Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Funktionen Potenzfunktionen Potenzfunktionen - Eigenschaften in der Übersicht

Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht

Ihr nehmt gerade in Mathe Potenzfunktionen durch? Du willst nochmal in Ruhe alles zu diesem Thema lernen und vor allem alles verstehen? In diesem Lerntext erklären wir dir die Eigenschaften der jeweiligen Potenzfunktionen. Wir zeigen dir außerdem zu den vier Arten von Potenzfunktionen die Graphen, damit du weißt, wie sie überhaupt aussehen.

Im Folgenden findest du eine Übersicht zu den Eigenschaften von Potenzfunktionen.

Potenzfunktion - Definition

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Potenzfunktionen werden laut Definition Funktionen genannt, die mindestens eine unbekannte Zahl $x$ mit einem Exponenten $n \neq 0$ haben.

Die Schreibweise ist: $f(x) = x^{n}$

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Wie du Potenzfunktionen zeichnest, kannst du im Lerntext Potenzfunktionen zeichnen nachlesen und lernen. Außerdem kannst du mehr über Potenzfunktionen mit natürlichen, negativen und rationalen Exponenten in unseren Lerntexten Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten, Potenzfunktionen mit negativem Exponenten und Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten lernen.

Wir unterscheiden vier Arten von Potenzfunktionen:

1. Fall: gerader, positiver Exponent

Der Exponent der Funktion ist gerade und positiv. Der Graph einer solchen Funktion liegt oberhalb der x-Achse, also nur im ersten und zweiten Quadranten des Koordinatensystems. Die einzige Nullstelle der Funktion ist der Ursprung. Der Graph der Funktion geht außerdem immer durch die Punkte P1(-1|1) und P2(1|1).

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Potenzfunktionen mit einem positiven geraden Exponenten

Die Funktionen gehen immer durch die Punkte P1(-1|1), N(0|0) und P2(1|1).

Die einzige Nullstelle ist der Ursprung, N(0/0).

Die Definitionsmenge dieser Potenzfunktionen sind alle reellen Zahlen, also D = .

Der Wertebereich ist  W = + [0; +∞].

Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für die Grenzwerte gilt:

$x\rightarrow-∞ = ∞$   und   $x\rightarrow +∞= ∞$

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Potenzfunktionen: Exponent gerade und positiv

2. Fall: ungerader, positiver Exponent

Der Exponent der Funktion ist ungerade und positiv. Die Funktion verläuft, wie im Bild zu sehen, aus dem Negativen, über den Ursprung, ins Positive. Der Punkt N(0|0) ist die einzige Nullstelle und zugleich Sattelpunkt der Funktion. (Sonderfall: f(x)=x  Hier ist der Ursprung kein Sattelpunkt.) Alle Funktionen gehen durch die folgenden drei Punkte: P1(-1|-1), N(0|0) und P2(1|1)

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Potenzfunktionen mit einem positiven ungeraden Exponenten

Die Funktionen gehen alle durch die Punkte: P1(-1|-1), N(0|0) und P2(1|1)

Die einzige Nullstelle ist der Ursprung, N(0/0).

Die Definitionsmenge und der Wertebereich sind die Menge der reellen Zahlen, also D = und W = .

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Grenzwerte gilt:

$x\rightarrow-∞ = -∞$   und   $x\rightarrow +∞= ∞$

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Potenzfunktionen: Exponent ungerade und positiv

3. Fall: gerader, negativer Exponent

Beim dritten Fall handelt es sich um Funktionen mit einem negativen geraden Exponenten. Der Funktionsgraph liegt auch hier nur im positiven Bereich, also oberhalb der x-Achse. Der Graph schmiegt sich an beide Koordinatenachsen an, das heißt, die Koordinatenachsen sind hier Asymptoten.

Gut zu wissen

Hinweis

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Asymptoten sind Geraden, an die sich der Funktionsgraph annähert, ohne diese je zu berühren. Bei der Funktion $f(x) = x^{-2}$ sind beide Koordinatenachsen Asymptoten (siehe Bild).

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Potenzfunktionen mit einem negativen geraden Exponenten

Es gibt keine Nullstelle.

Die Funktionen gehen durch die Punkte P1(-1|1) und P2(1|1).

Die Definitionsmenge ist D = \{0}.

Der Wertebereich ist W = +.

Die Funktionen sind alle achsensymmetrisch zur y-Achse.

Für die Grenzwerte gilt:

$x\rightarrow-∞ = 0$   und   $x\rightarrow +∞= 0$

Ferner gilt:

$x\rightarrow0^- = ∞$   und   $x\rightarrow 0^+= ∞$

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Potenzfunktionen gerade und negativ

4.Fall: ungerader, negativer Exponent

Der letzte Fall behandelt Funktionen, die einen ungeraden negativen Exponenten besitzen. Solche Funktionen sind ebenfalls, wie Funktionen mit ungeradem positivem Exponenten, punktsymmetrisch zum Ursprung. 

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Potenzfunktionen mit einem negativen ungeraden Exponenten

Die Funktionen gehen durch die Punkte P1(-1|-1) und P2(1|1).

Es gibt keine Nullstelle.

Die Definitionsmenge und der Wertebereich sind D = W = \{0}.

Die Funktionen sind punktsymmetrisch zum Ursprung.

Für die Grenzwerte gilt:

$x\rightarrow-∞ = 0$   und   $x\rightarrow +∞= 0$    (Die y-Achse ist also Asymptote.)

Ferner gilt:

$x\rightarrow0^- = - ∞$   und   $x\rightarrow 0^+= ∞$

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Potenzfunktionen ungerade und negativ

 

Potenzfunktionen - Sonderfall

Ein Sonderfall bei den Potenzfunktionen ist die Funktion, deren Exponent 0 ist, $f(x) = x^0$. Der Graph dieser Funktion ist eine Parallele zur y-Achse, die durch den Punkt P(0|1) verläuft.

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Sonderfall: Potenzfunktionen mit dem Exponenten Null

Nun hast du eine detaillierte Übersicht über die unterschiedlichen Potenzfunktionen in Mathe. Ob du alles verstanden hast, kannst du anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

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