Mathematik > Funktionen

Was ist eine quadratische Funktion?

Inhaltsverzeichnis:

Du behandelst gerade in Mathematik quadratische Funktionen? In diesem Lerntext geben wir dir einen Überblick über Eigenschaften von quadratischen Funktionen, etwa zur Streckung, Stauchung und Verschiebung, aber auch zu Nullstellen, welche du mit einer Formel berechnen kannst.

5 Fakten zu quadratischen Funktionen

Wir haben dir hier schonmal das Wichtigste über die Eigenschaften von quadratischen Funktionen aufgelistet.

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen
  1. Allgemeine Form: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$ ($a$, $b$, $c$ beliebige reelle Zahlen, $a \neq 0$)
  2. Normalform: $f(x)=x^2+px+q$ ($p$, $q$ beliebige reelle Zahlen). Deren Graph nennt man Normalparabel. Vor dem $x^2$ steht eine „$1$".
  3. Du kannst an $\textcolor{red}{a}$ erkennen, ob der Graph von $f$ gegenüber der Normalparabel gestreckt, gestaucht oder gespiegelt ist.
  4. Du erkennst an der Formel, ob die Funktion an der x-Achse oder y-Achse verschoben wurde.
  5. Du kannst die Nullstellen mit Hilfe der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel berechnen. Die Nullstellen sind die Schnittstellen mit der x-Achse, von denen es zwei, eine oder keine geben kann.

Im Folgenden erklären wir dir diese Informationen nun detaillierter und geben dir zur quadratischen Funktion Beispiele an die Hand.

Quadratische Funktion - Erklärung und Definition

Bei einer quadratischen Funktion wird allgemein die Variable zum Quadrat genommen. Die einfachste Form ist die Normalparabel, die die Funktionsgleichung $f(x) = x^2$ besitzt.

Quadratische Funktionen können sowohl in der Normalform als auch in der Scheitelpunktform angegeben sein:

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Allgemeine Form: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$

Scheitelpunktform: $f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Streckungsfaktor: $\textcolor{red}a$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d|\textcolor{green}e)$

Die beiden Formen kann man gegenseitig ineinander umformen. Um mehr darüber zu erfahren, schaue dir die Seite für die Umformungen von Normalform und Scheitelpunktform an.

Quadratische Funktion - Streckung und Stauchung

Sowohl bei der Scheitelpunktform als auch bei der allgemeinen Form, ist der Streckungsfaktor das $a$, welches vor dem $x^2$ steht bzw. der Faktor von $x^2$ ist. Im Folgenden geben wir immer an, was der Faktor $a$ im Vergleich mit der Normalparabel bewirkt.

$\textcolor{red}a>1$ (a größer 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestreckt

$0 < \textcolor{green}a<1$ (a liegt zwischen 0 und 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestaucht

 

gestreckte_und_gestauchte_funktion
Graphen einer gestreckten und einer gestauchten quadratischen Funktion im Vergleich zur Normalparabel

Wir sehen eine gestreckte und eine gestauchte quadratische Funktion sowie die Normalparabel. Die Parabel kann auch nach unten geöffnet sein, dann ist das Vorzeichen des Streckungsfaktors negativ.

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Möchtest du noch mehr über die Stauchung und die Streckung von Funktionen erfahren? In unserem Lerntext zum Thema Streckung und Stauchung einer Normalparabel findest du weitere Informationen.

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Quadratische Funktion - Verschiebung

Im Folgenden seien $a$, $b$, $c$ und $d$ positive reelle Zahlen.

Verschiebung in Richtung der y-Achse

nach $\textcolor{red}{oben}$ : $f(x) = x^2 \textcolor{red}{+ a} \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $a$ nach oben

nach $\textcolor{red}{unten} $ : $f(x) = x^2 \textcolor{red}{-b} \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $b$ nach unten

Verschiebung in Richtung der x-Achse

nach $\textcolor{red}{rechts} $ : $f(x) = (x \textcolor{red}{-c})^2 \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $c$ nach rechts

nach $\textcolor{red}{links} $ : $f(x) = (x \textcolor{red}{+d})^2 \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $d$ nach links

Quadratische Funktion - Nullstellen berechnen

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion können mit der p-q-Formel oder mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) berechnet werden:

p-q-Formel

Die p-q-Formel kannst du anwenden, wenn die quadratische Gleichung in der Normalform, also $x^2+px+q=0$ vorliegt. Eventuell musst du vorher umstellen.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

p-q-Formel

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{green}{q}}$

Bestimmung von p und von q:

$f(x) = x^2+{\textcolor{red}{ p}} \cdot x +{\textcolor{green}{ q}} = 0$

Beispiel: Nullstellen mit der p-q-Formel berechnen

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x) = x^2 + 4\cdot  x-16 = 0$

Wir können die Werte für $p$ und $q$ aus der Gleichung ablesen und danach einsetzen:

  • $ p= 4$ 
  • $ q= -16$


$x_{1/2} = -\frac{4}{2}\pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2-(-16)}$
$x_{1/2} = -2\pm \sqrt{4 +16}$
$x_{1/2} = -2\pm \sqrt{20}$
$x_1 = -2+ \sqrt{20} \approx 2,47$
$x_2 = -2 - \sqrt{20} \approx -6,47 $

Die Nullstellen liegen bei $x_1 \approx 2,47$ und $x_2 \approx -6,47$

Mitternachtsformel

Die Mitternachtsformel kannst du anwenden, wenn die quadratische Gleichung in der allgemeinen Form, also $ax^2+bx+c=0$ vorliegt. Eventuell musst du vorher umstellen.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-b}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{b}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{a} \cdot~\textcolor{brown}{c}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{a}}$

Bestimmung von $\textcolor{blue}{a},\textcolor{green}{b}$ und $\textcolor{brown}{c}$:

$f(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^2 + \textcolor{green}{b} \cdot x + \textcolor{brown}{c}$

Beispiel: Nullstellen mit der Mitternachtsformel berechnen:

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x) = 0,25 x^2 - 0,6 x + 0,2= 0$

Wir können die a,b,c-Werte ablesen:
$\textcolor{blue}{a= 0,25}$
$\textcolor{green}{b= -0,6}$
$\textcolor{brown}{c= 0,2}$

Und müssen sie in die Formel einsetzen:
$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-b}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{b}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{a}~ \cdot~\textcolor{brown}{c}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{a}}$

$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-(-0,6)}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{(-0,6)}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{0,25} ~\cdot~\textcolor{brown}{0,2}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{0,25}}$

Dies müssen wir jetzt nur noch ausrechnen:

$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{(0,6)^2~-~4~ \cdot~0,25~ \cdot~0,2}}{2~ \cdot~0,25}$

$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{0,36~-~0,2}}{0,5}$

$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{0,16}}{0,5}$

$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~0,4}{0,5}$

$x_{1} = \frac{0,6~+~0,4}{0,5}= \frac{1}{0,5}= 2$

$x_{2} = \frac{0,6~-~0,4}{0,5}= \frac{0,2}{0,5}=0,4$

Also sind die zwei Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=0,4$.

Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Wenn der Tiefpunkt über der x-Achse liegt, hat die Funktion keine Nullstelle. Berührt die Funktion die x-Achse, so liegt nur eine Nullstelle vor.

Nun hast du einen Überblick über die quadratischen Funktionen bekommen. Überprüfe dein Wissen mit unseren Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

In welche Richtung wird folgende Normalparabel verschoben?
$f(x) = (x-2)^2+3$

Teste dein Wissen!

Wie wird folgende Funktion bezeichnet: $f(x) = 5(x-2)^2+4$ ?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Was ist der Scheitelpunkt folgender Funktion?
$f(x) = 2(x+3)^2-5$

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Was sind die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^2+4x+3$?

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Mathematik > Funktionen

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

p-q-formel-3
Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's!
quadratische-funktion-11
Quadratische Funktionen: Nullstellen berechnen Mitternachtsformel, abc-Formel
Br?cke
Quadratische Funktionen zeichnen
textaufgabe-1
Quadratische Funktionen: Aufgaben mit Lösungen
funktionsgleichung-bestimmen-1
Quadratische Funktionen bestimmen leicht gemacht
Quadratischen Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform
Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Normalparabel nach unten verschoben um 3
Wie verschiebt man eine Normalparabel?
vergleich
Streckung und Stauchung einer Normalparabel
Bitte Beschreibung eingeben
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung lösen
gestreckte_und_gestauchte_funktion
Was ist eine quadratische Funktion?
Bitte Beschreibung eingeben
Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht
Potenzfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren
Potenzfunktionen zeichnen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
Potenzfunktion $\large{x^{-4}}$
Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
Potenzfunktion x hoch 8/3
Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
Wurzelfunktion f(x) = \sqrt x
Was ist eine Wurzelfunktion? - Erklärungen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt
funktion_x_hoch_2
Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen
Funktionen mit der Potenzregel ableiten
Funktionen mit der Faktorregel ableiten
Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden
Wie wende ich die Kettenregel an?
Funktionen mit der Quotientenregel ableiten
Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln
Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln
Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
ableitung
Ableitung: Bedeutung im Sachzusammenhang
Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben
exponentialfunktion-2-hoch-x
Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben
Logarithmusfunktionen log, ln, lg
Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften
e-Funktion
Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt
funktion_linearer_wachstum
Lineares Wachstum und lineare Abnahme
funktion_bakterien
Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
koordinatensystem
Was ist eine mathematische Funktion?
monotomie
Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
Umkehrfunktion2
Wie bildet man eine Umkehrfunktion?
Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt
kurvendiskussion_beispiel
Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
beispiel-lineare-funnktion
Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften
koordinatensystem
Achsenschnittpunkte von Funktionen berechnen
tangente
Tangentengleichung bestimmen einfach erklärt
asymptote
Was sind senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten?
Periode einer Sinuskurve
Sinusfunktion und ihre Eigenschaften
Die Kosinusfunktion
Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften
Sinusfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Kosinusfaktor mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!

Lehrer sofort fragen

Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.

  • Sofort, ohne Termin
  • Online-Chat 14 – 21 Uhr
  • Erfahrene Mathematik-Lehrer
Jetzt Lehrer kostenlos fragen
Lehrer zum Wunschtermin online fragen

Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.

  • Zum Wunschtermin
  • Online-Einzelgespräch
  • Geprüfte Nachhilfelehrer
Gratis Probestunde vereinbaren
Lehrer zum Wunschtermin in deiner Nähe fragen

Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

  • Zum Wunschtermin
  • In deiner Stadt
  • Geprüfte Nachhilfelehrer

Gratis Probestunde vereinbaren

Selbst-Lernportal
Wissen vertiefen und selber üben

Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.

  • Über 250.000 Übungsaufgaben
  • 700 Lernvideos
  • Original-Abi-Klausuren
Jetzt kostenlos entdecken
Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

anonymisiert, vom 2019-11-18
Klappt super
anonymisiert, vom 2019-11-17
Bin zufrieden.
anonymisiert, vom 2019-11-17
Ich finde meinen Lehrer sehr gut aber wenn ich mal was ändern möchte kann ich keinen bei der online Nachhilfe erreichen per Telefon. Auch beim Rückruf dauert es sehr sehr lange bis man zurück gerufen wird. Ich würde mir auch bei Studenten, Langzeit Tarife wünschen die billiger sind weil man hat als Student nicht so viel Geld. Aber insgesamt bin ich ganz zufrieden. Mechanik wäre noch gut als Fach.
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
N-tv Gütesiegel
TÜV-Gütesiegel
Die Welt Service-Champions
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Wir benötigen deine Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um deinen konkreten Nachhilfebedarf zu ermitteln. Deine Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir dir telefonisch stellen könnten:

  • "Bei welchem Thema gibt es besondere Schwierigkeiten?
  • "Wann hättest du generell Zeit für den Unterricht?"

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen!

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
8570