Was ist eine quadratische Funktion?
Du behandelst gerade in Mathematik quadratische Funktionen? In diesem Lerntext geben wir dir einen Überblick über Eigenschaften von quadratischen Funktionen, etwa zur Streckung, Stauchung und Verschiebung, aber auch zu Nullstellen, welche du mit einer Formel berechnen kannst.
5 Fakten zu quadratischen Funktionen
Wir haben dir hier schonmal das Wichtigste über die Eigenschaften von quadratischen Funktionen aufgelistet.
Methode
Methode
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- Allgemeine Form: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$ ($a$, $b$, $c$ beliebige reelle Zahlen, $a \neq 0$)
- Normalform: $f(x)=x^2+px+q$ ($p$, $q$ beliebige reelle Zahlen). Deren Graph nennt man Normalparabel. Vor dem $x^2$ steht eine „$1$".
- Du kannst an $\textcolor{red}{a}$ erkennen, ob der Graph von $f$ gegenüber der Normalparabel gestreckt, gestaucht oder gespiegelt ist.
- Du erkennst an der Formel, ob die Funktion an der x-Achse oder y-Achse verschoben wurde.
- Du kannst die Nullstellen mit Hilfe der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel berechnen. Die Nullstellen sind die Schnittstellen mit der x-Achse, von denen es zwei, eine oder keine geben kann.
Im Folgenden erklären wir dir diese Informationen nun detaillierter und geben dir zur quadratischen Funktion Beispiele an die Hand.
Quadratische Funktion - Erklärung und Definition
Bei einer quadratischen Funktion wird allgemein die Variable zum Quadrat genommen. Die einfachste Form ist die Normalparabel, die die Funktionsgleichung $f(x) = x^2$ besitzt.
Quadratische Funktionen können sowohl in der Normalform als auch in der Scheitelpunktform angegeben sein:
Gut zu wissen
Hinweis
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Allgemeine Form: $f(x) = \textcolor{red}{a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$
Scheitelpunktform: $f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Streckungsfaktor: $\textcolor{red}a$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d|\textcolor{green}e)$
Die beiden Formen kann man gegenseitig ineinander umformen. Um mehr darüber zu erfahren, schaue dir die Seite für die Umformungen von Normalform und Scheitelpunktform an.
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Quadratische Funktion - Streckung und Stauchung
Sowohl bei der Scheitelpunktform als auch bei der allgemeinen Form, ist der Streckungsfaktor das $a$, welches vor dem $x^2$ steht bzw. der Faktor von $x^2$ ist. Im Folgenden geben wir immer an, was der Faktor $a$ im Vergleich mit der Normalparabel bewirkt.
$\textcolor{red}a>1$ (a größer 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestreckt
$0 < \textcolor{green}a<1$ (a liegt zwischen 0 und 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestaucht
Graphen einer gestreckten und einer gestauchten quadratischen Funktion im Vergleich zur Normalparabel
Wir sehen eine gestreckte und eine gestauchte quadratische Funktion sowie die Normalparabel. Die Parabel kann auch nach unten geöffnet sein, dann ist das Vorzeichen des Streckungsfaktors negativ.
Gut zu wissen
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Möchtest du noch mehr über die Stauchung und die Streckung von Funktionen erfahren? In unserem Lerntext zum Thema Streckung und Stauchung einer Normalparabel findest du weitere Informationen.
Quadratische Funktion - Verschiebung
Im Folgenden seien $a$, $b$, $c$ und $d$ positive reelle Zahlen.
Verschiebung in Richtung der y-Achse
nach $\textcolor{red}{oben}$ : $f(x) = x^2 \textcolor{red}{+ a} \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $a$ nach oben
nach $\textcolor{red}{unten} $ : $f(x) = x^2 \textcolor{red}{-b} \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $b$ nach unten
Verschiebung in Richtung der x-Achse
nach $\textcolor{red}{rechts} $ : $f(x) = (x \textcolor{red}{-c})^2 \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $c$ nach rechts
nach $\textcolor{red}{links} $ : $f(x) = (x \textcolor{red}{+d})^2 \rightarrow$ Verschiebung des Graphen um $d$ nach links
Quadratische Funktion - Nullstellen berechnen
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion können mit der p-q-Formel oder mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) berechnet werden:
p-q-Formel
Die p-q-Formel kannst du anwenden, wenn die quadratische Gleichung in der Normalform, also $x^2+px+q=0$ vorliegt. Eventuell musst du vorher umstellen.
Merke
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p-q-Formel
$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{green}{q}}$
Bestimmung von p und von q:
$f(x) = x^2+{\textcolor{red}{ p}} \cdot x +{\textcolor{green}{ q}} = 0$
Beispiel: Nullstellen mit der p-q-Formel berechnen
Beispiel
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$f(x) = x^2 + 4\cdot x-16 = 0$
Wir können die Werte für $p$ und $q$ aus der Gleichung ablesen und danach einsetzen:
- $ p= 4$
- $ q= -16$
$x_{1/2} = -\frac{4}{2}\pm \sqrt{(\frac{4}{2})^2-(-16)}$
$x_{1/2} = -2\pm \sqrt{4 +16}$
$x_{1/2} = -2\pm \sqrt{20}$
$x_1 = -2+ \sqrt{20} \approx 2,47$
$x_2 = -2 - \sqrt{20} \approx -6,47 $
Die Nullstellen liegen bei $x_1 \approx 2,47$ und $x_2 \approx -6,47$
Mitternachtsformel
Merke
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$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-b}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{b}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{a} \cdot~\textcolor{brown}{c}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{a}}$
Bestimmung von $\textcolor{blue}{a},\textcolor{green}{b}$ und $\textcolor{brown}{c}$:
$f(x) = \textcolor{blue}{a} \cdot x^2 + \textcolor{green}{b} \cdot x + \textcolor{brown}{c}$
Beispiel: Nullstellen mit der Mitternachtsformel berechnen:
Beispiel
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$f(x) = 0,25 x^2 - 0,6 x + 0,2= 0$
Wir können die a,b,c-Werte ablesen:
$\textcolor{blue}{a= 0,25}$
$\textcolor{green}{b= -0,6}$
$\textcolor{brown}{c= 0,2}$
Und müssen sie in die Formel einsetzen:
$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-b}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{b}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{a}~ \cdot~\textcolor{brown}{c}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{a}}$
$x_{1,2} = \frac{\textcolor{green}{-(-0,6)}~\pm~\sqrt{\textcolor{green}{(-0,6)}^2~-~4~ \cdot~\textcolor{blue}{0,25} ~\cdot~\textcolor{brown}{0,2}}}{2~ \cdot~\textcolor{blue}{0,25}}$
Dies müssen wir jetzt nur noch ausrechnen:
$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{(0,6)^2~-~4~ \cdot~0,25~ \cdot~0,2}}{2~ \cdot~0,25}$
$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{0,36~-~0,2}}{0,5}$
$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~\sqrt{0,16}}{0,5}$
$x_{1,2} = \frac{0,6~\pm~0,4}{0,5}$
$x_{1} = \frac{0,6~+~0,4}{0,5}= \frac{1}{0,5}= 2$
$x_{2} = \frac{0,6~-~0,4}{0,5}= \frac{0,2}{0,5}=0,4$
Also sind die zwei Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=0,4$.
Eine quadratische Funktion kann keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Wenn der Tiefpunkt über der x-Achse liegt, hat die Funktion keine Nullstelle. Berührt die Funktion die x-Achse, so liegt nur eine Nullstelle vor.
Nun hast du einen Überblick über die quadratischen Funktionen bekommen. Überprüfe dein Wissen mit unseren Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!
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Lektor: Frank Kreuzinger
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