Mathematik > Funktionen

Sinusfunktion und ihre Eigenschaften

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext erhältst du einen Überblick über die Eigenschaften der Sinusfunktion. Außerdem erklären wir dir, wie du die Sinuskurve in x- oder y-Richtung verschieben kannst.

Allgemeine Funktionsgleichung

Die Sinusfunktion ist eine der trigonometrischen Funktionen und ordnet jedem $x$ seinen entsprechenden Sinuswert $y$ zu.

Zu sehen ist ein Einheitskreis. Der heißt so, weil die Länge seines Radius‘ 1 beträgt.

Einheitskreis

Die Sinusfunktion ordnet jedem Winkel eine Streckenlänge zu. Die Länge der braun gezeichneten Strecke gehört dabei zu dem Winkel $x$. Ist $x$ zum Beispiel mit $30°$ gegeben, so ist die Länge der braunen Strecke $0,5$. Daher ist sin ⁡ $30°=0,5$.Zu jedem Winkel gehört eine Länge des Kreisbogens. Der ist hier lila als Bogen eingezeichnet. Die Länge dieses Bogens nennt man auch Bogenmaß des Winkels $x$. Ist der Radius 1, dann ist der Umfang des gesamten Kreises $U=π \cdot d=π \cdot 2r=π \cdot 2 \cdot 1=2π$. Der gesamte Kreis hat also eine Bogenlänge von 2π. Das sind ca. $6,28$ Einheiten (zum Beispiel cm). Also gehört zum Winkel $360°$ das Bogenmaß $2π$. Entsprechend gehört zum Gradmaß $30°$ das Bogenmaß $\frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6}$

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$y~=~sin(x)$

Die Sinusfunktion besitzt einige Besonderheiten. Für die Skalierung der Achse wird in der Regel das Bogenmaß genutzt. Wichtig ist an der Stelle, ob der Taschenrechner mit dem Gradmaß oder dem Bogenmaß rechnen soll. Das muss in den Einstellungen berücksichtigt werden. In der Regel gibt es auf dem Taschenrechner die Einstellungen RAD (für Bogenmaß) und DEG (für Gradmaß).

Sinusfunktion
Die Sinusfunktion mit der x-Achse im Bogenmaß.

Definitions- und Wertemenge der Sinusfunktion

Für die x-Werte der Sinusfunktion sind alle reellen Zahlen erlaubt. Die Definitionsmenge lautet also:

$\mathbb{D} = \mathbb{R}$

Im Gegensatz zu den x-Werten können die y-Werte nur Werte von $-1$ bis $1$ annehmen. Der Wertebereich der normalen Sinusfunktion lautet also:

$W= [-1;1]$

Periode und Symmetrieverhalten der Sinuskurve

Die Sinuskurve verläuft periodisch, das heißt, dass sich ein einzelner Abschnitt wieder und wieder wiederholt. Man kann auch sagen, dass sich die Funktionswerte ($y$) im selben Abstand wiederholen. Die kleinste Periode der Sinuskurve entspricht einer Wellenbewegung oberhalb und unterhalb der x-Achse. In der unteren Abbildung können wir erkennen, dass die kleinste Periode über die Länge von $2 \pi$ geht.

Periode einer Sinuskurve

Die Sinusfunktion ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung $(0|0)$, was sich auch rechnerisch beweisen lässt.

$sin(-x) = - sin (x)$

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Nullstellen der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion besitzt unendlich viele Nullstellen. Diese Nullstellen liegen jeweils um den Wert $\pi$ auseinander. Das sieht man in der unteren Grafik.

Nullstellen der Sinusfunktion
Nullstellen der Sinusfunktion

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Für die Berechnung der Nullstellen der Sinusfunktion gilt:

$x_k = k \cdot \pi$

Dabei können für $k$ alle möglichen ganzen Zahlen eingesetzt werden.

Beispiel

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$x_{-1} = -1 \cdot \pi = - \pi$

$x_{0} = 0 \cdot \pi = 0$

$x_{2} = 2 \cdot \pi = 2 \pi$

Relative Maxima und Minima

Auch für die Extremwerte (oder auch: Hoch- und Tiefpunkte) lässt sich aufgrund des periodischen Verlaufs der Sinuskurve eine allgemeine Formel angeben.

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Relative Maxima liegen für jede ganze Zahl k bei

$x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2 \cdot \pi$

Beispiel

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$x_{-1} = \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot 2 \cdot \pi = - \frac{3 \cdot \pi}{2}$

$x_1 = \frac{\pi}{2} + 1 \cdot 2 \cdot \pi = \frac{5 \cdot \pi}{2} $

Merke

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Relative Minima liegen für jede Zahl k bei

$x_k = \frac{3 \cdot \pi}{2} + k \cdot 2 \cdot \pi$

Beispiel

Beispiel

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$x_{-1} = \frac{3 \cdot \pi}{2} + (-1) \cdot 2 \cdot \pi = - \frac{\pi}{2}$

$x_{1} = \frac{3 \cdot \pi}{2} + 1 \cdot 2 \cdot \pi = \frac{7 \cdot \pi}{2}$

Maxima und Minima der Sinusfunktion
Maxima und Minima der Sinusfunktion

Verschiebung in y-Richtung

Die Sinusfunktion wird entlang der y-Achse verschoben, wenn ein Wert zum Funktionsterm dazu addiert oder davon abgezogen wird. Dabei verschiebt sich die Sinuskurve entlang der y-Achse in positive oder negative Richtung.

Merke

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$y = sin(x) + d$

Der Parameter $d$ verschiebt die Sinuskurve entlang der y-Achse.

$d>0 \rightarrow$ Verschiebung nach oben

Sinusfunktion Verschiebung entlang der y-Achse
Verschiedene Funktionen der Form $f(x)=sin⁡ x+d$

Die x-Koordinaten der Maxima und der Minima ändern sich nicht.

Verschiebung in x-Richtung

Die Sinuskurve kann ebenfalls entlang der x-Achse verschoben werden.

Merke

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$y = sin(x + c)$

Der Parameter $c$ verschiebt die Sinuskurve entlang der x-Achse.

$c>0 \rightarrow$ Verschiebung nach links

Sinuskurve Verschiebung entlang der x-Achse
Verschiebung der Sinuskurve entlang der x-Achse

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Berechne die Extremstelle (Maximum) einer Sinusfunktion für $x_{10}$.

Welches Ergebnis ist korrekt?

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Berechne die Nullstelle $x_7$ der Sinusfunktion sin $x$.

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Welche Eigenschaften treffen auf die Sinusfunktion zu?

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
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Welche Skalierung auf der x-Achse nutzt man in der Regel beim Zeichnen der Sinusfunktion?

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