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Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben

Die Exponentialfunktionen sind, wie der Name schon vermuten lässt, Funktionen, bei denen es insbesondere um den Exponenten geht. Die Besonderheit einer Exponentialfunktion besteht darin, dass die Variable, also das $x$, im Exponenten steht. Beispiele hierfür sind:

Beispiel

Beispiel

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$f(x) = 4^x$

$f(x) = 5^{x-2}$

$f(x) = 2 \cdot (\frac{1}{3})^x$

$f(x) = -8 \cdot 2^{x+5} + 3$

Eigenschaften

Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet:

$f(x) = a^x$

Die Variable ($x$) steht im Exponenten. Die Basis (a) muss eine positive reelle Zahl sein ($a \in \mathbb{R}$, $a > 0$, $a \neq 1$). Wir unterscheiden zwei Arten von Exponentialfunktionen: Exponentialfunktionen deren Basis größer als $1$ ist und Exponentialfunktionen deren Basis zwischen $0$ und $1$ liegt.

1. Fall: $a > 1$

Die Basis der Exponentialfunktion ist größer als $1$. Dies bedeutet, dass der Graph der Exponentialfunktion steigend verläuft. Je größer $a$, desto steiler verläuft der Graph. Folgend ein paar Beispiele:

Beispiel für steigende Exponentialfunktionen
Abbildung: $\textcolor{green}{f(x)=2^x}$, $\textcolor{blue}{g(x)=3^x}$, $\textcolor{orange}{h(x)=5^x}$, $\textcolor{yellowgreen}{i(x)=10^x}$

2. Fall: $0 < a < 1$

Die Basis der Exponentialfunktion ist größer als $0$ und kleiner als $1$. Dies bedeutet, dass der Graph der Exponentialfunktion fallend verläuft. Je kleiner $a$, desto steiler verläuft der Graph. Folgend ein paar Beispiele:

Beispiel für fallende Exponentialfunktionen
Abbildung: $\textcolor{green}{f(x)=(\frac{1}{2})^x}$, $\textcolor{blue}{g(x)=(\frac{1}{3})^x}$, $\textcolor{orange}{h(x)=(\frac{1}{5})^x}$, $\textcolor{yellowgreen}{i(x)=(\frac{1}{10})^x}$

Wenn wir uns die Graphen der Exponentialfunktionen
$f(x) = 3^x$ und $g(x) = (\frac{1}{3})^x$
sowie
$h(x) = (\frac{7}{4})^x$ und $i(x) = (\frac{4}{7})^x$
einmal im Vergleich angucken, stellen wir fest, dass die Graphen jeweils durch Spiegelung an der y-Achse aufeinander abgebildet werden. Das heißt, wenn wir den Kehrwert der Basis a bilden und als Basis einer zweiten Exponentialfunktion nehmen, bewirkt dies, dass wir den Graphen der Exponentialfunktion an der y-Achse spiegeln.

Beispiel für gespiegelte Exponentialfunktionen
Abbildung: $\textcolor{green}{f(x)=3^x}$, $\textcolor{yellowgreen}{g(x)=(\frac{1}{3})^x}$, $\textcolor{blue}{h(x)=(\frac{7}{4})^x}$, $\textcolor{skyblue}{i(x)=(\frac{4}{7})^x}$

Methode

Methode

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Der Kehrwert einer Zahl wird gebildet, indem wir Zähler und Nenner der Zahl vertauschen.
Ein paar Beispiele:

$\frac{2}{5} ~~ \rightarrow ~~$ Kehrwert: $\frac{5}{2}$

$\frac{1}{3} ~~ \rightarrow ~~$ Kehrwert: $\frac{3}{1} = 3$

$4 (=\frac{4}{1}) ~~ \rightarrow ~~$ Kehrwert: $\frac{1}{4}$

Merke

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Für alle Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ gilt:

Die x-Achse ist Asymptote für den Graphen.
Der Graph der Funktion zeigt kein Symmetrieverhalten.
Die Funktion hat keine Nullstellen.
Der Funktionsgraph geht durch den Punkt $P(0\mid1)$.
Der Funktionsgraph verläuft steigend bei $a > 1$ und fallend bei $0 < a < 1$.

Streckung parallel zur y-Achse und Spiegelung an der x-Achse

Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion kann durch einen Streckfaktor ($b$) erweitert werden. Die Funktionsgleichung wird dann folgend geschrieben:

$f(x) = b \cdot a^x$

Der Streckfaktor ($b$) bewirkt, dass der Graph parallel zur y-Achse gestreckt wird. Der Funktionswert wird hierbei mit dem Streckfaktor $b$ multipliziert. Wenn der Streckfaktor ($b$) negativ ist, bewirkt dies, dass der Graph außerdem an der x-Achse gespiegelt wird.

Wir nehmen als Beispiel die Funktion $\textcolor{blue}{f(x) = 2^x}$.

Zunächst strecken wir diese parallel zur y-Achse mit dem Streckfaktor $\textcolor{red}{b = 3}$. Es entsteht die Funktion $\textcolor{red}{g(x) = 3 \cdot 2^x}$. Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse bei $P(0 \mid 3)$ und verläuft insgesamt etwas $\textcolor{red}{steiler}$ als der Graph der Funktion $f(x)$.

Wir können die Funktion jedoch auch mit einem Streckfaktor, der zwischen $0$ und $1$ liegt, strecken. Wenn wir die Funktion mit dem Streckfaktor $\textcolor{green}{b = 0,5}$ strecken, entsteht die Funktion $\textcolor{green}{i(x) = 0,5 \cdot 2^x}$. Der Graph schneidet die y-Achse bei $P(0 \mid 0,5)$ und verläuft insgesamt etwas $\textcolor{green}{flacher}$ als der Graph der Funktion $f(x)$.

Wenn wir die Funktion mit einem negativen Streckfaktor strecken, wird der Graph zusätzlich zur Streckung an der x-Achse gespiegelt (siehe Graphik).

Beispiel für eine Exponentialfunktion, die parallel zur y-Achse gestreckt und an der x-Achse gespiegelt wird
Die Funktion $f(x)=2^x$ wird parallel zur y-Achse gestreckt. Ein negativer Streckfaktor bewirkt, dass der Graph der Funktion zusätzlich an der x-Achse gespiegelt wird.

Verschiebung entlang der x-Achse

Der Graph einer Exponentialfunktion kann entlang der x-Achse verschoben werden. Die Verschiebungskonstante ($c$) bewirkt eine Verschiebung des Graphen um $c$ Einheiten parallel zur x-Achse. Wenn $c$ positiv ist, ist der Graph nach links verschoben und wenn $c$ negativ ist, ist der Graph nach rechts verschoben. Die Funktionsgleichung wird dann folgend geschrieben:

$f(x)=a^{x+c}$

Hier ein paar Beispiele:

$\textcolor{blue}{f(x)=2^x}$
$\textcolor{limegreen}{g(x)=2^{x+3}}$
$\textcolor{orange}{h(x)=2^{x-4}}$

Verschiebung des Graphen der Exponentialfunktion parallel zur x-Achse
Abbildung: Verschiebung parallel zur x-Achse

Verschiebung entlang der y-Achse

Der Graph einer Exponentialfunktion kann entlang der y-Achse verschoben werden. Die Verschiebungskonstante ($d$) bewirkt eine Verschiebung des Graphen um $d$ Einheiten parallel zur y-Achse. Wenn $d$ positiv ist, ist der Graph nach oben verschoben und wenn $d$ negativ ist, ist der Graph nach unten verschoben. Die Funktionsgleichung wird dann wie folgt geschrieben:

$f(x) = a^x + d$

Hier ein paar Beispiele:

$\textcolor{blue}{f(x)=2^x}$
$\textcolor{green}{g(x)=2^x + 4}$
$\textcolor{orange}{h(x)=2^x - 3}$

Verschiebung des Graphen der Exponentialfunktion parallel zur y-Achse
Abbildung: Verschiebung parallel zur y-Achse

Zusatz: Kombinationen

Die oben beschriebenen Streckungen und Verschiebungen können natürlich auch kombiniert werden.
Hierzu abschließend noch drei Beispiele:

$\textcolor{blue}{f(x)=2^x}$
$\textcolor{green}{g(x)=3 \cdot 2^x - 2}$
$\textcolor{orange}{h(x)=2^{x-2} + 3}$
$\textcolor{magenta}{i(x)=-2^x + 1}$

Beispiele für Kombinationen von Streckung und Verschiebung der Exponentialfunktionen
Abbildung: „schwierige" Exponentialfunktionen

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