Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit Potenzfunktionen mit einem negativen Exponenten. Hier lernst du die Eigenschaften dieser Funktionen kennen und kannst in den Übungsaufgaben dein Wissen testen.
Eine Funktionsart der Potenzfunktionen sind Potenzfunktionen mit negativem Exponenten. Diese unterscheiden sich in ihren Eigenschaften von den Potenzfunktionen mit natürlichem Exponent. Eine Abbildung verdeutlicht dies am besten:
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Gerader negativer Exponent
Wir erkennen sofort die großen Unterschiede zur Funktion $f(x)= x^2$. Bei der Funktion oben in der Abbildung ist der Bereich für $x = 0$ nicht definiert, das heißt, x kann nicht Null sein. Du kannst für x eine sehr kleine negative Zahl oder eine sehr kleine positive Zahl einsetzen, aber niemals die Zahl Null. Je dichter der x-Wert, den du in die Funktionsgleichung einsetzt, an der Zahl Null liegt, desto größer wird dein y-Wert. Und je größer der x-Wert (bzw. kleiner bei negativen Zahlen), den du in die Funktionsgleichung einsetzt, desto kleiner wird dein y-Wert. Wir nennen dieses Verhalten, wenn sich eine Funktion sehr stark einem Wert annähert, in der Mathematik Grenzwertverhalten, wobei dieses Verhalten immer durch Asymptoten dargestellt wird. Die beiden Asymptoten für die Funktion in der Abbildung oben sind die x- und die y-Achse.
Merke
Merke
Funktionen mit geradem, negativem Exponenten haben Asymptoten, also Geraden, an die sich der Funktionsgraph annähert. Die Funktionen sind für x = 0 nicht definiert, D = ℝ\{0}. Solche Funktionen werden auch Hyperbeln genannt.
Auch haben solche Funktionen in ihrer allgemeinen Form, also ohne Verschiebung entlang der x- oder y-Achse, keine Nullstelle.
Es gibt aber trotzdem Gemeinsamkeiten mit den Potenzfunktionen mit geradem positivem Exponenten. So sind beide Funktionsarten achsensymmetrisch zur y-Achse. Auch haben die Funktionen die Punkte P1(-1|1) und P2(1|1) gemeinsam.
Merke
Merke
Potenzfunktionen mit geradem, negativem Exponenten sind immer achsensymmetrisch und gehen durch die Punkte P1(-1|1) und P2(1|1).
Ungerader negativer Exponent
Etwas anders sieht es bei Potenzfunktionen mit ungeradem negativem Exponenten aus. Diese haben teilweise die Eigenschaften der Potenzfunktionen mit ungeraden positiven Exponenten, sehen jedoch anders aus:
Wir erkennen auch hier die zwei Asymptoten, die x- und die y-Achse, genauso wie den Definitionsbereich, der x = 0 ausschließt. Potenzfunktionen mit einem ungeraden negativen Exponenten gehen alle durch die Punkte P1(-1|-1) und P2(1|1), sind also alle punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Ferner liegen die Graphen solcher Funktionen auch hier wieder nur im ersten und dritten Quadranten des Koordinatensystems.
Merke
Merke
Potenzfunktionen mit ungeradem, negativem Exponenten haben zwei Asymptoten, die x- und die y-Achse. Die Graphen solcher Funktionen nennt man Hyperbeln. Sie sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
Die Punkte P1(-1|-1) und P2(1|1) liegen auf der Funktion.
Der Definitionsbereich ist D = ℝ\{0}.
Jetzt hat du eine detaillierte Übersicht über die Potenzfunktionen mit negativen Exponenten erhalten. Ob du alles verstanden hast, kannst du nun anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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Bestimme den Exponenten, die Asymptoten und das Symmetrieverhalten der Funktion in der Abbildung:
Was haben alle Potenzfunktionen mit einem negativen Exponenten gemeinsam?
Kreuze die richtigen Antworten an.
Bestimme die Asymptoten der Funktion:
$f(x)=x^{-5}+7$
Kreuze die richtigen Antworten an:
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