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Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt

Mathematik > Funktionen
Was sind e-Funktionen? | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
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Inhaltsverzeichnis:

Merke

  1. $f(x) = 2 \cdot e^{2x}$
  2. $f´(x) = 2 \cdot 2\cdot e^{2x}$$=4 \cdot e^{2x}$
  3. $f´´(x) = 2 \cdot 4\cdot e^{2x}$$=8 \cdot e^{2x}$
  4. $f´´´(x) = 2 \cdot 8\cdot e^{2x}$$=16 \cdot e^{2x}$

In diesem Text erklären wir dir ganz leicht, was eine e-Funktion ist, wie du eine e-Funktion ableiten kannst, wie eine Stammfunktion gebildet wird und welche Eigenschaften die e-Funktion hat. Schau dir als Grundlage am besten unsere Seite zur Kettenregel an, denn diese Ableitungsregel kannst du für dieses Thema gut gebrauchen.

E-Funktionen leicht erklärt

Die e-Funktion, auch natürliche Exponentialfunktion genannt, hat die Gleichung: $f(x) = e ^x$ (ausgesprochen: e hoch x). Die Basis ist die Eulersche Zahl. Der Exponent ist die Variable (hier $x$). Daher gehört die e-Funktion auch zu der Kategorie der Exponentialfunktionen.

e-Funktion

Abbildung: e-Funktion

Für diese Funktion gilt:

$e$$x$=$f(x)$=$f$ *$(x)$=...

Mann kann also die Steigung der e-Funktion an jeder Stelle $x$ mit derselben Funktion berechnen. Das ist eine Besonderheit dieser Funktion.

Merke

Eulersche Zahl

$e \approx 2,718$

Die Eulersche Zahl wurde nach dem Mathematiker Leonhard Euler benannt. Er hat im Jahr 1748 herausgefunden, dass diese Zahl der Grenzwert der unendlichen Reihe ist:

$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2\cdot 3} + \frac{1} {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} + ...= \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ...=\sum\nolimits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$

$n$! wird gesprochen: n Fakultät. Es gilt zum Beispiel: 5!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5. Die Besonderheit ist 0!=1.

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Die e-Funktion: Eigenschaften

Monotonie

Die e-Funktion ist streng monoton wachsend und das Wachstum ist exponentiell. Das bedeutet, dass die Funktion sehr schnell ansteigt. Je größer $x$ wird, desto größer wird auch der $y$-Wert, wie wir auf der Abbildung erkennen können:

e-Funktion1

Abbildung: e-Funktion, schnelles Wachstum

Schnittpunkte mit den Achsen

Die e-Funktion hat keine Nullstellen, da eine Potenz niemals Null sein kann. Also gilt stets $f(x)$ = $e$ x ≠ $0$. Ihr Graph nähert sich mit kleiner werdendem $x$ immer mehr der $x$-Achse und es gilt $\lim\limits_{x \to -∞} $ $e$x = $0$. Diese Achse ist also eine gerade Asymptote.

Der Graph dieser Funktion schneidet die $y$-Achse an der Stelle 1, da $f(0)$ = $e$0 = $1$ ist.

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion. $f(x) = e^x$ , $f^{-1} (x) = ln (x)$

Gut zu wissen

Hinweis

Umkehrfunktion von $f(x) = e^x$
$f^{-1}(x) =\log_e (x) = ln (x)$

umkehrfunktion_e-Funktion

Abbildung: Funktionen $\rightarrow f^{-1}(x) = ln (x)$. Beide sind Umkehrfunktionen und damit Spiegelbilder voneinander an der Geraden $y$ = $x$.

Definitions- und Wertemenge

Für $x$ dürfen wir jede reelle Zahl einsetzen. Das bedeutet, die Definitionsmenge ist: $D_f = \mathbb{R}$

Wie wir an dem Graphen sehen, verläuft er oberhalb der x –Achse, die Asymptote ist. Der Wertebereich ist also: $ W_f = \mathbb{R^+}$. Das sind alle positiven reellen Zahlen.

Die e-Funktion ableiten und eine Stammfunktion bilden

Die Ableitung und auch die Stammfunktion der e-Funktion bildet wieder eine e-Funktion:

Merke

Ableitung: $f '(x) = e ^x $
Stammfunktion: $F (x) = e^x $

Doch wieso ist dies bei der e-Funktion der Fall?

Die allgemeine Ableitung von Exponentialfunktionen ist: $f(x) = a ^x$ $\rightarrow f ' (x) = a^x \cdot ln(a)$

Wenden wir dies auf $f(x) = e^x $ an, erhalten wir:

$ f ' (x) = (e^x)' = e^x \cdot ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x $

Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen zum Ableiten von Exponentialfunktionen prüfen. Ich wünsche dir viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)

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Wieso ist die Ableitung der e-Funktion gleich der Funktion?

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Wie lautet die Umkehrfunktion der e-Funktion

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
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Was ist die dritte Ableitung der e-Funktion?
$f(x) = e^x$
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29.06.2025
Wunderbare sehr freundliche Betreuung,unser Sohn geht gerne zum Unterricht und bekommt alles verständlich erklärt.
06.06.2025
Meine Tochter ging 1x pro Woche für Deusch Nachhilfe zum Studienkreis und verbesserte sich in 3 Monaten von Note 5 auf Note 2 :-))
06.06.2025
Mein Sohn hat seine Noten verbessert.Vladimir ist sehr guter Leiter ,er war immer erreichbar und wenn mein Sohn krank war ,er konnte Unterricht nachholen.

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