Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben
Exponentialfunktionen sind besondere Funktionen. Im nachfolgenden Beispiel betrachten wir ebenfalls davon abgeleitete Funktionen.
Beispiel
Beispiel
$f(x) = 4^x$
$f(x) = 5^{x-2}$
$f(x) = 2 \cdot (\frac{1}{3})^x$
$f(x) = -8 \cdot 2^{x+5} + 3$Eigenschaften
Die allgemeine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion lautet:
$f(x) = a^x$
Die Variable ($x$) steht im Exponenten. Die Basis (a) muss eine positive reelle Zahl sein ($a \in \mathbb{R}$, $a > 0$, $a \neq 1$). Wir unterscheiden zwei Arten von Exponentialfunktionen: Exponentialfunktionen deren Basis größer als $1$ ist und Exponentialfunktionen deren Basis zwischen $0$ und $1$ liegt.
1. Fall: $a > 1$
Die Basis der Exponentialfunktion ist größer als $1$. Dies bedeutet, dass der Graph der Exponentialfunktion steigend verläuft. Je größer $a$, desto steiler verläuft der Graph. Folgend ein paar Beispiele:
2. Fall: $0 < a < 1$
Die Basis der Exponentialfunktion ist größer als $0$ und kleiner als $1$. Dies bedeutet, dass der Graph der Exponentialfunktion fallend verläuft. Je kleiner $a$, desto steiler verläuft der Graph. Folgend ein paar Beispiele:
Wenn wir uns die Graphen der Exponentialfunktionen
$f(x) = 3^x$ und $g(x) = (\frac{1}{3})^x$
sowie
$h(x) = (\frac{7}{4})^x$ und $i(x) = (\frac{4}{7})^x$
einmal im Vergleich angucken, stellen wir fest, dass die Graphen jeweils durch Spiegelung an der y-Achse aufeinander abgebildet werden. Das heißt, wenn wir den Kehrwert der Basis a bilden und als Basis einer zweiten Exponentialfunktion nehmen, bewirkt dies, dass wir den Graphen der Exponentialfunktion an der y-Achse spiegeln.
Methode
Methode
Der Kehrwert einer Zahl wird gebildet, indem wir Zähler und Nenner der Zahl vertauschen.
Ein paar Beispiele:
$\frac{2}{5} ~~ \rightarrow ~~$ Kehrwert: $\frac{5}{2}$
$\frac{1}{3} ~~ \rightarrow ~~$ Kehrwert: $\frac{3}{1} = 3$
$4 (=\frac{4}{1}) ~~ \rightarrow ~~$ Kehrwert: $\frac{1}{4}$
Merke
Merke
Für alle Exponentialfunktionen der Form $f(x) = a^x$ gilt:
Die x-Achse ist Asymptote für den Graphen.
Der Graph der Funktion zeigt kein Symmetrieverhalten.
Die Funktion hat keine Nullstellen.
Der Funktionsgraph geht durch den Punkt $P(0\mid1)$.
Der Funktionsgraph verläuft steigend bei $a > 1$ und fallend bei $0 < a < 1$.
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Streckung parallel zur y-Achse und Spiegelung an der x-Achse
Die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion kann durch einen Streckfaktor b erweitert werden. Die Funktionsgleichung wird dann folgend geschrieben:
$f(x) = b \cdot a^x$
Der Streckfaktor b bewirkt, dass der Graph von a x parallel zur y-Achse gestreckt wird. Der Funktionswert wird hierbei mit dem Streckfaktor $b$ multipliziert. Wenn der Streckfaktor b negativ ist, bewirkt dies, dass der Graph von a x außerdem an der x-Achse gespiegelt wird.
Wir nehmen als Beispiel die Funktion $\textcolor{blue}{f(x) = 2^x}$.
Zunächst strecken wir diese parallel zur y-Achse mit dem Streckfaktor $\textcolor{red}{b = 3}$. Es entsteht die Funktion $\textcolor{red}{g(x) = 3 \cdot 2^x}$. Der Funktionsgraph schneidet die y-Achse bei $P(0 \mid 3)$ und verläuft insgesamt etwas $\textcolor{red}{steiler}$ als der Graph der Funktion $f(x)$.
Wir können die Funktion jedoch auch mit einem Streckfaktor, der zwischen $0$ und $1$ liegt, strecken. Wenn wir die Funktion mit dem Streckfaktor $\textcolor{green}{b = 0,5}$ strecken, entsteht die Funktion $\textcolor{green}{i(x) = 0,5 \cdot 2^x}$. Der Graph schneidet die y-Achse bei $P(0 \mid 0,5)$ und verläuft insgesamt etwas $\textcolor{green}{flacher}$ als der Graph der Funktion $f(x)$.
Wenn wir die Funktion mit einem negativen Streckfaktor strecken, wird der Graph zusätzlich zur Streckung an der x-Achse gespiegelt (siehe Graphik).
Verschiebung entlang der x-Achse
Der Graph einer Exponentialfunktion kann entlang der x-Achse verschoben werden. Die Verschiebungskonstante c bewirkt eine Verschiebung des Graphen um $c$ Einheiten parallel zur x-Achse. Wenn $c$ positiv ist, ist der Graph nach links verschoben und wenn $c$ negativ ist, ist der Graph nach rechts verschoben. Die Funktionsgleichung wird dann folgend geschrieben:
$f(x)=a^{x+c}$
Hier ein paar Beispiele:
$\textcolor{blue}{f(x)=2^x}$
$\textcolor{limegreen}{g(x)=2^{x+3}}$
$\textcolor{orange}{h(x)=2^{x-4}}$
Verschiebung entlang der y-Achse
Der Graph einer Exponentialfunktion kann entlang der y-Achse verschoben werden. Die Verschiebungskonstante ($d$) bewirkt eine Verschiebung des Graphen um $d$ Einheiten parallel zur y-Achse. Wenn $d$ positiv ist, ist der Graph nach oben verschoben und wenn $d$ negativ ist, ist der Graph nach unten verschoben. Die Funktionsgleichung wird dann wie folgt geschrieben:
$f(x) = a^x + d$
Hier ein paar Beispiele:
$\textcolor{blue}{f(x)=2^x}$
$\textcolor{green}{g(x)=2^x + 4}$
$\textcolor{orange}{h(x)=2^x - 3}$
Zusatz: Kombinationen
Die oben beschriebenen Streckungen und Verschiebungen können natürlich auch kombiniert werden.
Hierzu abschließend noch drei Beispiele:
$\textcolor{blue}{f(x)=2^x}$
$\textcolor{green}{g(x)=3 \cdot 2^x - 2}$
$\textcolor{orange}{h(x)=2^{x-2} + 3}$
$\textcolor{magenta}{i(x)=-2^x + 1}$
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Entscheide, wie der Graph der Funktion $f(x)=2^x$ verschoben wurde, um zum Graphen der Funktion $c(x)=2^{x+1}-4$ zu werden.
Kreuze die richtigen Eigenschaften der folgenden Funktion an: $h(x)= 6^x$
Kreuze die richtigen Eigenschaften der folgenden Funktion an: $g(x)=0,4^x$
Entscheide, wie der Graph der Funktion $f(x)=4^x$ verändert wurde, um zum Graphen der Funktion $g(x)=-4^x+5$ zu werden.
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