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Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's!

Mathematik > Funktionen
Nullstellen mit der p-q-Formel berechnen - so geht's! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
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Inhaltsverzeichnis:

Bei vielen Aufgaben, die dir zum Thema quadratische Gleichungen gestellt werden, sollst du die Nullstellen berechnen.

Suchst du jetzt einen Nullstellenrechner? Du willst ganz bequem mit einem pq-Formel-Rechner online deine Mathematikaufgabe lösen? Dann bist du hier falsch. Wir erklären dir aber dafür in wenigen Schritten, wie du ganz ohne Online-Rechner Nullstellen mit der p-q-Formel berechnest. Werde jetzt Profi in der Nullstellenberechnung!

Was sind Nullstellen?

Nullstellen sind diejenigen x-Werte, die eingesetzt in die Funktionsgleichung $f(x)$, null ergeben. Im Falle der quadratischen Funktion sind die Nullstellen die Stellen, an denen der Graph der Funktion $f(x)$ die x-Achse schneidet.

Merke

$f(x) = a \cdot x^2 + b\cdot x + c = 0 $

Im Falle der quadratischen Funktion sind dies genau die x-Werte, an der der Graph die x-Achse schneidet. Der Wert der y-Koordinate muss also $0$ sein.

In Bezug auf die Anzahl der Nullstellen gibt es drei verschiedene Möglichkeiten:

  • Zwei Nullstellen
  • Genau eine Nullstelle
  • Keine Nullstelle

Im Folgenden beschäftigen wir uns mit diesen verschiedenen Möglichkeiten und bestimmen die jeweiligen Nullstellen mithilfe der p-q-Formel.

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Quadratische Funktionen mit zwei Nullstellen

Unser wichtigstes Werkzeug, um die Nullstellen bestimmen zu können, ist die p-q-Formel, die du wahrscheinlich schon beim Lösen quadratischer Gleichungen eingesetzt hast. Mithilfe dieser Formel lassen sich quadratische Gleichungen, die in der Normalform stehen, durch direktes Einsetzen lösen.

Merke

p-q-Formel

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{green}{q}}$

Bestimmung von p und von q:

$f(x) = x^2+{\textcolor{red}{ p}} \cdot x +{\textcolor{green}{ q}} = 0$

Wichtig ist dabei, dass der Faktor vor dem $x^2$ gleich 1 ist. Ist dies nicht der Fall, musst du die Gleichung so umstellen, dass sich der Faktor 1 ergibt. Dies machst du, indem du die ganze Gleichung durch den Faktor vor $x^2$ teilst. Hierzu ein Beispiel: 

Beispiel

$f(x) = 3\cdot x^2+6\cdot x-4$  

1. Quadratische Gleichung umformen

$0 = 3\cdot x^2+6\cdot x-4$   $|:3$

Zuerst müssen wir durch 3 teilen, damit der Faktor vor dem $x^2$ gleich 1 ist.

$0 = x^2+2\cdot x-\frac{4}{3}$

Nun haben wir die Funktion so umgestellt, dass wir p und q bestimmen können.

2. Bestimmung von p und q

$0 = x^2+\textcolor{red}{2}\cdot x \textcolor{green}{-\frac{4}{3}}$

$0 = x^2+{\textcolor{red}{ p}} \cdot x +{\textcolor{green}{ q}} = 0$

  • $\textcolor{red}{p=2}$
  • $\textcolor{green}{q=-\frac{4}{3}}$


Setzen wir diese Werte nun in die p-q-Formel ein und berechnen $x$. 

3. p-q-Formel anwenden

$x_{1/2} = -\frac{2}{2}\pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-(-\frac{4}{3})}$

$x_{1/2} = -\frac{2}{2}\pm \sqrt{\frac{2^2}{4}-(-\frac{4}{3})}$

$x_{1/2} = -1\pm \sqrt{1+\frac{4}{3}}$

$x_1 = -1 + \sqrt{1+\frac{4}{3}} \approx 0,53$

$x_2 = -1 - \sqrt{1+\frac{4}{3}} \approx -2,53$

Charakteristisch für quadratische Funktionen mit zwei Nullstellen ist, dass unter der Wurzel eine positive Zahl steht. Daraus ergeben sich zwei Werte für x( $x_1, x_2$). Dies lässt sich vor allem mit der p-q-Formel gut nachvollziehen, da wir einmal plus und einmal minus den Wert der Wurzel rechnen.

$\rightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2}\textcolor{red}{\pm}\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$. 

Betrachten wir noch ein weiteres Beispiel.

Beispiel

$f(x) = -x^2+10\cdot x+16$     

$0 = -x^2+10\cdot x+16 = 0$     $|\cdot (-1)$

Wir multiplizieren zunächst mit $-1$, damit der Faktor vor $x^2$ gleich $1$ ist.

$0 = x^2 - 10\cdot  x-16$

Nun können wir die Werte für p und q aus der Gleichung ablesen:

  • $ p= - 10$ 
  • $ q= -16$


$x_{1/2} = -\frac{-10}{2}\pm \sqrt{(\frac{-10}{2})^2-(-16)}$
$x_{1/2} = 5\pm \sqrt{\frac{100}{4}+16}$
$x_{1/2} = 5\pm \sqrt{25+16} = 5\pm \sqrt{41}$
$x_1 = 5 + \sqrt{41} \approx 11,4$
$x_2 = 5 - \sqrt{41} \approx -1,4 $

Charakteristisch für die Funktionen mit zwei Nullstellen, ist, dass unter der Wurzel eine positive Zahl steht. Daraus ergeben sich dann zwei Werte ($x_1, x_2$), da wir einmal plus und einmal minus den Wert der Wurzel rechnen. $\rightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2}\textcolor{red}{\pm}\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$. 

Quadratische Funktionen mit einer Nullstelle

Quadratische Funktionen, die nur genau eine Nullstelle haben, berühren die x-Achse in einem Punkt. Man sagt dazu auch, dass der Graph die x-Achse tangiert. 

Schauen wir uns ein Beispiel an: 

Beispiel

1. Quadratische Funktion gleich null setzen

$f(x) = x^2 - 8\cdot x + 16$

$0  = x^2 - 8\cdot x + 16$

2. Bestimmung von p und q

  • $ p= - 8$ 
  • $ q= 16$

3. p-q-Formel anwenden
$x_{1/2} = -\frac{-8}{2}\pm \sqrt{(\frac{-8}{2})^2-(16)}$

$x_{1/2} = -\frac{-8}{2}\pm \sqrt{\frac{-8^2}{4}-(16)}$
$x_{1/2} = 4\pm \sqrt{\frac{64}{4}-16}$
$x_{1/2} = 4\pm \sqrt{16-16} = 4\pm \sqrt{0}$
$x_1 = 4 + 0 = 4$
$x_2 = 4 - 0 = 4$

Beim Berechnen der Nullstelle mithilfe der p-q-Formel solcher Funktionen, erkennen wir sofort eine Besonderheit: Bei der Anwendung der p-q-Formel ergibt der Wert unterhalb der Wurzel immer null. Aus diesem Grund kommen keine unterschiedlichen Ergebnisse für $x_1$ und $x_2$ heraus und wir erhalten lediglich genau eine Nullstelle.

Quadratische Funktionen ohne Nullstelle

Wie kann es sein, dass eine quadratische Funktion keine Nullstelle besitzt? 

Betrachten wir beispielsweise die Funktion $f(x) = x^2 - 4\cdot x + 5$. Wir erkennen, dass der Graph die x-Achse weder schneidet noch berührt. Er besitzt also keine Nullstelle.

p-q-formel-3

Welches Ergebnis erhalten wir aber, wenn wir versuchen, die Nullstellen der Funktion mithilfe der p-q-Formel zu berechnen?

Beispiel

1. Quadratische Gleichung gleich null setzen

$f(x) = x^2-4x+5$

$0     = x^2-4x+5$

2. Bestimmung von p und q

  • $p= -4$
  • $q= 5$

3. p-q-Formel anwenden


$x_{1/2} = -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^2-(5)}$
$x_{1/2} = 2\pm \sqrt{\frac{16}{4}-5}$
$x_{1/2} = 2\pm \sqrt{4-5}$
$x_{1/2} = 2\pm \sqrt{-1}$
$\textcolor{red}{\sqrt{-1}}\rightarrow$ im Bereich der reellen Zahlen nicht berechenbar.

Da die p-q-Formel nicht lösbar ist, gibt es kein Ergebnis und somit auch keine reellen Nullstellen.

Anzahl der Nullstellen aus der p-q-Formel ablesen

Merke

Zwei Nullstellen
Der Wert unter der Wurzel in der p-q-Formel ist positiv.

Genau eine Nullstelle
Der Wert unter der Wurzel ist genau null.

Keine Nullstelle
Der Wert unter der Wurzel ist negativ.

Beispielaufgabe - Nullstellen berechnen

Schauen wir uns diese Funktionen an, die zwei Schnittpunkte mit der x-Achse und somit auch zwei Nullstellen hat. 

$f(x) = 4 x^2 +12 x + 6$

Versuche die Nullstellen einmal selber mithilfe der p-q-Formel zu berechnen

Vertiefung

Hier klicken zum Ausklappen
Lösung 

1. Quadratische Gleichung umformen

$f(x) = 4 x^2 +12 x + 6$ 

$0 = 4 x^2 +12 x + 6$     $|:4$
$0 = x^2 +3 x + 1,5$

2. Bestimmung von p und q
$p=3$
$q=1,5$

3. p-q-Formel anwenden

$x_{1/2} = -\frac{3}{2}\pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2-1,5}$
$x_{1/2} = -1,5\pm \sqrt{\frac{9}{4}-1,5}$
$x_{1/2} = -1,5\pm \sqrt{0,75}$
$x_1 = -1,5 + \sqrt{0,75} \approx -0,63$
$x_2 = 5 - \sqrt{41} \approx -2,36 $

Jetzt kannst du die Nullstellen von quadratischen Funktionen mithilfe der pq-Formel berechnen. Teste dein neu erlerntes Wissen jetzt mithilfe unserer Übungen. Viel Spaß und Erfolg dabei!

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Wie lauten die Lösungen dieser Gleichung?
$f(x) = 3(x+3)^2-29=-2$

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Wie viele Nullstellen hat diese Funktion?

$f(x) = x^2-x-5$

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Berechne die Nullstellen und markiere die richtige Lösung.
$f(x) = 2x^2-6x+4 = 0$

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Bestimme p und q dieser Gleichung:

$f(x) = 4 \cdot x^2 - x + 3 = 15$

Markiere die korrekte Lösung.

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29.06.2025
Wunderbare sehr freundliche Betreuung,unser Sohn geht gerne zum Unterricht und bekommt alles verständlich erklärt.
06.06.2025
Meine Tochter ging 1x pro Woche für Deusch Nachhilfe zum Studienkreis und verbesserte sich in 3 Monaten von Note 5 auf Note 2 :-))
06.06.2025
Mein Sohn hat seine Noten verbessert.Vladimir ist sehr guter Leiter ,er war immer erreichbar und wenn mein Sohn krank war ,er konnte Unterricht nachholen.

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