In diesem Lerntext erklären wir dir, was eine Umkehrfunktion ist. Außerdem geben wir dir Beispiele, wie eine Umkehrfunktion gebildet werden kann und lösen Übungsaufgaben.
Definition einer Umkehrfunktion
Umkehrfunktionen ordnen, wie der Name schon sagt, die Variablen umgekehrt zu. Das bedeutet, dass $x$-Wert und $y$-Wert vertauscht werden. Dies ist nur möglich, wenn es für jeden Funktionswert ($y$) nur einen $x$-Wert gibt. Die umkehrbare (invertierbare) Funktion muss daher eineindeutig sein. Das heißt, dass unter Umständen der Definitionsbereich einer Funktion eingeschränkt werden muss, damit diese dann umkehrbar wird. Die Umkehrfunktion der Funktion $f(x)$ wird mit $f^{\textcolor{red}{-1}} (x)$ gekennzeichnet. Die hochgestellte $\textcolor{red}{-1}$ ist das Zeichen für die Umkehrfunktion.
Methode
Eine Umkehrfunktion wird durch $f^{-1}(x)$ gekennzeichnet.
Es gilt damit für jedes $x$ ∈ $D$$f$: $f$ $-1$ $(f(x))$ = $x$
Wenn wir die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion betrachten, fällt auf, dass die Funktion an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt wird. Diese Winkelhalbierende wird beschrieben durch die Funktion $g(x)= x$. Deren Graph halbiert den Winkel zwischen den Achsen im 1.Quadranten.
Abbildung: Funktion $f(x) = 2x+2$ und ihre Umkehrfunktion
Die Abbildung zeigt die Funktionen $f$ und $f$-1, die Umkehrfunktionen voneinander sind, da sie Spiegelbilder voneinander an der Geraden $g(x) = x$ sind.
Schauen wir uns jetzt an, wie die Umkehrfunktion von $f(x) = 2x+2$ gebildet wurde:
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Vorgehensweise - eine Umkehrfunktion bilden
Um eine Umkehrfunktion zu bilden, muss die Funktion nach $x$ umgestellt werden. Es werden $x$ und $y$ vertauscht, wobei sich auch die Definitions- und die Wertemenge vertauschen.
Methode
Vorgehensweise
- Die Funktion nach $x$ auflösen.
- $x$ und $y$ tauschen.
Schauen wir uns drei Beispiele an:
Beispiel
$f(x)=2x+2$
Diese Funktion ist eindeutig, da sie eine Gerade darstellt. Wir müssen uns also keine Gedanken zum Definitionsbereich machen. Das sind alle reellen Zahlen.
1. Die Funktion nach x auflösen.
$f(x) = y = 2x+2~~~~~~~~~|-2$
$y-2=2x~~~~~~~~~~~~~~|:2$
$\frac{y}{2}-1=x$
$= 0,5y-1=x$
2. $x$ und $y$ tauschen.
$y = 0,5x -1$ bzw. $f^{-1}(x) = 0,5x -1$
Probe:
$f$-1 ($f$($x$)) = $0,5 (2x +2) - 1$ = $x$
Es ergibt sich immer $x$. Also sind die beiden Funktionen Umkehrfunktionen voneinander.
Beispiel
$f(x)=3x^2+5$
Hier müssen wir den Definitionsbereich einschränken, da das Bild eine quadratische Parabel ist, die nicht eineindeutig ist. Die Parabel hat ihren Scheitelpunkt auf der $y$-Achse. Damit ist sie zum Beispiel für x≥0 umkehrbar. Dieser Parabelast ist eineindeutig. Der Definitionsbereich für diese Funktion seien also alle reellen Zahlen, die größer oder gleich Null sind. Den Wertebereich bilden alle reellen $y$-Werte, die größer oder gleich 5 sind, denn die Parabel ist nach oben offen und ihr Scheitelpunkt liegt bei 5 auf der $y$-Achse.
Definitionsbereich: $D$$f$: $x$ ∈ ℝ, $x$ ≥ 0
Wertebereich: $W$$f$: $y$ ∈ ℝ, $y$ ≥ 5
1. Die Funktion nach $x$ auflösen.
$f(x)= 3x^2+5~~~~~~~~~~~~|-5$
$\iff y-5 = 3x^2~~~~~~~~~~~~|:3$
$\iff \frac{y-5}{3}=x^2~~~~ ~~|\sqrt{~~}$
$\iff \sqrt{\frac{y-5}{3}}=x$
2. $x$ und $y$ tauschen.
$y = f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x-5}{3}} $
Bemerkung: Für den Parabelteil links vom Scheitelpunkt gilt: Dessen Umkehrfunktion ist $f$-1(x) = - $\sqrt{\frac{x-5}{3}} $
Beispiel
$f(x)=5x^3$
Auch hier müssen wir uns keine Gedanken über den Definitionsbereich machen, da die Funktion eineindeutig ist.
1. Die Funktion nach $x$ auflösen.
$f(x)=y =5x^3~~~~~~~~~~~~~|:5$
$\iff \frac{y~}{5~}=x^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~|\sqrt[3]{~~}$
An dieser Stelle müssen wir aufpassen. Wenn wir eine dritte Wurzel ziehen um die dritte Potenz zu beseitigen, dann sind deren Ergebnisse immer positiv oder Null. Das alles soll auch für negative Zahlen gelten. Für negative Werte muss also auch etwas Negatives dastehen. Da geht mit einer Fallunterscheidung:
$\iff \sqrt[3]{\frac{y~}{5~}}=x$, wenn $y$ ≥ 0 und -$ \sqrt[3]{\frac{- y~}{5~}}=x$, wenn $y$ < 0
2. $x$ und $y$ tauschen.
Die Umkehrfunktion lautet also:
$f^{-1}(x) = y= \sqrt[3~]{\frac{x~}{5~}}$, wenn $x$ ≥ $0$ und $f^{-1}(x) = y= - \sqrt[3~]{\frac{- x~}{5~}}$, wenn $x$ < $0$
Anwendung Umkehrfunktion
Wann muss eine Umkehrfunktion gebildet werden?
Ein Beispiel aus der Wirtschaft: Normalerweise wird die Nachfrage nach einem Produkt in Abhängigkeit des Preises abgebildet. Man kann jedoch auch den Preis in Abhängigkeit der Nachfrage darstellen. Dies könnte einen Hersteller interessieren, der eine bestimmte Menge eines Produktes verkaufen möchte und wissen möchte, welchen Preis er pro Einheit verlangen sollte, um alle produzierten Einheiten zu verkaufen.
Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neu erworbenes Wissen überprüfen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)
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Übungsaufgaben
Berechne die Umkehrfunktion folgender Funktion:
$f(x) = \frac{2x+1}{3}$
Eine Umkehrfunktion zu $f(x) = x^3+2$ mit eingeschränktem Definitionsbereich ist:
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