Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln

Herleitung der Produktregel

Den Anstieg einer Sekante durch zwei Punkte $P_1(x_1,y_1)$ und $P_2(x_2,y_2)$ berechnet man durch:

$m= \Large{\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

In dieser Formel ersetzen wir nun wie folgt:

$y_{2}$ durch $u(x+h) \cdot v(x+h)$,

$y_{1}$ durch $u(x) \cdot v(x)$,

$x_{2}$ durch $x+h$ und

$x_{1}$ durch $x$

Wir erhalten:

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\Large{(\frac{u(x+h)\cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}{x+h-x}})$

Im nächsten Schritt vereinfachen wir den Nenner und fügen in den Zähler den grün markierten Term ein. Dieser ändert den Wert der Funktion nicht, ist aber für weitere Schritte sehr wichtig.

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{(\frac{u(x+h)\cdot v(x+h) \textcolor{green}{-u(x)\cdot v(x+h)+ u(x)\cdot v(x+h)} - u(x) \cdot v(x)}{h}})$

Mithilfe des Einschubes ist es uns jetzt möglich, die Funktion zu vereinfachen. Wir können den rot markierten Bereich zusammenfassen, indem wir den Term $v(x+h)$ ausklammern. Den grün markierten Bereich können wir zusammenfassen, indem wir den Term $u(x)$ ausklammern. Wir erhalten aus:

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} {(\frac{\textcolor{BrickRed}{u(x+h)\cdot v(x+h) -u(x)\cdot v(x+h)} \textcolor{green}{+ u(x)\cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}}{h}})$

den folgenden Funktionsterm:

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{(\frac{\textcolor{BrickRed}{[u(x+h)-u(x)]\cdot v(x+h)}\textcolor{green}{+ u(x)\cdot [v(x+h)-v(x)]}}{h}})$

Im nächsten Schritt ziehen wir die einzelnen Terme auseinander und erhalten:

$f'(x)={\lim\limits_{h \to 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} v(x+h)+\lim\limits_{h \to 0} u(x) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \frac{v(x+h)-v(x)}{h}}$

Wir erkennen im ersten Teil des Terms, dass es sich um die Ableitung $u'(x)$ handelt. Beim zweiten Term entsteht $v(x)$, da $h$ gegen $0$ strebt. Aus dem dritten Term wird $u(x)$. Der letzte Teil des Funktionsterms ist die Ableitung $v'(x)$.

Die Ableitungsregel, mit deren Hilfe ein Produkt aus zwei Funktionen abgeleitet werden kann, lautet also:

$f'(x)=u'(x) \cdot v(x) +u(x) \cdot v'(x)$

Anwendung der Produktregel: Beispiel

Schauen wir uns die Regel an einem Beispiel an. Wir haben die Funktion $f(x)=x^2 \cdot cos~x$ gegeben und wollen diese ableiten.

Laut der Produktregel benötigen wir die Ableitungen der beiden Funktionsterme. Im ersten Schritt musst du also die beiden Funktionsterme erkennen. Im zweiten Schritt musst du die beiden Funktionsterme ableiten:

$u(x)=x^2\;$, Ableitung: $\textcolor{blue}{u'(x)=2x}$

$v(x)=cos~x\;$, Ableitung: $\textcolor{green}{v'(x)=-sin~x}$

Im nächsten Schritt setzen wir alle benötigten Funktionsteile in die Ableitungsregel ein und erhalten:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

$f'(x)=\textcolor{blue}{2x} \cdot cos~x + x^2 \textcolor{green}{(-sin~x)}$

Im letzten Schritt vereinfachen wir die Funktion soweit wie möglich. Wir erhalten als Lösung:

$f'(x)=2x \cdot cos~x + x^2 (-sin~x) ~~~\rightarrow~~~2x \cdot cos~x - x^2 \cdot sin~x$

Die Ableitung der Funktion $f(x)=x^2 \cdot cos~x$ ist also $f'(x)=2x \cdot cos~x - x^2 sin~x$.

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!