Sinusfunktion und ihre Eigenschaften
In diesem Lerntext erhältst du einen Überblick über die Eigenschaften der Sinusfunktion. Außerdem erklären wir dir, wie du die Sinuskurve in x- oder y-Richtung verschieben kannst.
Allgemeine Funktionsgleichung
Die Sinusfunktion ist eine der trigonometrischen Funktionen und ordnet jedem $x$ seinen entsprechenden Sinuswert $y$ zu.
Zu sehen ist ein Einheitskreis. Der heißt so, weil die Länge seines Radius‘ 1 beträgt.
Die Sinusfunktion ordnet jedem Winkel eine Streckenlänge zu. Die Länge der braun gezeichneten Strecke gehört dabei zu dem Winkel $x$. Ist $x$ zum Beispiel mit $30°$ gegeben, so ist die Länge der braunen Strecke $0,5$. Daher ist sin $30°=0,5$.Zu jedem Winkel gehört eine Länge des Kreisbogens. Der ist hier lila als Bogen eingezeichnet. Die Länge dieses Bogens nennt man auch Bogenmaß des Winkels $x$. Ist der Radius 1, dann ist der Umfang des gesamten Kreises $U=π \cdot d=π \cdot 2r=π \cdot 2 \cdot 1=2π$. Der gesamte Kreis hat also eine Bogenlänge von 2π. Das sind ca. $6,28$ Einheiten (zum Beispiel cm). Also gehört zum Winkel $360°$ das Bogenmaß $2π$. Entsprechend gehört zum Gradmaß $30°$ das Bogenmaß $\frac{2 \pi}{12} = \frac{\pi}{6}$
Merke
Merke
$y~=~sin(x)$
Die Sinusfunktion besitzt einige Besonderheiten. Für die Skalierung der Achse wird in der Regel das Bogenmaß genutzt. Wichtig ist an der Stelle, ob der Taschenrechner mit dem Gradmaß oder dem Bogenmaß rechnen soll. Das muss in den Einstellungen berücksichtigt werden. In der Regel gibt es auf dem Taschenrechner die Einstellungen RAD (für Bogenmaß) und DEG (für Gradmaß).
Definitions- und Wertemenge der Sinusfunktion
Für die x-Werte der Sinusfunktion sind alle reellen Zahlen erlaubt. Die Definitionsmenge lautet also:
$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Im Gegensatz zu den x-Werten können die y-Werte nur Werte von $-1$ bis $1$ annehmen. Der Wertebereich der normalen Sinusfunktion lautet also:
$W= [-1;1]$
Periode und Symmetrieverhalten der Sinuskurve
Die Sinuskurve verläuft periodisch, das heißt, dass sich ein einzelner Abschnitt wieder und wieder wiederholt. Man kann auch sagen, dass sich die Funktionswerte ($y$) im selben Abstand wiederholen. Die kleinste Periode der Sinuskurve entspricht einer Wellenbewegung oberhalb und unterhalb der x-Achse. In der unteren Abbildung können wir erkennen, dass die kleinste Periode über die Länge von $2 \pi$ geht.
Die Sinusfunktion ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung $(0|0)$, was sich auch rechnerisch beweisen lässt.
$sin(-x) = - sin (x)$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Nullstellen der Sinusfunktion
Die Sinusfunktion besitzt unendlich viele Nullstellen. Diese Nullstellen liegen jeweils um den Wert $\pi$ auseinander. Das sieht man in der unteren Grafik.
Merke
Merke
Für die Berechnung der Nullstellen der Sinusfunktion gilt:
$x_k = k \cdot \pi$
Dabei können für $k$ alle möglichen ganzen Zahlen eingesetzt werden.
Beispiel
Beispiel
$x_{-1} = -1 \cdot \pi = - \pi$
$x_{0} = 0 \cdot \pi = 0$
$x_{2} = 2 \cdot \pi = 2 \pi$
Relative Maxima und Minima
Auch für die Extremwerte (oder auch: Hoch- und Tiefpunkte) lässt sich aufgrund des periodischen Verlaufs der Sinuskurve eine allgemeine Formel angeben.
Merke
Merke
Relative Maxima liegen für jede ganze Zahl k bei
$x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2 \cdot \pi$
Beispiel
Beispiel
$x_{-1} = \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot 2 \cdot \pi = - \frac{3 \cdot \pi}{2}$
$x_1 = \frac{\pi}{2} + 1 \cdot 2 \cdot \pi = \frac{5 \cdot \pi}{2} $
Merke
Merke
Relative Minima liegen für jede Zahl k bei
$x_k = \frac{3 \cdot \pi}{2} + k \cdot 2 \cdot \pi$
Beispiel
Beispiel
$x_{-1} = \frac{3 \cdot \pi}{2} + (-1) \cdot 2 \cdot \pi = - \frac{\pi}{2}$
$x_{1} = \frac{3 \cdot \pi}{2} + 1 \cdot 2 \cdot \pi = \frac{7 \cdot \pi}{2}$
Verschiebung in y-Richtung
Die Sinusfunktion wird entlang der y-Achse verschoben, wenn ein Wert zum Funktionsterm dazu addiert oder davon abgezogen wird. Dabei verschiebt sich die Sinuskurve entlang der y-Achse in positive oder negative Richtung.
Merke
Merke
$y = sin(x) + d$
Der Parameter $d$ verschiebt die Sinuskurve entlang der y-Achse.
$d>0 \rightarrow$ Verschiebung nach oben
Die x-Koordinaten der Maxima und der Minima ändern sich nicht.
Verschiebung in x-Richtung
Die Sinuskurve kann ebenfalls entlang der x-Achse verschoben werden.
Merke
Merke
$y = sin(x + c)$
Der Parameter $c$ verschiebt die Sinuskurve entlang der x-Achse.
$c>0 \rightarrow$ Verschiebung nach links
Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Teste dein Wissen!
Berechne die Extremstelle (Maximum) einer Sinusfunktion für $x_{10}$.
Welches Ergebnis ist korrekt?
Berechne die Nullstelle $x_7$ der Sinusfunktion sin $x$.
Welche Eigenschaften treffen auf die Sinusfunktion zu?
Welche Skalierung auf der x-Achse nutzt man in der Regel beim Zeichnen der Sinusfunktion?
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
Schon registriert? Hier einloggen
Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Schon registriert? Hier einloggen
Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Bereits registriert? Hier einloggen