Sinusfunktion und ihre Eigenschaften
In diesem Lerntext erhältst du einen Überblick über die Eigenschaften der Sinusfunktion. Außerdem erklären wir dir, wie du die Sinuskurve in x- oder y-Richtung verschieben kannst.
Allgemeine Funktionsgleichung
Die Sinusfunktion ist eine der trigonometrischen Funktionen und ordnet jedem $x$ seinen entsprechenden Sinuswert $y$ zu.
Merke
Merke
$y~=~sin(x)$
Die Sinusfunktion besitzt einige Besonderheiten. Für die Skalierung der x-Achse nutzt man auf Grund des geometrischen Hintergrunds der Sinusfunktion das Bogenmaß. Außerdem verläuft die Sinusfunktion periodisch.
Definitions- und Wertemenge der Sinusfunktion
Für die x-Werte der Sinusfunktion sind alle reellen Zahlen erlaubt. Die Definitionsmenge lautet also:
$\mathbb{D} = \mathbb{R}$
Im Gegensatz zu den x-Werten, können die y-Werte, wie du in der Abbildung ablesen kannst, nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen. Der Wertebereich der normalen Sinusfunktion lautet also:
$W= [-1;1]$
Periode und Symmetrieverhalten der Sinuskurve
Die Sinuskurve verläuft periodisch, das heißt, dass sich ein einzelner Abschnitt wieder und wieder wiederholt. Man kann auch sagen, dass sich die Funktionswerte ($y$) im selben Abstand wiederholen. Eine Periode der Sinuskurve entspricht einer Wellenbewegung oberhalb und unterhalb der x-Achse. In der unteren Abbildung können wir erkennen, dass eine Periode über die Länge von $2 \pi$ geht.
Die Sinusfunktion ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung $(0|0)$, was sich auch rechnerisch beweisen lässt.
$sin(-x) = - sin (x)$
Wenn du nicht mehr genau weißt, wie du die Symmetrie einer Funktion rechnerisch beweisen kannst, findest du in unserem Lerntext zu Kurvendiskussionen eine ausführliche Erklärung.
Nullstellen der Sinusfunktion
Aufgrund ihres periodischen Verlaufs entlang der x-Achse, besitzt die Sinusfunktion unendlich viele Nullstellen, die jeweils um den Wert $\pi$ auseinander liegen.
Merke
Merke
Für die Berechnung der Nullstellen der Sinusfunktion gilt:
$x_k = k \cdot \pi$
Dabei können für $k$ alle möglichen ganzen Zahlen eingesetzt werden.
Beispiel
Beispiel
$x_{-1} = (-1) \cdot \pi = - \pi$
$x_{0} = (0) \cdot \pi = 0$
$x_{2} = (2) \cdot \pi = 2 \pi$
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Relative Maxima und Minima
Auch für die Extremwerte (oder auch: Hoch- und Tiefpunkte) lässt sich aufgrund des periodischen Verlaufs der Sinuskurve eine allgemeine Formel angeben.
Merke
Merke
Relative Maxima
$x_k = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2 \cdot \pi$
Beispiel
Beispiel
$x_{-1} = \frac{\pi}{2} + (-1) \cdot 2 \cdot \pi = - \frac{3 \cdot \pi}{2}$
$x_1 = \frac{\pi}{2} + 1 \cdot 2 \cdot \pi = \frac{5 \cdot \pi}{2} $
Merke
Merke
Relative Minima
$x_k = \frac{3 \cdot \pi}{2} + k \cdot 2 \cdot \pi$
Beispiel
Beispiel
$x_{-1} = \frac{3 \cdot \pi}{2} + (-1) \cdot 2 \cdot \pi = - \frac{\pi}{2}$
$x_{1} = \frac{3 \cdot \pi}{2} + 1 \cdot 2 \cdot \pi = - \frac{7 \cdot \pi}{2}$
Verschiebung in y-Richtung
Die Sinusfunktion wird entlang der y-Achse verschoben, wenn ein Wert zum Funktionsterm dazu addiert oder davon abgezogen wird. Dabei verschiebt sich die Sinuskurve entlang der y-Achse in positive oder negative Richtung.
Merke
Merke
$y = sin(x) + d$
Der Parameter $d$ verschiebt die Sinuskurve entlang der y-Achse.
$d>0 \rightarrow$ Verschiebung nach oben
Bei der Verschiebung in y-Richtung ist zu beachten, dass die verschobenen Sinuskurven keine Nullstellen, also keine Schnittpunkte mit der x-Achse, besitzen. Die x-Koordinaten der Maxima und Minima ändern sich nicht.
Verschiebung in x-Richtung
Die Sinuskurve kann ebenfalls entlang der x-Achse verschoben werden.
Merke
Merke
$y = sin(x + c)$
Der Parameter $c$ verschiebt die Sinuskurve entlang der x-Achse.
$c>0 \rightarrow$ Verschiebung nach rechts
Bei der Verschiebung entlang der x-Achse ändern sich sowohl Null- als auch Extremstellen der Sinusfunktion. Außerdem ist die Verschiebung immer nur innerhalb einer Periode ($2\cdot \pi$) sichtbar. Wird die Sinuskurve beispielsweise um $2 \pi$ nach links verschoben, kann man diese Verschiebung nicht sehen, da die Kurve wieder deckungsgleich mit der normalen Form ist.
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Berechne die Extremstelle (Maximum) einer Sinusfunktion für $x_{10}$.
Welches Ergebnis ist korrekt?
Berechne die Nullstelle der Sinusfunktion für $x_7$.
Welches Ergebnis ist korrekt?
Welche Eigenschaften treffen auf die Sinusfunktion zu?
Welche Skalierung auf der x-Achse nutzt man in der Regel beim Zeichnen der Sinusfunktion?
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