Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Quadratische Funktionen können in verschiedenen Formen angegeben werden, unter anderem in der allgemeinen Form und in der Scheitelpunktform. Der Vorteil bei der Scheitelpunktform besteht darin, dass der Scheitelpunkt direkt aus der Form abgelesen werden kann. Wir können die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umformen und umgekehrt.
Definition der Scheitelpunktform
Eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform sieht allgemein so aus:
Merke
Für beliebige reelle Zahlen $a$, $d$ und $e$ mit $a$ ungleich Null gilt:
$f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Streckfaktor: $\textcolor{red}a$
Scheitelpunkt: S $(\textcolor{blue}d|\textcolor{green}e)$
Du kannst aus der Form direkt den Scheitelpunkt ablesen. Das $a$ steht für den Streckfaktor.
Gut zu wissen
Hinweis
In euren Mathematikbüchern wird die Scheitelpunktform manchmal auch Scheitelform genannt. Die beiden Wörter bedeuten das Gleiche. Lass dich davon also nicht irritieren.
Umformung von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form
Du kannst die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umformen. Dies kannst du z. B. machen, wenn du den y-Achsenabschnitt herausfinden willst, aber die Scheitelpunktform gegeben hast.
$ f(x)=a⋅(x−d)^2+e \rightarrow f(x)=a⋅x^2+b⋅x+c$
Hier ist eine Anleitung, wie du vorgehen kannst:
Methode
1) Binomische Formel anwenden
Zunächst muss die quadrierte Klammer aufgelöst werden. Um diese Klammer aufzulösen, musst du die 1. oder 2. Binomische Formel anwenden. (Hier verwendest du die 2. Binomische Formel, da in der Klammer ein Minus steht.)
$ f(x)=a⋅(x−d)^2+e$
$ f(x)=a⋅(x^2-2⋅x⋅d+d^2)+e$
2) Die Klammer auflösen
Dies machen wir, indem wir den Faktor $a$, der vor der Klammer steht, mit allen Werten in der Klammer multiplizieren.
$ f(x)=a⋅(x^2-2⋅x⋅d+d^2)+e$
$ f(x)=a⋅x^2-a·2⋅x⋅d+a·d^2+e$
3) Die letzten Werte addieren
Um den y-Achsenabschnitt herauszufinden, müssen die beiden letzten Werte nun noch addiert werden.
$ f(x)=a⋅x^2-a·2⋅x⋅d+a·d^2+e$
$ f(x)=a⋅x^2-a·2⋅x⋅d+(a·d^2+e)$
Hier sind noch einmal die 3 Binomischen Formeln auf einen Blick zusammengefasst:
Gut zu wissen
Hinweis
Für beliebige reelle Zahlen $a$, $b$ und $c$ gilt:
1. Binomische Formel
$(a\textcolor{red}+b)^2 = a^2 \textcolor{red}+ 2·a·b + b^2$
2. Binomische Formel
$(a\textcolor{magenta}-b)^2 = a^2 \textcolor{magenta}- 2·a·b + b^2$
3. Binomische Formel
$(a+b)·(a-b) = a^2 - b^2$
Für die Umformungen sind nur die 1. und 2. Formel wichtig.
Beispiel: Umformung von der Scheitelpunktform in die allgemeine Form
Beispiel
1) Binomische Formel anwenden
$ f(x)=5⋅(x−2)^2+1$
$ f(x)=5⋅(x^2-2⋅x⋅2+2^2)+1$
$ f(x)=5⋅(x^2-4⋅x+4)+1$
2) Die Klammer auflösen
$ f(x)=5⋅(x^2-4⋅x+4)+1$
$ f(x)=5⋅x^2-5·4⋅x⋅+5·4+1$
3) Die letzten Werte addieren
$ f(x)=5⋅x^2-5·4⋅x⋅+(5·4+1)$
$ f(x)=5⋅x^2-20⋅x+(20+1)$
$ f(x)=5⋅x^2-20⋅x+21$
Nun haben wir die Scheitelpunktform in die allgemeine Form überführt. Dies ist etwas leichter als umgekehrt.
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Umformung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform
Du kannst auch die allgemeine Form in die Scheitelpunktform überführen. Dies kannst du z. B. machen, wenn du den Scheitelpunkt herausfinden willst, aber die allgemeine Form gegeben hast.
$f(x) = {a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c \rightarrow f(x) = a\cdot(x−d)^2+e$
Hier ist eine Anleitung, wie du vorgehen kannst:
Methode
1) $x^2$ und $x$ zusammen einklammern
Die beiden Terme mit einem $x$, also ${a} \cdot {x^2}$ und ${b} \cdot{x}$, müssen zusammen in eine Klammer. Dann wird der Wert vor dem $x^2$, also $a$, ausgeklammert.
$f(x) = {a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x} +c$ $f(x) = ({a} \cdot {x^2} + {b} \cdot {x}) +c$
$f(x) = {a} \cdot ({x^2} + \frac{b}{a} \cdot {x}) +c$
2) Quadratische Ergänzung
Der Faktor vor dem $x$ , also $\frac{b}{a}$, wird durch 2 geteilt und dann quadriert. Dieser Wert wird nun einmal dazu addiert und dann wieder abgezogen. An der Formel ändert sich somit nichts.
$f(x) = {a} \cdot ({x^2} + \frac{b}{a} \cdot {x} + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) +c$
3) Negativen Wert mit dem letzten Wert verrechnen
Nun wird $a$ mit dem negativen Wert $(- (\frac{b}{2a})^2)$ multipliziert; dieser Ausdruck steht somit nicht mehr in der Klammer. Danach wird ${a} \cdot(- (\frac{b}{2a})^2)$ mit dem Wert, der nicht in der Klammer steht, $c$, verrechnet.
$f(x) = {a} \cdot ({x^2} + \frac{b}{a} \cdot {x} + (\frac{b}{2a})^2) +c - a\cdot (\frac{b}{2a})^2$
4) Binomische Formel "zurückrechnen"
Nun musst du den Term, der in der Klammer steht, zurückrechnen, d. h. die passende binomische Formel finden. Dies ist ganz einfach. Wir teilen den Wert vor dem $x$ durch 2 $\rightarrow \frac{b}{2a}$ und nehmen ihn mit dem $x$ zusammen hoch 2.
$f(x) = {a} \cdot (x + (\frac{b}{2a}))^2 + c - a\cdot (\frac{b}{2a})^2$
Dies alles machst du, damit du die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen kannst. $S(-\frac{b}{2a} \mid c-a(\frac{b}{2a})^2)$ beziehungsweise $S(\frac{b}{2a} \mid \frac{4ac-b^2}{4a})$.
Denn, wie du schon weißt, sieht die Scheitelpunktform so aus: $f(x) = a\cdot(x−d)^2+e$
Beispiel: Umformung von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform
Die Funktion $f(x) = {5} \cdot {x^2} + {15} \cdot {x} +2$ ist gegeben und soll in die Scheitelpunktform umgeformt werden. Versuche die Funktion selbstständig umzuformen und lese dann den Scheitelpunkt ab.
Vertiefung
Lösungsweg
Hier klicken zum Ausklappen1) $x^2$ und $x$ zusammen einklammern
$f(x) = {5} \cdot {x^2} + {15} \cdot {x} +2$ $f(x) = ({5} \cdot {x^2} + {15} \cdot {x}) +2$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x}) +2$
2) Quadratische Ergänzung
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x}) +2$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + \textcolor{red}3} \cdot {x} + (\frac{\textcolor{red}3}{2})^2 - (\frac{\textcolor{red}3}{2})^2) +2$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25 - 2,25) +2$
3) Negativen Wert mit dem letzten Wert verrechnen
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25 - 2,25) +2$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25) + 2 - 5\cdot2,25$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25) + 2 - 11,25$
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25) - 9,25$
4) Binomische Formel "zurückrechnen"
$f(x) = {5} \cdot ({x^2 + 3} \cdot {x} + 2,25) - 9,25$
$f(x) = {5} \cdot (x+ 1,5)^2 -9,25$
Somit lautet unsere Scheitelpunktform: $f(x) = {5} \cdot (x+ 1,5)^2 -9,25$.
Den Scheitelpunkt können wir nun ablesen.
$f(x) = \textcolor{red}a\cdot(x−\textcolor{blue}d)^2+\textcolor{green}e$
Scheitelpunkt: $S(\textcolor{blue}d/\textcolor{green}e)$
$f(x) = \textcolor{red}5\cdot(x−(\textcolor{blue}{-1,5})^2+\textcolor{green}{-9,25}$
$S(\textcolor{blue}{-1,5}/\textcolor{green}{-9,25})$
Dies sieht anfangs sehr kompliziert aus. Aber es sind eigentlich nur 4 Schritte, die du machen musst. Wenn du das ein paar Mal gemacht hast, wird es dir leichter fallen. Schaue dir dafür die Übungsaufgaben an. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)
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