Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln
Die Anwendung Produktregel befasst sich mit einer speziellen Art und Weise der Ableitung.
Merke
Merke
Hier klicken zum Ausklappen
Für beliebige Funktionen $u$ und $v$ gilt:
Wenn
$f(x) = u(x) \cdot v(x)$,
dann
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Methode
Methode
Hier klicken zum Ausklappen
Die Grundlage für dieses Kapitel bildet das Wissen über die Potenzregel und die Faktorregel. Die Themenseiten zu diesen Regeln kannst du durch Klicken auf den jeweiligen Begriff erreichen.
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Herleitung der Produktregel
Den Anstieg einer Sekante durch zwei Punkte $P_1(x_1,y_1)$ und $P_2(x_2,y_2)$ berechnet man durch:
$m= \Large{\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$
In dieser Formel ersetzen wir nun wie folgt:
$y_{2}$ durch $u(x+h) \cdot v(x+h)$,
$y_{1}$ durch $u(x) \cdot v(x)$,
$x_{2}$ durch $x+h$ und
$x_{1}$ durch $x$
Wir erhalten:
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\Large{(\frac{u(x+h)\cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}{x+h-x}})$
Im nächsten Schritt vereinfachen wir den Nenner und fügen in den Zähler den grün markierten Term ein. Dieser ändert den Wert der Funktion nicht, ist aber für weitere Schritte sehr wichtig.
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{(\frac{u(x+h)\cdot v(x+h) \textcolor{green}{-u(x)\cdot v(x+h)+ u(x)\cdot v(x+h)} - u(x) \cdot v(x)}{h}})$
Mithilfe des Einschubes ist es uns jetzt möglich, die Funktion zu vereinfachen. Wir können den rot markierten Bereich zusammenfassen, indem wir den Term $v(x+h)$ ausklammern. Den grün markierten Bereich können wir zusammenfassen, indem wir den Term $u(x)$ ausklammern. Wir erhalten aus:
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} {(\frac{\textcolor{BrickRed}{u(x+h)\cdot v(x+h) -u(x)\cdot v(x+h)} \textcolor{green}{+ u(x)\cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}}{h}})$
den folgenden Funktionsterm:
$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{(\frac{\textcolor{BrickRed}{[u(x+h)-u(x)]\cdot v(x+h)}\textcolor{green}{+ u(x)\cdot [v(x+h)-v(x)]}}{h}})$
Im nächsten Schritt ziehen wir die einzelnen Terme auseinander und erhalten:
$f'(x)={\lim\limits_{h \to 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} v(x+h)+\lim\limits_{h \to 0} u(x) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \frac{v(x+h)-v(x)}{h}}$
Wir erkennen im ersten Teil des Terms, dass es sich um die Ableitung $u'(x)$ handelt. Beim zweiten Term entsteht $v(x)$, da $h$ gegen $0$ strebt. Aus dem dritten Term wird $u(x)$. Der letzte Teil des Funktionsterms ist die Ableitung $v'(x)$.
Die Ableitungsregel, mit deren Hilfe ein Produkt aus zwei Funktionen abgeleitet werden kann, lautet also:
$f'(x)=u'(x) \cdot v(x) +u(x) \cdot v'(x)$
Anwendung der Produktregel: Beispiel
Schauen wir uns die Regel an einem Beispiel an. Wir haben die Funktion $f(x)=x^2 \cdot cos~x$ gegeben und wollen diese ableiten.
Laut der Produktregel benötigen wir die Ableitungen der beiden Funktionsterme. Im ersten Schritt musst du also die beiden Funktionsterme erkennen. Im zweiten Schritt musst du die beiden Funktionsterme ableiten:
$u(x)=x^2\;$, Ableitung: $\textcolor{blue}{u'(x)=2x}$
$v(x)=cos~x\;$, Ableitung: $\textcolor{green}{v'(x)=-sin~x}$
Im nächsten Schritt setzen wir alle benötigten Funktionsteile in die Ableitungsregel ein und erhalten:
$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
$f'(x)=\textcolor{blue}{2x} \cdot cos~x + x^2 \textcolor{green}{(-sin~x)}$
Im letzten Schritt vereinfachen wir die Funktion soweit wie möglich. Wir erhalten als Lösung:
$f'(x)=2x \cdot cos~x + x^2 (-sin~x) ~~~\rightarrow~~~2x \cdot cos~x - x^2 \cdot sin~x$
Die Ableitung der Funktion $f(x)=x^2 \cdot cos~x$ ist also $f'(x)=2x \cdot cos~x - x^2 sin~x$.
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Lektor: Frank Kreuzinger
Hol dir Hilfe beim Studienkreis!
Selbst-Lernportal Online
Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!
- Online-Chat 14-20 Uhr
- 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungsaufgaben
Einzelnachhilfe Online
Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!
- Online-Nachhilfe
- Zum Wunschtermin
- Geprüfte Mathe-Nachhilfelehrer
Nachhilfe in deiner Nähe
Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Nachhilfe in deiner Nähe
- Zum Wunschtermin
- Geprüfte Mathe-Nachhilfelehrer
Unsere Kunden über den Studienkreis
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang