Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln

• Herleitung der Produktregel
• Anwendung der Produktregel: Beispiel

Die Anwendung Produktregel befasst sich mit einer speziellen Art und Weise der Ableitung.

Herleitung der Produktregel

Den Anstieg einer Sekante durch zwei Punkte $P_1(x_1,y_1)$ und $P_2(x_2,y_2)$ berechnet man durch:

$m= \Large{\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

In dieser Formel ersetzen wir nun wie folgt:

$y_{2}$ durch $u(x+h) \cdot v(x+h)$,

$y_{1}$ durch $u(x) \cdot v(x)$,

$x_{2}$ durch $x+h$ und

$x_{1}$ durch $x$

Wir erhalten:

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\Large{(\frac{u(x+h)\cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}{x+h-x}})$

Im nächsten Schritt vereinfachen wir den Nenner und fügen in den Zähler den grün markierten Term ein. Dieser ändert den Wert der Funktion nicht, ist aber für weitere Schritte sehr wichtig.

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{(\frac{u(x+h)\cdot v(x+h) \textcolor{green}{-u(x)\cdot v(x+h)+ u(x)\cdot v(x+h)} - u(x) \cdot v(x)}{h}})$

Mithilfe des Einschubes ist es uns jetzt möglich, die Funktion zu vereinfachen. Wir können den rot markierten Bereich zusammenfassen, indem wir den Term $v(x+h)$ ausklammern. Den grün markierten Bereich können wir zusammenfassen, indem wir den Term $u(x)$ ausklammern. Wir erhalten aus:

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} {(\frac{\textcolor{BrickRed}{u(x+h)\cdot v(x+h) -u(x)\cdot v(x+h)} \textcolor{green}{+ u(x)\cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}}{h}})$

den folgenden Funktionsterm:

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{(\frac{\textcolor{BrickRed}{[u(x+h)-u(x)]\cdot v(x+h)}\textcolor{green}{+ u(x)\cdot [v(x+h)-v(x)]}}{h}})$

Im nächsten Schritt ziehen wir die einzelnen Terme auseinander und erhalten:

$f'(x)={\lim\limits_{h \to 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} v(x+h)+\lim\limits_{h \to 0} u(x) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \frac{v(x+h)-v(x)}{h}}$

Wir erkennen im ersten Teil des Terms, dass es sich um die Ableitung $u'(x)$ handelt. Beim zweiten Term entsteht $v(x)$, da $h$ gegen $0$ strebt. Aus dem dritten Term wird $u(x)$. Der letzte Teil des Funktionsterms ist die Ableitung $v'(x)$.

Die Ableitungsregel, mit deren Hilfe ein Produkt aus zwei Funktionen abgeleitet werden kann, lautet also:

$f'(x)=u'(x) \cdot v(x) +u(x) \cdot v'(x)$