Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Funktionen Grundlagen zum Thema Funktionen Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften

Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften

Es gibt eine Vielzahl an verschiedenen Funktionsarten. Hier erhältst du eine Übersicht über die Funktionstypen, die in der Schule besprochen werden.

Die Einteilung in Funktionsarten bietet eine Hilfe, da gleiche Funktionsarten oft ähnliche Eigenschaften und Merkmale besitzen.

Übersicht der Funktionen in Mathe

Hier erhältst du eine kurze Übersicht zu den Funktionen in Mathe.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen
  1. Ganzrationale Funktionen: $f(x) = a x^n + b x^{n-1} + ...$
  2. Sonderformen: Quadratische Funktionen
  3. Potenzfunktionen: $f(x) = a\cdot x^{n}$
    1. Fall: gerader, positiver Exponent
    2. Fall: ungerader, positiver Exponent
    3. Fall: gerader, negativer Exponent
    4. Fall: ungerader, negativer Exponent
  4. Exponentialfunktion: $f(x) = n^{~x}$

Noch nicht alles klar? Du hast jetzt eine kleine Übersicht über die mathematischen Funktionen erhalten. Wir möchten dir nun alles etwas detaillierter erklären, damit du fit in diesem Thema wirst. Falls dir das noch nicht genügt, gelangst du über die obigen Begriffe zu den jeweiligen Seiten.

Ganzrationale Funktionen bestimmen

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Ganzrationale Funktionen haben die Grundform: $f(x) = a x^n + b x^{n-1} + ...$

Funktionen, bei denen $n=1$ ist, werden lineare Funktionen genannt und Funktionen, bei denen $n=2$ ist, heißen quadratische Funktionen.

Ganzrationale Funktionen: Lineare Funktionen

Die Besonderheit von linearen Funktionen ist es, dass sie aus einer Gerade bestehen. Das bedeutet, dass die Steigung in jedem Punkt der Funktion gleich ist.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x) = \textcolor{red}{m}\cdot x + \textcolor{blue}{n}$

$\textcolor{red}{m: Steigung}$
$\textcolor{blue}{n: y-Achsenabschnitt}$

$x:$ unabhängige Variable
$f(x) = y:$ abhängige Variable

beispiel-lineare-funnktion
Abbildung einer linearen Funktion mit y-Achsenabschnitt, Nullstelle und Steigungsdreieck

Ganzrationale Funktionen: Quadratische Funktionen

Bei quadratischen Funktionen wird das $x$ zum Quadrat genommen: $\rightarrow f(x) = ax^2+bx+c$

Es ergibt sich die Form einer Parabel:

normalparabel-1
Abbildung: Normalparabel

Jedem y-Wert werden zwei x-Werte zugeordnet.

Quadratische Funktionen können sowohl in der Normalform als auch in der Scheitelpunktform angegeben sein:

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Normalform: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$

Scheitelpunktform: $f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Streckungsfaktor: $\textcolor{red}a$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d/\textcolor{green}e)$

Die beiden Formen kann man gegenseitig ineinander umformen.

Potenzfunktionen

Potenzfunktionen werden alle Funktionen genannt, bei denen die Variable einen Exponenten hat.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x) = a\cdot x^{n}$

Ja nachdem welche Zahl der Exponent ist, ergibt sich eine andere Funktion. Hierbei werden vier verschiedene Fälle unterschieden:

1. Fall: gerader, positiver Exponent

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Gerade und positive Exponenten

Die Funktionen besitzen immer die Punkte $P_1(-1|1)$, $S(0|0)$, $P_2(1|1)$.

Die einzige Nullstelle ist der Ursprung.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, also D = .

Der Wertebereich ist  W = + [0; +∞]

Der Graph ist achsensymmetrisch zur Y-Achse.

Potenzfunktionen gerade und positiv
Beispiele: Potenzfunktionen Exponent gerade und positiv

2. Fall: ungerader, positiver Exponent

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Ungerade und positive Exponenten

Die Grenzwerte streben für x 0 +∞.

Die Funktionen treffen sich in den Punkten $P_1(-1|-1)$, $S(0|0)$, $P_2(1|1)$.

Die einzige Nullstelle ist der Ursprung.

Der Definitionsbereich und der Wertebereich sind D = W = .

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Potenzfunktionen ungerade und positiv
Potenzfunktionen Exponent ungerade und positiv

3. Fall: gerader, negativer Exponent

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Gerader und negativer Exponent

Die Grenzwerte sind dann wie folgt:

Wenn x den Wert 0 anstrebt (der Wert geht also immer näher an die Zahl Null), streben die y-Werte +∞ an.

Wenn x den Wert -|+ ∞ anstrebt, streben die y-Werte 0 an.

Die Funktionen treffen sich in den Punkten $P_1(-1|1)$, $P_2(1|1)$.

Es gibt keine Nullstelle.

Der Definitionsbereich ist D = \{0}.

Der Wertebereich ist W = ]0; +∞].

Die Funktionen sind alle achsensymmetrisch zur y-Achse.

Potenzfunktionen gerade und negativ
Potenzfunktionen gerade und negativ

4. Fall: ungerader, negativer Exponent

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Ungerade und negative Exponenten

Die Grenzwerte sind wie folgt:

Für x strebt gegen -|+ ∞, streben die y-Werte den Wert 0 an, somit ist die y-Achse eine Asymptote.

Für x strebt gegen 0, streben die y-Werte bei x 0 +∞.

Die Funktionen treffen sich in den Punkten $P_1(-1|-1)$, $P_2(1|1)$.

Es gibt keine Nullstellen.

Der Definitionsbereich und der Wertebereich sind D = W = \{0}.

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Potenzfunktionen ungerade und negativ
Potenzfunktionen ungerade und negativ

Exponentialfunktionen

Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x) = n^{~x}$

Exponentialfunktionen wachsen exponentiell an oder nehmen exponentiell ab. Das exponentielle Wachstum ist charakteristisch für Exponentialfunktionen. Wie du an der Abbildung sehen kannst, steigt die Funktion erst sehr langsam und dann sehr schnell an. Daher kommt auch die typische Form einer Exponentialfunktion:

exponentialfunktion-2-hoch-x
Abbildung: Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$

Allgemein bildet jede Exponentialfunktion eine Asymptote mit der x-Achse.

Nun hast du eine Übersicht über die mathematischen Funktionen erhalten. Als kleine Hilfe stellen wir dir eine Übersichtsseite zum Herunterladen zur Verfügung. Außerdem kannst du dein Wissen mit unseren Übungsaufgaben zu ganzrationalen Funktionen und anderen Funktionen testen. Viel Erfolg dabei!

Video: Fabian Serwitzki

Text: Chantal Rölle

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Du brauchst Hilfe? Frag einen Lehrer!

Lehrer jetzt sofort fragen

Wende dich direkt online ohne Termin per Video-Chat an einen unserer Lehrer der Mathematik-Hausaufgabenhilfe, täglich zwischen 14-21 Uhr.

Jetzt kostenlos fragen

Lehrer zum Wunschtermin fragen

Vereinbare einen Termin bei einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe-Online

Gratis Probestunde online

Du möchtest lieber einen Lehrer in einer unserer Nachhilfe-Schulen fragen? Dann wähle hier deine nächstgelegene Mathematik-Nachhilfe-Schule aus.

Gratis Probestunde vor Ort
TESTE KOSTENLOS UNSER SELBST-LERN-PORTAL:
  • Über 600 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
8553