Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's!
Bei vielen Aufgaben, die dir zum Thema quadratische Gleichungen gestellt werden, sollst du die Nullstellen berechnen.
Suchst du jetzt einen Nullstellenrechner? Du willst ganz bequem mit einem pq-Formel-Rechner online deine Mathematikaufgabe lösen? Dann bist du hier falsch. Wir erklären dir aber dafür in wenigen Schritten, wie du ganz ohne Online-Rechner Nullstellen mit der p-q-Formel berechnest. Werde jetzt Profi in der Nullstellenberechnung!
Was sind Nullstellen?
Nullstellen sind diejenigen x-Werte, die eingesetzt in die Funktionsgleichung $f(x)$, null ergeben. Im Falle der quadratischen Funktion sind die Nullstellen die Stellen, an denen der Graph der Funktion $f(x)$ die x-Achse schneidet.
Merke
$f(x) = a \cdot x^2 + b\cdot x + c = 0 $
Im Falle der quadratischen Funktion sind dies genau die x-Werte, an der der Graph die x-Achse schneidet. Der Wert der y-Koordinate muss also $0$ sein.
In Bezug auf die Anzahl der Nullstellen gibt es drei verschiedene Möglichkeiten:
- Zwei Nullstellen
- Genau eine Nullstelle
- Keine Nullstelle
Im Folgenden beschäftigen wir uns mit diesen verschiedenen Möglichkeiten und bestimmen die jeweiligen Nullstellen mithilfe der p-q-Formel.
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Quadratische Funktionen mit zwei Nullstellen
Unser wichtigstes Werkzeug, um die Nullstellen bestimmen zu können, ist die p-q-Formel, die du wahrscheinlich schon beim Lösen quadratischer Gleichungen eingesetzt hast. Mithilfe dieser Formel lassen sich quadratische Gleichungen, die in der Normalform stehen, durch direktes Einsetzen lösen.
Merke
p-q-Formel
$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{green}{q}}$
Bestimmung von p und von q:
$f(x) = x^2+{\textcolor{red}{ p}} \cdot x +{\textcolor{green}{ q}} = 0$
Wichtig ist dabei, dass der Faktor vor dem $x^2$ gleich 1 ist. Ist dies nicht der Fall, musst du die Gleichung so umstellen, dass sich der Faktor 1 ergibt. Dies machst du, indem du die ganze Gleichung durch den Faktor vor $x^2$ teilst. Hierzu ein Beispiel:
Beispiel
$f(x) = 3\cdot x^2+6\cdot x-4$
1. Quadratische Gleichung umformen
$0 = 3\cdot x^2+6\cdot x-4$ $|:3$
Zuerst müssen wir durch 3 teilen, damit der Faktor vor dem $x^2$ gleich 1 ist.
$0 = x^2+2\cdot x-\frac{4}{3}$
Nun haben wir die Funktion so umgestellt, dass wir p und q bestimmen können.
2. Bestimmung von p und q
$0 = x^2+\textcolor{red}{2}\cdot x \textcolor{green}{-\frac{4}{3}}$
$0 = x^2+{\textcolor{red}{ p}} \cdot x +{\textcolor{green}{ q}} = 0$
- $\textcolor{red}{p=2}$
- $\textcolor{green}{q=-\frac{4}{3}}$
Setzen wir diese Werte nun in die p-q-Formel ein und berechnen $x$.
3. p-q-Formel anwenden
$x_{1/2} = -\frac{2}{2}\pm \sqrt{(\frac{2}{2})^2-(-\frac{4}{3})}$
$x_{1/2} = -\frac{2}{2}\pm \sqrt{\frac{2^2}{4}-(-\frac{4}{3})}$
$x_{1/2} = -1\pm \sqrt{1+\frac{4}{3}}$
$x_1 = -1 + \sqrt{1+\frac{4}{3}} \approx 0,53$
$x_2 = -1 - \sqrt{1+\frac{4}{3}} \approx -2,53$
Charakteristisch für quadratische Funktionen mit zwei Nullstellen ist, dass unter der Wurzel eine positive Zahl steht. Daraus ergeben sich zwei Werte für x( $x_1, x_2$). Dies lässt sich vor allem mit der p-q-Formel gut nachvollziehen, da wir einmal plus und einmal minus den Wert der Wurzel rechnen.
$\rightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2}\textcolor{red}{\pm}\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$.
Betrachten wir noch ein weiteres Beispiel.
Beispiel
$f(x) = -x^2+10\cdot x+16$
$0 = -x^2+10\cdot x+16 = 0$ $|\cdot (-1)$
Wir multiplizieren zunächst mit $-1$, damit der Faktor vor $x^2$ gleich $1$ ist.
$0 = x^2 - 10\cdot x-16$
Nun können wir die Werte für p und q aus der Gleichung ablesen:
- $ p= - 10$
- $ q= -16$
$x_{1/2} = -\frac{-10}{2}\pm \sqrt{(\frac{-10}{2})^2-(-16)}$
$x_{1/2} = 5\pm \sqrt{\frac{100}{4}+16}$
$x_{1/2} = 5\pm \sqrt{25+16} = 5\pm \sqrt{41}$
$x_1 = 5 + \sqrt{41} \approx 11,4$
$x_2 = 5 - \sqrt{41} \approx -1,4 $
Charakteristisch für die Funktionen mit zwei Nullstellen, ist, dass unter der Wurzel eine positive Zahl steht. Daraus ergeben sich dann zwei Werte ($x_1, x_2$), da wir einmal plus und einmal minus den Wert der Wurzel rechnen. $\rightarrow x_{1/2} = -\frac{p}{2}\textcolor{red}{\pm}\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}$.
Quadratische Funktionen mit einer Nullstelle
Quadratische Funktionen, die nur genau eine Nullstelle haben, berühren die x-Achse in einem Punkt. Man sagt dazu auch, dass der Graph die x-Achse tangiert.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel
1. Quadratische Funktion gleich null setzen
$f(x) = x^2 - 8\cdot x + 16$
$0 = x^2 - 8\cdot x + 16$
2. Bestimmung von p und q
- $ p= - 8$
- $ q= 16$
3. p-q-Formel anwenden
$x_{1/2} = -\frac{-8}{2}\pm \sqrt{(\frac{-8}{2})^2-(16)}$
$x_{1/2} = -\frac{-8}{2}\pm \sqrt{\frac{-8^2}{4}-(16)}$
$x_{1/2} = 4\pm \sqrt{\frac{64}{4}-16}$
$x_{1/2} = 4\pm \sqrt{16-16} = 4\pm \sqrt{0}$
$x_1 = 4 + 0 = 4$
$x_2 = 4 - 0 = 4$
Beim Berechnen der Nullstelle mithilfe der p-q-Formel solcher Funktionen, erkennen wir sofort eine Besonderheit: Bei der Anwendung der p-q-Formel ergibt der Wert unterhalb der Wurzel immer null. Aus diesem Grund kommen keine unterschiedlichen Ergebnisse für $x_1$ und $x_2$ heraus und wir erhalten lediglich genau eine Nullstelle.
Quadratische Funktionen ohne Nullstelle
Wie kann es sein, dass eine quadratische Funktion keine Nullstelle besitzt?
Betrachten wir beispielsweise die Funktion $f(x) = x^2 - 4\cdot x + 5$. Wir erkennen, dass der Graph die x-Achse weder schneidet noch berührt. Er besitzt also keine Nullstelle.
Welches Ergebnis erhalten wir aber, wenn wir versuchen, die Nullstellen der Funktion mithilfe der p-q-Formel zu berechnen?
Beispiel
1. Quadratische Gleichung gleich null setzen
$f(x) = x^2-4x+5$
$0 = x^2-4x+5$
2. Bestimmung von p und q
- $p= -4$
- $q= 5$
3. p-q-Formel anwenden
$x_{1/2} = -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^2-(5)}$
$x_{1/2} = 2\pm \sqrt{\frac{16}{4}-5}$
$x_{1/2} = 2\pm \sqrt{4-5}$
$x_{1/2} = 2\pm \sqrt{-1}$
$\textcolor{red}{\sqrt{-1}}\rightarrow$ im Bereich der reellen Zahlen nicht berechenbar.
Da die p-q-Formel nicht lösbar ist, gibt es kein Ergebnis und somit auch keine reellen Nullstellen.
Anzahl der Nullstellen aus der p-q-Formel ablesen
Merke
Zwei Nullstellen
Der Wert unter der Wurzel in der p-q-Formel ist positiv.
Genau eine Nullstelle
Der Wert unter der Wurzel ist genau null.
Keine Nullstelle
Der Wert unter der Wurzel ist negativ.
Beispielaufgabe - Nullstellen berechnen
Schauen wir uns diese Funktionen an, die zwei Schnittpunkte mit der x-Achse und somit auch zwei Nullstellen hat.
$f(x) = 4 x^2 +12 x + 6$
Versuche die Nullstellen einmal selber mithilfe der p-q-Formel zu berechnen.
Vertiefung
Lösung
1. Quadratische Gleichung umformen
$f(x) = 4 x^2 +12 x + 6$
$0 = 4 x^2 +12 x + 6$ $|:4$
$0 = x^2 +3 x + 1,5$
2. Bestimmung von p und q
$p=3$
$q=1,5$
3. p-q-Formel anwenden
$x_{1/2} = -\frac{3}{2}\pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2-1,5}$
$x_{1/2} = -1,5\pm \sqrt{\frac{9}{4}-1,5}$
$x_{1/2} = -1,5\pm \sqrt{0,75}$
$x_1 = -1,5 + \sqrt{0,75} \approx -0,63$
$x_2 = 5 - \sqrt{41} \approx -2,36 $
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Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)
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