Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
In diesem Lerntext klären wir verschiedene Begrifflichkeiten und Bedeutungen von Variablen der allgemeinen Kosinusfunktion. Dabei gehen wir vor allem auf den Streckungsfaktor, die Periode und die Amplitude, aber auch die Ruhelage ein.
Die allgemeine Kosinusfunktion
Die allgemeine Kosinusfunktion zeichnet sich, wie die Sinusfunktion auch, durch den speziellen "Faktor" aus. Dieser verändert die Funktion soweit, dass es eine periodisch wiederholende Funktion wird.
Die Kosinusfunktion zeichnet sich aber nicht nur durch diesen "Faktor" aus, sondern verschiedene Variablen, die diese Funktion stark verändern können. In der allgemeinen Kosinusfunktion sehen wir das Ganze genauer:
$y\;=\;\textcolor{orange}{a}\;\cdot \cos(\textcolor{green}{b}\;\cdot x)$
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Streckungs- und Stauchungsfaktor $\textcolor{orange}{a}$
Die Variable $\textcolor{orange}{a}$ beschreibt den Streckungsfaktor der Kosinusfunktion. Wenn dieser Faktor größer wird, steigt auch die Amplitude der Funktion. Die Amplitude bezeichnet den größten Ausschlag der Funktion, sowohl im positiven als auch im negativen Bereich. Bei kleinerem Streckungsfaktor sinkt der Wert der Amplitude.
Merke
Merke
$\textcolor{orange}{a}$ ist zwar, wie du jetzt weißt, der Streckungsfaktor, ABER die Kosinusfunktion kann auch gestaucht werden. Du kannst dir hierbei merken:
$\textcolor{orange}a>1$ (a größer 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestreckt.
$0<\textcolor{orange}a<1$ (a liegt zwischen 0 und 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestaucht.
Die Veränderung des Streckungsfaktors verändert zugleich den Wertebereich der Funktion. Wenn der Faktor kleiner wird, sinkt der Wertebereich der Funktion, vergrößert sich der Faktor, dann vervielfältigt sich der Wertebereich.
Merke
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Die Amplitude der Kosinusfunktion wird der größte Ausschlag nach oben und unten genannt.
Die Variable $a$ der allgemeinen Kosinusfunktion bezeichnet den Streckungsfaktor. Dieser verändert die Amplitude und damit die Wertemenge.
Periode $\textcolor{green}{b}$ der Kosinusfunktion
Die Kosinusfunktion verläuft, wie die Sinusfunktion, periodisch, das heißt, dass sich die einzelnen Abschnitte der Funktion wieder und wieder wiederholen. Die Periode wird der sich immer wieder wiederholende Abschnitt genannt. Bei der Veränderung des Faktors $\textcolor{green}{b}$ verändert sich auch die Periodenlänge der Funktion. Sie verkleinert sich bei einem Faktor zwischen $-1$ und $1$ und vergrößert sich bei Werten größer $1$ und kleiner $-1$. Hierbei ist das Vorzeichen vor dem Faktor jedoch egal, es gibt keinen Unterschied zwischen negativen und positiven Faktoren.
Merke
Merke
Die Periode beschreibt den sich wiederholenden Abschnitt der Kosinusfunktion. Er kann verlängert oder verkürzt werden. Je nachdem wie der Faktor $\textcolor{green}{b}$ der Funktion aussieht, ist keine Spiegelung möglich, da die Veränderung des Vorzeichens keine Auswirkung hat.
Ruhelage der Kosinusfunktion
Ein weiterer Fachbegriff bei Kosinusfunktionen ist die Ruhelage. Diese bildet den Mittelwert zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt. Sie wird als Gerade dargestellt. Bei keiner Verschiebung der Funktion in Richtung der y-Achse entspricht die x-Achse der Ruhelage.
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Welchen Streckungsfaktor hat die blaue Kosinusfunktion in der folgenden Abbildung?
Wie ändert sich die Periodenlänge, wenn wir den Faktor $b$ verdoppeln?
Was passiert mit der Amplitude einer Kosinusfunktion, wenn der Streckungsfaktor von $1$ auf $2$ erhöht wird?
Wie sieht die allgemeine Kosinusfunktion aus?
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