Quadratische Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform
Quadratische Funktionen können in verschiedenen Formen angegeben werden, zum Beispiel als Normalform und als Scheitelpunktform einer Parabel. Der Vorteil bei der Normalform ist, dass du den y-Achsenabschnitt direkt ablesen kannst. Der Vorteil bei der Scheitelpunktform ist, dass du den Scheitelpunkt direkt ablesen kannst. Wir können sowohl die Scheitelpunktform in die Normalform umformen als auch die Normalform in die Scheitelpunktform.
Definition der Normalform
Die Normalform wird so angegeben:
Merke
$f(x) = {x^2} + {p} \cdot {q} +c$
Es gibt neben der Normalform in Mathe auch die sogenannte Allgemeine Form. Diese hat vor dem ${x^2}$ einen (von Null verschiedenen) Koeffizienten, in der Regel ungleich 1. Diese Form wird daher wie folgt angegeben:
$f(x) = {a} \cdot {x^2} + {p} \cdot {x} +q$
$a$, $p$, $q$ $\in \mathbb{R}$, $a \neq 0$
Du kannst sowohl aus der Normalform als auch aus der Allgemeinen Form direkt den y-Achsenabschnitt ablesen. Dieser entspricht dem Wert, bei dem kein $x$ dabeisteht, hier also $q$. Diese Zahl $q$ steht meist am Ende der Funktion.
Umformung von der Normalform in die Scheitelpunktform
Du hast die Möglichkeit, die Normalform in die Scheitelpunktform umzuformen. Dies kannst du zum Beispiel machen, wenn du den Scheitelpunkt herausfinden willst, aber die Normalform gegeben ist.
$f(x) = {x^2} + {p} \cdot {x} +q \rightarrow f(x) = (x−d)^2+e$
Hier ist eine Anleitung, wie du vorgehen kannst:
Methode
Vorgehensweise
1) Bei der Normalform beginnst du mit der Quadratischen Ergänzung:
Die Zahl, die vor dem $x$ steht, hier also $b$, wird durch 2 geteilt und das Ergebnis dann quadriert. Dieser Wert wird nun einmal dazu addiert und dann wieder abgezogen; so verändern wir, mathematisch betrachtet, nichts.
$f(x) = {x^2} + p \cdot {x} \textcolor{orange}{+( p:2)^2 - (p:2)^2} +q$
2) Negativen Wert mit dem letzten Wert verrechnen:
Der negative Wert wird nun mit dem letzten Wert, $q$, verrechnet, also zusammengefasst.
$f(x) = \textcolor{green}{{x^2} + p \cdot {x} +( p:2)^2}\textcolor{blue}{- (p:2)^2 +q}$
3) Binomische Formel anwenden:
Der lange Term am Anfang (in grün) kann nun mithilfe der 1. Binomischen Formel vereinfacht werden. Wir erhalten:
$f(x) = \textcolor{green}{(x + (p:2))^2} \textcolor{blue}{+ q - (p:2)^2}$
Dies alles machst du, damit du am Ende die Scheitelpunktform erhältst und den Scheitelpunkt ablesen kannst. Die Scheitelpunktform sieht so aus: $f(x) = (x−d)^2+e$
Hier sind noch einmal die drei Binomischen Formeln auf einen Blick zusammengefasst.
Gut zu wissen
Hinweis
Für beliebige positive reelle Zahlen $a$ und $b$ gilt:
1. Binomische Formel:$(a\textcolor{red}+b)^2 = a^2 \textcolor{red}+ 2·a·b + b^2$2. Binomische Formel:
$(a\textcolor{magenta}-b)^2 = a^2 \textcolor{magenta}- 2·a·b + b^2$
3. Binomische Formel:
$(a+b)·(a-b) = a^2 - b^2$
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Beispiel mit Lösung - Normalform in Scheitelpunktform umformen
Beispiel
Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung $f(x) = {x^2} + {4} \cdot {x} -2$. Die Gleichung soll in die Scheitelpunktform umgeformt werden. Versuche erst selbst, die Funktion in die Scheitelpunktform umzuformen!
Lösungsweg
1) Quadratische Ergänzung:
$f(x) = {x^2 + 4} \cdot {x} -2$
$f(x) = {x^2 + \textcolor{red}4} \cdot {x} + (\frac{\textcolor{red}4}{2})^2 - (\frac{\textcolor{red}4}{2})^2 -2$
$f(x) = {x^2 + 4} \cdot {x} + 4 - 4 -2$
2) Negativen Wert mit dem letzten Wert verrechnen:
$f(x) = {x^2 + 4} \cdot {x} + 4 - 4 -2$
$f(x) = ({x^2 + 4} \cdot {x} + 4) -6$
3) Binomische Formel anwenden:
$f(x) = ({x^2 + 4} \cdot {x} + 4) -6$
$f(x) = (x+ 2)^2 -6$
Somit lautet die Scheitelpunktform: $f(x) = (x+ 2)^2 -6$ und der Scheitelpunkt: $S(-2/-6)$
Diese Umformung wirkt anfangs meist recht kompliziert. Es sind aber eigentlich nur drei Schritte, die du dir merken musst. Nachdem du ein paar Aufgaben gerechnet hast, wird es dir leichter fallen. Übung macht den Meister/die Meisterin!
Umformung von der Scheitelpunktform in die Normalform
Du kannst die Scheitelpunktform in die Normalform umformen, zum Beispiel, um den y-Achsenabschnitt herauszufinden.
$ f(x)=(x−d)^2+e \rightarrow f(x)=x^2+{b}\cdot {x}+c$
Hier ist eine Anleitung, wie du vorgehen kannst:
Methode
1) Binomische Formel anwenden:
Zunächst musst du die Binomische Formel anwenden. Wenn in der Klammer ein Plus steht, musst du die 1. Binomische Formel anwenden und wenn in der Klammer ein Minus steht, so wie hier, musst du die 2. Binomische Formel anwenden.
$ f(x)=(x−d)^2+e$
$ f(x)=(x^2-2⋅x⋅d+d^2)+e$
2) Die letzten Werte zusammenrechnen:
Um den y-Achsenabschnitt herauszufinden, müssen die zwei letzten Werte, also die Zahlen ohne $x$, addiert werden.
$ f(x)=x^2-2⋅x⋅d+d^2+e$
$ f(x)=x^2-2⋅x⋅d+(d^2+e)$
Der y-Achsenabschnitt ist dann die Summe aus $d^2$ und $e$.
Jetzt haben wir unsere Scheitelpunktform in die Normalform gebracht. Wie du sicher schon gemerkt hast, ist das etwas einfacher als andersherum.
Im Video haben wir dir ja schon gezeigt, dass es neben der Normalform auch die Allgemeine Form gibt. Im Folgenden wollen wir dir ein Rechenbeispiel zeigen, wie du mit der Allgemeinen Form rechnen kannst.
Beispiel mit Lösung - Scheitelpunktform in Allgemeine Form umformen
$ f(x)=3⋅(x−5)^2+4$
Versuche, diese Scheitelpunktform in die Allgemeine Form umzuformen.
Vertiefung
Lösungsweg
1) Binomische Formel anwenden:
$ f(x)=3⋅(x−5)^2+4$
$ f(x)=3⋅(x^2-2⋅x⋅5+5^2)+4$
$ f(x)=3⋅(x^2-10⋅x+25)+4$
2) Die Klammer auflösen:
$ f(x)=3⋅(x^2-10⋅x+25)+4$
$ f(x)=3⋅x^2-3·10⋅x⋅+3·25+4$
3) Die letzten Werte zusammenrechnen:
$ f(x)=3⋅x^2-3·10⋅x⋅+(3·25+4)$
$ f(x)=3⋅x^2-30⋅x+(75+4)$
$ f(x)=3⋅x^2-30⋅x+79$
Jetzt hast du die Vorgehensweise, wie du Funktionen umwandelst, kennengelernt und kannst diese in unseren Übungen noch einmal anwenden. Wir wünschen dir viel Spaß und Erfolg dabei!
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