Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Funktionen Ableitungsregeln Wie wende ich die Kettenregel an?

Wie wende ich die Kettenregel an?

Die verschiedenen Ableitungsregeln

Es gibt einige Ableitungsregeln, die du kennen solltest, wenn du in der Lage sein möchtest, verschiedene Funktionen abzuleiten. Hier erhältst du eine Übersicht, welche Regeln der Ableitung existieren. Über die jeweiligen Begriffe gelangst du auf die dazugehörigen Lernseiten:

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen
  1. Potenzregel
  2. Faktorregel
  3. Summenregel
  4. Quotientenregel
  5. Produktregel
  6. Kettenregel

In diesem Lerntext lernst du die Kettenregel als neue Ableitungsregel kennen.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

$f(x)= u(v(x))$

$f'(x)= u'(v(x)) \cdot v'(x)$

Um die Kettenregel verstehen zu können, musst du die Potenzregel, die Faktorregel und die Summenregel beherrschen. Wenn du dir bei diesen Regeln unsicher bist, gucke sie dir lieber vorher noch einmal an.

Ableitung mit der Kettenregel: Anwendung

Die Kettenregel ist eine wichtige Regel, mit deren Hilfe du komplexe $_"$verkettete$"$ Funktionen ableiten kannst. Die Kettenregel tritt vor allem in Kombination mit anderen Regeln, etwa der Faktorregel oder der Summenregel, auf. Ein Beispiel für die Anwendung der Kettenregel ist diese Funktion:

$\large{f(x)= (x^2)^3}$

Wir wollen die Kettenregel demonstrieren, daher rechnen wir die Exponenten nicht zusammen. Zunächst müssen wir die beiden Funktionsteile u(x) und v(x) definieren, denn die Kettenregel besagt, dass:

$f(x) = \textcolor{green}{u(}\textcolor{blue}{v(x)}\textcolor{green}{)}$

Bei unserem Beispiel ist der Funktionsteil $\textcolor{blue}{x^2}$ der Teil $\textcolor{blue}{v(x)}$ und der Funktionsteil $\textcolor{green}{()^3}$ der Teil $\textcolor{green}{u(x)}$, also:

$f(x) = \textcolor{green}{(}\textcolor{blue}{x^2}\textcolor{green}{)^3}$

Nun gucken wir uns nochmal die Ableitungsformel $f'(x)= \textcolor{green}{u'(}\textcolor{blue}{v(x)\textcolor{green}{)} \cdot v'(x)}$ an. Wir müssen also zunächst die Ableitungen der einzelnen Funktionsteile berechnen und diese dann zur Ableitungsfunktion zusammenfügen.

Wir bilden also die Ableitungen der einzelnen Funktionsteile:

  • $\textcolor{blue}{v'(x)= 2x}$, v(x) wird auch als innere Funktion bezeichnet.
  • $\textcolor{green}{u'(x)= 3 \cdot ()^2}$, u(x) wird auch als äußere Funktion bezeichnet.

Nach dem Zusammenfügen erhalten wir:

$f'(x)= 3 \cdot (x^2)^2 \cdot 2x$

Diesen Term können wir noch vereinfachen und erhalten dann:

$f'(x)= 6 \cdot x^5$

Im Übrigen hätten wir die Funktion auch erst zusammenfassen können und dann mit Hilfe der Potenzregel ableiten können. Also:

${f(x)= (x^2)^3}~~~\rightarrow~~~{f(x)= x^6}$

${f'(x)= 6 \cdot x^5}$

Kettenregel: Beispiel

Eine weitere Beispielaufgabe für die Kettenregel, in Verbindung mit der Summenregel, ist die Funktion:

$g(x)= \textcolor{green}{(} \textcolor{blue}{3x-2} \textcolor{green}{)^8}$

Die Ableitung der äußeren Funktion ist: $\textcolor{green}{u'(x)=8 \cdot ()^7}$

Die Ableitung der inneren Funktion ist: $\textcolor{blue}{v'(x)= 3}$

Zusammengefügt nach der Kettenregel ergibt dies die Ableitung der Funktion:

$g'(x)= \textcolor{green}{8 \cdot (}\textcolor{blue}{3x-2}\textcolor{green}{)^7} \cdot 3$

Vereinfachen wir diesen Term, erhalten wir: $g'(x)= 24 \cdot (3x-2)^7$

Zur Vertiefung des Themas schau auch noch einmal in die Übungen zu Kettenregeln.

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Du brauchst Hilfe? Frag einen Lehrer!

Lehrer jetzt sofort fragen

Wende dich direkt online ohne Termin per Video-Chat an einen unserer Lehrer der Mathematik-Hausaufgabenhilfe, täglich zwischen 14-21 Uhr.

Jetzt kostenlos fragen

Lehrer zum Wunschtermin fragen

Vereinbare einen Termin bei einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe-Online

Gratis Probestunde online

Du möchtest lieber einen Lehrer in einer unserer Nachhilfe-Schulen fragen? Dann wähle hier deine nächstgelegene Mathematik-Nachhilfe-Schule aus.

Gratis Probestunde vor Ort
TESTE KOSTENLOS UNSER SELBST-LERN-PORTAL:
  • Über 600 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
8549