gratis-Lernpaket:

    • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
    • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
    • Nachhilfe-Probestunden gratis
    Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

    Schon registriert? Hier einloggen

    Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
    Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

    Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

    Dein Gratis-Lernpaket:

    • Nachhilfe-Probestunden gratis
    • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
    • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
    Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

    Wir benötigen deine Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um deinen konkreten Nachhilfebedarf zu ermitteln. Deine Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

    Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir dir telefonisch stellen könnten:

    • "Bei welchem Thema gibt es besondere Schwierigkeiten?
    • "Wann hättest du generell Zeit für den Unterricht?"

    Schon registriert? Hier einloggen

    Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
    Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen!

    Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.

    Dein Gratis-Lernpaket:

    • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
    • Nachhilfe-Probestunden gratis
    • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
    Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

    Schon registriert? Hier einloggen

    Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
    7767