Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt
Merke
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- $f(x) = 2 \cdot e^{2x}$
- $f´(x) = 2 \cdot 2\cdot e^{2x}$$=4 \cdot e^{2x}$
- $f´´(x) = 2 \cdot 4\cdot e^{2x}$$=8 \cdot e^{2x}$
- $f´´´(x) = 2 \cdot 8\cdot e^{2x}$$=16 \cdot e^{2x}$
In diesem Text erklären wir dir ganz leicht, was eine e-Funktion ist, wie du eine e-Funktion ableiten kannst, wie die Stammfunktion gebildet wird und welche Eigenschaften die e-Funktion hat. Schau dir als Grundlage am besten unsere Seite zur Kettenregel an, denn diese Ableitungsregel kannst du für dieses Thema gut gebrauchen.
E-Funktionen leicht erklärt
Die e-Funktion, auch natürliche Exponentialfunktion genannt, hat die Gleichung: $f(x) = e ^x$ (ausgesprochen: e hoch x). Die Basis ist die Eulersche Zahl. Der Exponent ist die Variable (hier $x$). Daher gehört die e-Funktion auch zu der Kategorie der Exponentialfunktionen.
Die Ableitung der e-Funktion ist gleich der Funktion, daher gilt: $f(x) = f ' (x) = f '' (x) = ...$.
Wenn man die e-Funktion ableitet, das heißt die Steigung der Funktion in einer Funktion darstellt, ergibt sich die gleiche Funktion! Das ist die Besonderheit der e-Funktion.
Merke
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Eulersche Zahl
$e \approx 2,718$
Die Eulersche Zahl wurde nach dem Mathematiker Leonhard Euler benannt. Er hat im Jahr 1748 herausgefunden, dass diese Zahl der Grenzwert der unendlichen Reihe ist:
$e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2\cdot 3} + \frac{1} {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} + ...= \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + ...=\sum\nolimits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$
E-Funktion: Eigenschaften
Monotonie
Die e-Funktion ist streng monoton wachsend und das Wachstum ist exponentiell. Das bedeutet, dass die Funktion sehr schnell ansteigt. Je größer $x$ wird, desto größer wird auch der $y$-Wert, wie wir auf der Abbildung erkennen können:
Schnittpunkte mit den Achsen
Die e-Funktion hat keine Nullstellen, da $f(x) = e ^x = 0$ nicht definiert ist. Somit schneidet die e-Funktion die x-Achse nicht, sie nähert sich dieser asymptotisch an. Dies können wir auch an der Abbildung erkennen: Je kleiner der $x$-Wert, desto näher kommt die Funktion der $x$-Achse.
Die Funktion schneidet die y-Achse an der Stelle $1$, da $f(0) = e ^0 = 1$ ist.
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die natürliche Logarithmusfunktion. $f(x) = e^x$ , $f^{-1} (x) = ln (x)$
Gut zu wissen
Hinweis
Umkehrfunktion von $f(x) = e^x$
$f^{-1}(x) =\log_e (x) = ln (x)$
Definitions- und Wertemenge
Für die x-Werte dürfen wir jede beliebige rationale Zeit einsetzen. Das bedeutet, die Definitionsmenge ist: $D_f = \mathbb{R}$
Die Wertemenge sind die y-Werte, die beim Einsetzen der jeweiligen Definitionsmenge herauskommen. Diese sind bei der e-Funktion alle positiven Zahlen, denn wie wir an der Funktion sehen, verläuft sie oberhalb der x-Achse. $\rightarrow W_f = \mathbb{R^+}$
E-Funktion ableiten und Stammfunktion bilden
Die Ableitung und auch die Stammfunktion der e-Funktion bildet wieder die e-Funktion:
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Ableitung: $f '(x) = e ^x $
Stammfunktion: $F (x) = e^x $
Doch wieso ist dies bei der e-Funktion der Fall?
Die allgemeine Ableitung von Exponentialfunktionen ist: $f(x) = a ^x$ $\rightarrow f ' (x) = a^x \cdot ln(a)$
Wenden wir dies auf $f(x) = e^x $ an, erhalten wir:
$ f ' (x) = (e^x)' = e^x \cdot ln(e) = e^x \cdot 1 = e^x $
Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen zum Ableiten von Exponentialfunktionen prüfen. Ich wünsche dir viel Erfolg dabei!
Video: Simon Wirth
Text: Chantal Rölle
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
