Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben

Streckung parallel zur y-Achse und Spiegelung an der x-Achse

Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion kann durch einen Streckfaktor b erweitert werden. Die Funktionsgleichung wird dann folgend geschrieben:

$f(x) = b \cdot a^x$

Der Streckfaktor b bewirkt, dass der Graph von a ^x parallel zur y-Achse gestreckt wird. Der Funktionswert wird hierbei mit dem Streckfaktor $b$ multipliziert. Wenn der Streckfaktor b negativ ist, bewirkt dies, dass der Graph von a ^x außerdem an der x-Achse gespiegelt wird.

Wir nehmen als Beispiel die Funktion $\textcolor{blue}{f(x) = 2^x}$.

Zunächst strecken wir diese parallel zur y-Achse mit dem Streckfaktor $\textcolor{red}{b = 3}$. Es entsteht die Funktion $\textcolor{red}{g(x) = 3 \cdot 2^x}$. Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse bei $P(0 \mid 3)$ und verläuft insgesamt etwas $\textcolor{red}{steiler}$ als der Graph der Funktion $f(x)$.

Wir können die Funktion jedoch auch mit einem Streckfaktor, der zwischen $0$ und $1$ liegt, strecken. Wenn wir die Funktion mit dem Streckfaktor $\textcolor{green}{b = 0,5}$ strecken, entsteht die Funktion $\textcolor{green}{i(x) = 0,5 \cdot 2^x}$. Der Graph schneidet die y-Achse bei $P(0 \mid 0,5)$ und verläuft insgesamt etwas $\textcolor{green}{flacher}$ als der Graph der Funktion $f(x)$.

Wenn wir die Funktion mit einem negativen Streckfaktor strecken, wird der Graph zusätzlich zur Streckung an der x-Achse gespiegelt (siehe Graphik).

Die Funktion $f(x)=2^x$ wird parallel zur y-Achse gestreckt. Ein negativer Streckfaktor bewirkt, dass der Graph der Funktion zusätzlich an der x-Achse gespiegelt wird.

Verschiebung entlang der x-Achse

Der Graph einer Exponentialfunktion kann entlang der x-Achse verschoben werden. Die Verschiebungskonstante c bewirkt eine Verschiebung des Graphen um $c$ Einheiten parallel zur x-Achse. Wenn $c$ positiv ist, ist der Graph nach links verschoben und wenn $c$ negativ ist, ist der Graph nach rechts verschoben. Die Funktionsgleichung wird dann folgend geschrieben:

$f(x)=a^{x+c}$

Hier ein paar Beispiele:

$\textcolor{blue}{f(x)=2^x}$
$\textcolor{limegreen}{g(x)=2^{x+3}}$
$\textcolor{orange}{h(x)=2^{x-4}}$

Abbildung: Verschiebung parallel zur x-Achse

Verschiebung entlang der y-Achse

Der Graph einer Exponentialfunktion kann entlang der y-Achse verschoben werden. Die Verschiebungskonstante ($d$) bewirkt eine Verschiebung des Graphen um $d$ Einheiten parallel zur y-Achse. Wenn $d$ positiv ist, ist der Graph nach oben verschoben und wenn $d$ negativ ist, ist der Graph nach unten verschoben. Die Funktionsgleichung wird dann wie folgt geschrieben:

$f(x) = a^x + d$

Hier ein paar Beispiele:

$\textcolor{blue}{f(x)=2^x}$
$\textcolor{green}{g(x)=2^x + 4}$
$\textcolor{orange}{h(x)=2^x - 3}$

Abbildung: Verschiebung parallel zur y-Achse

Zusatz: Kombinationen

Die oben beschriebenen Streckungen und Verschiebungen können natürlich auch kombiniert werden.
Hierzu abschließend noch drei Beispiele:

$\textcolor{blue}{f(x)=2^x}$
$\textcolor{green}{g(x)=3 \cdot 2^x - 2}$
$\textcolor{orange}{h(x)=2^{x-2} + 3}$
$\textcolor{magenta}{i(x)=-2^x + 1}$

Abbildung: „schwierige" Exponentialfunktionen

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