Wie bildet man eine Umkehrfunktion?
In diesem Lerntext erklären wir dir, was eine Umkehrfunktion ist. Außerdem geben wir dir Beispiele, wie eine Umkehrfunktion gebildet werden kann und lösen Übungsaufgaben.
Definition einer Umkehrfunktion
Umkehrfunktionen ordnen, wie der Name schon sagt, eine Funktion umgekehrt zu. Das bedeutet, dass $x$-Wert und $y$-Wert vertauscht werden. Dies ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert ($y$) nur einen $x$-Wert gibt. Die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)$ wird mit $f^{\textcolor{red}{-1}} (x)$ gekennzeichnet. Die hochgestellte $\textcolor{red}{-1}$ ist das Zeichen für die Umkehrfunktion.
Methode
Methode
Eine Umkehrfunktion wird durch $f^{-1}(x)$ gekennzeichnet.
Wenn wir die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion betrachten, fällt auf, dass die Funktion an der Winkelhalbierenden gespiegelt wird. Die Winkelhalbierende wird beschrieben durch die Funktion $f(x)= x$.
Schauen wir uns jetzt an, wie die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x+2$ gebildet wurde:
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Vorgehensweise - eine Umkehrfunktion bilden
Um eine Umkehrfunktion zu bilden, muss die Funktion zunächst nach $x$ umgestellt werden. Danach werden $x$ und $y$ vertauscht, wobei sich auch die Definitions- und die Wertemenge vertauschen.
Methode
Methode
Vorgehensweise
- Die Funktion nach $x$ auflösen.
- $x$ und $y$ tauschen.
Schauen wir uns drei Beispiele an:
Beispiel
Beispiel
$f(x)=2x+2$
1. Die Funktion nach x auflösen.
$f(x) = y = 2x+2~~~~~~~~~|-2$
$y-2=2x~~~~~~~~~~~~~~|:2$
$\frac{y}{2}-1=x$
$= 0,5y-1=x$
2. $x$ und $y$ tauschen.
$y = 0,5x -1$ bzw. $f^{-1}(x) = 0,5x -1$
Beispiel
Beispiel
$f(x)=3x^2+5$
1. Die Funktion nach $x$ auflösen.
$f(x)= 3x^2+5~~~~~~~~~~~~|-5$
$\iff y-5 = 3x^2~~~~~~~~~~~~|:3$
$\iff \frac{y-5}{3}=x^2~~~~ ~~|\sqrt{~~}$
$\iff \sqrt{\frac{y-5}{3}}=x$
2. $x$ und $y$ tauschen.
$y = f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x-5}{3}} $
Beispiel
Beispiel
$f(x)=5x^3$
1. Die Funktion nach $x$ auflösen.
$f(x)=y =5x^3~~~~~~~~~~~~~|:5$
$\iff \frac{y~}{5~}=x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$
$\iff \sqrt[3]{\frac{y~}{5~}}=x$
2. $x$ und $y$ tauschen.
$f^{-1}(x) = y= \sqrt[3~]{\frac{x~}{5~}}$
Anwendung Umkehrfunktion
Wann muss eine Umkehrfunktion gebildet werden? Es gibt nur wenige Anwendungsbeispiele.
Ein Beispiel aus der Wirtschaft: Normalerweise wird die Nachfrage nach einem Produkt in Abhängigkeit des Preises abgebildet. Man kann jedoch auch den Preis in Abhängigkeit der Nachfrage darstellen. Dies könnte einen Hersteller interessieren, der eine bestimmte Menge eines Produktes verkaufen möchte und wissen möchte, welchen Preis er pro Einheit verlangen sollte, um alle produzierten Einheiten zu verkaufen.
Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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Berechne die Umkehrfunktion folgender Funktion:
$f(x) = \frac{2x+1}{3}$
Berechne die Umkehrfunktion der folgenden Funktion:
$f(x) = x^3+2$
Was ist die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x-0,2$ ?
Wie gehst du vor, um eine Umkehrfunktion zu bilden?
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