Mathematik > Funktionen

Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften

Inhaltsverzeichnis:

Es gibt eine Vielzahl an verschiedenen Funktionsarten. Hier erhältst du eine Übersicht über die Funktionstypen, die in der Schule besprochen werden.

Die Einteilung in Funktionsarten bietet eine Hilfe, da gleiche Funktionsarten oft ähnliche Eigenschaften und Merkmale besitzen.

Übersicht der Funktionen in Mathe

Hier erhältst du eine kurze Übersicht zu den Funktionen in Mathe.

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  1. Ganzrationale Funktionen: $f(x) = a x^n + b x^{n-1} + ...$
  2. Sonderformen: Quadratische Funktionen
  3. Potenzfunktionen: $f(x) = a\cdot x^{n}$
    1. Fall: gerader, positiver Exponent
    2. Fall: ungerader, positiver Exponent
    3. Fall: gerader, negativer Exponent
    4. Fall: ungerader, negativer Exponent
  4. Exponentialfunktion: $f(x) = n^{~x}$

Noch nicht alles klar? Du hast jetzt eine kleine Übersicht über die mathematischen Funktionen erhalten. Wir möchten dir nun alles etwas detaillierter erklären, damit du fit in diesem Thema wirst. Falls dir das noch nicht genügt, gelangst du über die obigen Begriffe zu den jeweiligen Seiten.

Ganzrationale Funktionen bestimmen

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Ganzrationale Funktionen haben die Grundform: $f(x) = a x^n + b x^{n-1} + ...$

Funktionen, bei denen $n=1$ ist, werden lineare Funktionen genannt und Funktionen, bei denen $n=2$ ist, heißen quadratische Funktionen.

Ganzrationale Funktionen: Lineare Funktionen

Die Besonderheit von linearen Funktionen ist es, dass sie aus einer Gerade bestehen. Das bedeutet, dass die Steigung in jedem Punkt der Funktion gleich ist.

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$f(x) = \textcolor{red}{m}\cdot x + \textcolor{blue}{n}$

$\textcolor{red}{m: Steigung}$
$\textcolor{blue}{n: y-Achsenabschnitt}$

$x:$ unabhängige Variable
$f(x) = y:$ abhängige Variable

beispiel-lineare-funnktion
Abbildung einer linearen Funktion mit y-Achsenabschnitt, Nullstelle und Steigungsdreieck

Ganzrationale Funktionen: Quadratische Funktionen

Bei quadratischen Funktionen wird das $x$ zum Quadrat genommen: $\rightarrow f(x) = ax^2+bx+c$

Es ergibt sich die Form einer Parabel:

normalparabel-1
Abbildung: Normalparabel

Jedem y-Wert werden zwei x-Werte zugeordnet.

Quadratische Funktionen können sowohl in der Normalform als auch in der Scheitelpunktform angegeben sein:

Gut zu wissen

Hinweis

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Normalform: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$

Scheitelpunktform: $f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Streckungsfaktor: $\textcolor{red}a$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d/\textcolor{green}e)$

Die beiden Formen kann man gegenseitig ineinander umformen.

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Potenzfunktionen

Potenzfunktionen werden alle Funktionen genannt, bei denen die Variable einen Exponenten hat.

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$f(x) = a\cdot x^{n}$

Ja nachdem welche Zahl der Exponent ist, ergibt sich eine andere Funktion. Hierbei werden vier verschiedene Fälle unterschieden:

1. Fall: gerader, positiver Exponent

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Gerade und positive Exponenten

Die Funktionen besitzen immer die Punkte $P_1(-1|1)$, $S(0|0)$, $P_2(1|1)$.

Die einzige Nullstelle ist der Ursprung.

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, also D = .

Der Wertebereich ist  W = + [0; +∞]

Der Graph ist achsensymmetrisch zur Y-Achse.

Potenzfunktionen gerade und positiv
Beispiele: Potenzfunktionen Exponent gerade und positiv

2. Fall: ungerader, positiver Exponent

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Ungerade und positive Exponenten

Die Grenzwerte streben für x 0 +∞.

Die Funktionen treffen sich in den Punkten $P_1(-1|-1)$, $S(0|0)$, $P_2(1|1)$.

Die einzige Nullstelle ist der Ursprung.

Der Definitionsbereich und der Wertebereich sind D = W = .

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Potenzfunktionen ungerade und positiv
Potenzfunktionen Exponent ungerade und positiv

3. Fall: gerader, negativer Exponent

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Gerader und negativer Exponent

Die Grenzwerte sind dann wie folgt:

Wenn x den Wert 0 anstrebt (der Wert geht also immer näher an die Zahl Null), streben die y-Werte +∞ an.

Wenn x den Wert -|+ ∞ anstrebt, streben die y-Werte 0 an.

Die Funktionen treffen sich in den Punkten $P_1(-1|1)$, $P_2(1|1)$.

Es gibt keine Nullstelle.

Der Definitionsbereich ist D = \{0}.

Der Wertebereich ist W = ]0; +∞].

Die Funktionen sind alle achsensymmetrisch zur y-Achse.

Potenzfunktionen gerade und negativ
Potenzfunktionen gerade und negativ

4. Fall: ungerader, negativer Exponent

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Ungerade und negative Exponenten

Die Grenzwerte sind wie folgt:

Für x strebt gegen -|+ ∞, streben die y-Werte den Wert 0 an, somit ist die y-Achse eine Asymptote.

Für x strebt gegen 0, streben die y-Werte bei x 0 +∞.

Die Funktionen treffen sich in den Punkten $P_1(-1|-1)$, $P_2(1|1)$.

Es gibt keine Nullstellen.

Der Definitionsbereich und der Wertebereich sind D = W = \{0}.

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Potenzfunktionen ungerade und negativ
Potenzfunktionen ungerade und negativ

Exponentialfunktionen

Bei Exponentialfunktionen steht die Variable im Exponenten.

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$f(x) = n^{~x}$

Exponentialfunktionen wachsen exponentiell an oder nehmen exponentiell ab. Das exponentielle Wachstum ist charakteristisch für Exponentialfunktionen. Wie du an der Abbildung sehen kannst, steigt die Funktion erst sehr langsam und dann sehr schnell an. Daher kommt auch die typische Form einer Exponentialfunktion:

exponentialfunktion-2-hoch-x
Abbildung: Exponentialfunktion $f(x) = 2^x$

Allgemein bildet jede Exponentialfunktion eine Asymptote mit der x-Achse.

Nun hast du eine Übersicht über die mathematischen Funktionen erhalten. Als kleine Hilfe stellen wir dir eine Übersichtsseite zum Herunterladen zur Verfügung. Außerdem kannst du dein Wissen mit unseren Übungsaufgaben zu ganzrationalen Funktionen und anderen Funktionen testen. Viel Erfolg dabei!

Video: Fabian Serwitzki

Text: Chantal Rölle

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

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Potenzfunktion $\large{x^{-3}}$


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Welche der folgenden Funktionen wird Potenzfunktion genannt?

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Mathematik > Funktionen

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