Mathematik > Funktionen

Wie bildet man eine Umkehrfunktion?

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext erklären wir dir, was eine Umkehrfunktion ist. Außerdem geben wir dir Beispiele, wie eine Umkehrfunktion gebildet werden kann und lösen Übungsaufgaben.

Definition einer Umkehrfunktion

Umkehrfunktionen ordnen, wie der Name schon sagt, die Variablen umgekehrt zu. Das bedeutet, dass $x$-Wert und $y$-Wert vertauscht werden. Dies ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert ($y$) nur einen $x$-Wert gibt. Die umkehrbare (invertierbare) Funktion muss daher eineindeutig sein. Das heißt, dass unter Umständen der Definitionsbereich einer Funktion eingeschränkt werden muss, damit diese dann umkehrbar wird. Die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)$ wird mit $f^{\textcolor{red}{-1}} (x)$ gekennzeichnet. Die hochgestellte $\textcolor{red}{-1}$ ist das Zeichen für die Umkehrfunktion.

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Eine Umkehrfunktion wird durch $f^{-1}(x)$ gekennzeichnet.

Es gilt damit für jedes $x$ ∈ $D$$f$: $f$ $-1$ $(f(x))$ = $x$

Wenn wir die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion betrachten, fällt auf, dass die Funktion an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt wird. Diese Winkelhalbierende wird beschrieben durch die Funktion $g(x)= x$. Deren Graph halbiert den Winkel zwischen den Achsen im 1.Quadranten.

Umkehrfunktion2
Abbildung: Funktion $f(x) = 2x+2$ und ihre Umkehrfunktion

Die Abbildung zeigt die Funktionen $f$ und $f$-1, die Umkehrfunktionen voneinander sind, da sie Spiegelbilder voneinander an der Geraden $g(x) = x$ sind.

Schauen wir uns jetzt an, wie die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x+2$ gebildet wurde:

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Vorgehensweise - eine Umkehrfunktion bilden

Um eine Umkehrfunktion zu bilden, muss die Funktion nach $x$ umgestellt werden. Es werden $x$ und $y$ vertauscht, wobei sich auch die Definitions- und die Wertemenge vertauschen.

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Vorgehensweise

  • Die Funktion nach $x$ auflösen.
  • $x$ und $y$ tauschen.

Schauen wir uns drei Beispiele an:

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x)=2x+2$

Diese Funktion ist eindeutig, da sie eine Gerade darstellt. Wir müssen uns also keine Gedanken zum Definitionsbereich machen. Das sind alle reellen Zahlen.

1. Die Funktion nach x auflösen.

$f(x) = y = 2x+2~~~~~~~~~|-2$
$y-2=2x~~~~~~~~~~~~~~|:2$
$\frac{y}{2}-1=x$
$= 0,5y-1=x$

2. $x$ und $y$ tauschen.

$y = 0,5x -1$   bzw.    $f^{-1}(x) = 0,5x -1$

Probe:

$f$-1 ($f$($x$)) = $0,5 (2x +2) - 1$ = $x$

Es ergibt sich immer $x$. Also sind die beiden Funktionen Umkehrfunktionen voneinander.

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x)=3x^2+5$

Hier müssen wir den Definitionsbereich einschränken, da das Bild eine quadratische Parabel ist, die nicht eineindeutig ist. Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt auf der $y$-Achse. Damit ist sie zum Beispiel für x≥0 umkehrbar. Dieser Parabelast ist eineindeutig. Der Definitionsbereich für diese Funktion seien also alle reellen Zahlen, die größer oder gleich Null sind. Den Wertebereich bilden alle reellen $y$-Werte, die größer oder gleich 5 sind, denn die Parabel ist nach oben offen und ihr Scheitelpunkt liegt bei 5 auf der $y$-Achse.

Definitionsbereich: $D$$f$: $x$ ∈ ℝ, $x$ ≥ 0

Wertebereich: $W$$f$: $y$ ∈ ℝ, $y$ ≥ 5

1. Die Funktion nach $x$ auflösen.

$f(x)= 3x^2+5~~~~~~~~~~~~|-5$

$\iff y-5 = 3x^2~~~~~~~~~~~~|:3$

$\iff \frac{y-5}{3}=x^2~~~~ ~~|\sqrt{~~}$

$\iff \sqrt{\frac{y-5}{3}}=x$

2. $x$ und $y$ tauschen.

$y = f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x-5}{3}} $

Bemerkung: Für den Parabelteil links vom Scheitelpunkt gilt: Dessen Umkehrfunktion ist $f$-1(x) = - $\sqrt{\frac{x-5}{3}} $

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x)=5x^3$

Auch hier müssen wir uns keine Gedanken über den Definitionsbereich machen, da die Funktion eineindeutig ist.

1. Die Funktion nach $x$ auflösen.

$f(x)=y =5x^3~~~~~~~~~~~~~|:5$

$\iff \frac{y~}{5~}=x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$

An dieser Stelle müssen wir aufpassen. Wenn wir eine dritte Wurzel ziehen um die dritte Potenz zu beseitigen, dann sind deren Ergebnisse immer positiv oder Null. Das alles soll auch für negative Zahlen gelten. Für negative Werte muss also auch etwas Negatives dastehen. Da geht mit einer Fallunterscheidung:

$\iff \sqrt[3]{\frac{y~}{5~}}=x$, wenn $y$ ≥ 0 und -$ \sqrt[3]{\frac{- y~}{5~}}=x$, wenn $y$ < 0

2. $x$ und $y$ tauschen.

Die Umkehrfunktion lautet also:

$f^{-1}(x) = y= \sqrt[3~]{\frac{x~}{5~}}$, wenn $x$ ≥ $0$   und   $f^{-1}(x) = y= - \sqrt[3~]{\frac{- x~}{5~}}$, wenn $x$ < $0$

Anwendung Umkehrfunktion

Wann muss eine Umkehrfunktion gebildet werden?

Ein Beispiel aus der Wirtschaft: Normalerweise wird die Nachfrage nach einem Produkt in Abhängigkeit des Preises abgebildet. Man kann jedoch auch den Preis in Abhängigkeit der Nachfrage darstellen. Dies könnte einen Hersteller interessieren, der eine bestimmte Menge eines Produktes verkaufen möchte und wissen möchte, welchen Preis er pro Einheit verlangen sollte, um alle produzierten Einheiten zu verkaufen.

Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Berechne die Umkehrfunktion folgender Funktion:
$f(x) = \frac{2x+1}{3}$

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Teste dein Wissen!

Eine Umkehrfunktion zu $f(x) = x^3+2$ mit eingeschränktem Definitionsbereich ist:

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Was ist die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x-0,2$ ?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wie gehst du vor, um eine Umkehrfunktion zu bilden?

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Mathematik > Funktionen

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

p-q-formel-3
Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's!
quadratische-funktion-11
Quadratische Funktionen: Nullstellen berechnen Mitternachtsformel, abc-Formel
Br?cke
Quadratische Funktionen zeichnen
textaufgabe-1
Quadratische Funktionen: Aufgaben mit Lösungen
funktionsgleichung-bestimmen-1
Quadratische Funktionen bestimmen leicht gemacht
Quadratischen Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform
Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Normalparabel nach unten verschoben um 3
Wie verschiebt man eine Normalparabel?
vergleich
Streckung und Stauchung einer Normalparabel
Bitte Beschreibung eingeben
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung lösen
gestreckte_und_gestauchte_funktion
Was ist eine quadratische Funktion?
Bitte Beschreibung eingeben
Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht
Potenzfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren
Potenzfunktionen zeichnen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
Potenzfunktion $\large{x^{-4}}$
Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
Potenzfunktion x hoch 8/3
Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
Wurzelfunktion f(x) = \sqrt x
Was ist eine Wurzelfunktion? - Erklärungen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt
funktion_x_hoch_2
Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen
Funktionen mit der Potenzregel ableiten
Funktionen mit der Faktorregel ableiten
Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden
Wie wende ich die Kettenregel an?
Funktionen mit der Quotientenregel ableiten
Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln
Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln
Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
ableitung
Ableitung: Bedeutung im Sachzusammenhang
Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben
exponentialfunktion-2-hoch-x
Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben
Logarithmusfunktionen log, ln, lg
Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften
e-Funktion
Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt
funktion_linearer_wachstum
Lineares Wachstum und lineare Abnahme
funktion_bakterien
Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
koordinatensystem
Was ist eine mathematische Funktion?
monotomie
Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
Umkehrfunktion2
Wie bildet man eine Umkehrfunktion?
Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt
kurvendiskussion_beispiel
Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
beispiel-lineare-funnktion
Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften
koordinatensystem
Achsenschnittpunkte von Funktionen berechnen
tangente
Tangentengleichung bestimmen einfach erklärt
asymptote
Was sind senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten?
Periode einer Sinuskurve
Sinusfunktion und ihre Eigenschaften
Die Kosinusfunktion
Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften
Sinusfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Kosinusfaktor mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!

Lehrer sofort fragen

Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.

  • Sofort, ohne Termin
  • Online-Chat 14 – 21 Uhr
  • Erfahrene Mathematik-Lehrer
Jetzt Lehrer kostenlos fragen
Lehrer zum Wunschtermin online fragen

Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.

  • Zum Wunschtermin
  • Online-Einzelgespräch
  • Geprüfte Nachhilfelehrer
Gratis Probestunde vereinbaren
Lehrer zum Wunschtermin in deiner Nähe fragen

Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

  • Zum Wunschtermin
  • In deiner Stadt
  • Geprüfte Nachhilfelehrer

Gratis Probestunde vereinbaren

Selbst-Lernportal
Wissen vertiefen und selber üben

Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.

  • Über 250.000 Übungsaufgaben
  • 700 Lernvideos
  • Original-Abi-Klausuren
Jetzt kostenlos entdecken
Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

Stefan O., vom 2020-09-27
Beide Kinder gehen gerne in den Studienkreis. Sie fühlen sich dort gut aufgehoben und freuen sich auf jede neue Stunde. Unsere "Große" ist nun schon seit über einem Jahr dabei und hat sich in der Schule um 2 Noten verbessert. Sie kommt jetzt auch mit dem neuen Stoff besser zurecht. Die oft für uns Eltern stressige Lernerei zuhause hat sich deutlich nivelliert. Meine uneingeschränkte Empfehlung!
anonymisiert, vom 2020-09-24
Sehr netter Kontakt, sehr flexibel, teilweise schlecht erreichbar
anonymisiert, vom 2020-09-17
Alles gute
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
n-tv Siegel Testsieger Nachhilfe Studienkreis 2019
TÜV-Gütesiegel - Servicequalität Nachhilfe
Service-Champions - Studienkreis - Nr. 1 der Nachhilfeanbieter
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Wir benötigen deine Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um deinen konkreten Nachhilfebedarf zu ermitteln. Deine Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir dir telefonisch stellen könnten:

  • "Bei welchem Thema gibt es besondere Schwierigkeiten?
  • "Wann hättest du generell Zeit für den Unterricht?"

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen!

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
7753