Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
In diesem Text schauen wir uns zwei Beispiele und eine Anwendungsaufgabe zum Thema Ableitungen an.
Wie wir wissen, ist die erste Ableitung geometrisch der Anstieg einer Funktion. Wir berechnen also den Anstieg der Funktion an einer Stelle $x$, indem wir $x$ in deren erste Ableitung einsetzen.
Um Funktionen ableiten zu können, solltest du alle Ableitungsregeln auswendig können. Im Folgenden erhältst du eine kurze Übersicht zu den verschiedenen Ableitungsregeln. Wenn du mehr über die Ableitungsregeln erfahren möchtest, kannst du dir die Ableitungsregeln auch nochmal anschauen.
| Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
| Potenzregel | $f(x) = x^n$ | $\large{f'(x) = n\cdot x^{n-1}}$ |
| Faktorregel | $f(x)= k \cdot g(x)$ | $ f'(x)= k \cdot g'(x)$ |
| Summenregel | $f(x)=g(x)+k(x)$ | $f'(x)= g'(x)+k'(x)$ |
| Produktregel | $f(x) = h(x) \cdot g(x)$ | $f'(x) = h'(x) \cdot g(x) + h(x) \cdot g'(x)$ |
| Kettenregel | $f(x)= u(b(x))$ | $f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$ |
| Quotientenregel | $f(x)= \frac{u(x)}{v(x)} $ | $ f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$ |
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1. Beispiel: $\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{3x+1}}$
Beispiel
Die Funktion $\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{(3x+1)}}$ ist gegeben und soll abgeleitet werden.
Es fällt sofort auf, dass wir die Quotientenregel anwenden müssen. Deshalb identifizieren wir zunächst die einzelnen Teilfunktionen und leiten diese dann einzeln ab:
$u(x) =3x^2 \cdot (2x+5)~~~~~~v(x) = (3x+1)$
$u(x) =3x^2 \cdot (2x+5) $
$\rightarrow$ Hier muss die Produktregel angewendet werden:
$u'(x) = 6x \cdot (2x+5) + 3x^2 \cdot 2 = 12 x^2 +30 x+6x^2 = 18x^2 +30 x$
$v(x) = (3x+1)$
$v'(x) = 3 $
$(v(x)) ^2= (3x+1)^2$
Nun setzten wir dies in die Formel der Quotientenregel ein:
$f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$
$\large{f'(x)= \frac{ ((18x^2+30x) \cdot (3x+1)) - ((3x^2 \cdot (2x+5)) \cdot 3)}{(3x+1)^2}}$
Der Term sollte noch vereinfacht werden:
$\large{f'(x)=\frac{(54x^3+108x^2+30x)-(18x^3+45x^2)}{(3x+1)^2} = \frac{36x^3+63x^2+30x}{(3x+1)^2}}$
Also:
$\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{3x+1}}$
$f'(x)= \frac{36x^3+63x^2+30x}{(3x+1)^2}$
Wir hätten das Beispiel am Anfang vereinfachen können, indem wir zunächst die Klammer im Zähler ausmultiplizieren.
$\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{(3x+1)}}= \frac{6x^3+15x^2}{3x+1}$
Dies hat den Vorteil, dass wir die Produktregel nicht beachten müssen.
Generell solltest du immer darauf achten, die Funktion soweit wie möglich zu vereinfachen bevor du die Ableitung berechnest.
Dies wird an diesem Beispiel noch deutlicher:
$\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{3x^2}}= \frac{\cancel{3x^2} \cdot (2x+5)}{\cancel{3x^2}} =2x+5 $
$f'(x) = 2$
Wir können den Bruch mit $3x^2$ kürzen und das Ableiten wird ganz einfach, obwohl die Funktion auf den ersten Blick recht kompliziert aussieht.
Du musst beachten, dass die Zahl Null nciht für $x$ eingesetzt werden darf, da $2x + 5$ für den Bruchterm geschrieben werden soll, in den man Null nicht einsetzen darf. Durch Vereinfachen darf der Definitionsbereich nicht verändert werden.
2. Beispiel: Baumwachstum
Das Wachstum eines Baumes kann mit der Funktion $f(x)= -0,005x^3+0,25x^2+0,5x$ beschrieben werden. Dabei entspricht $x$ der Zeit in Tagen und der dazugehörige Funktionswert $f(x)$ gibt die Höhe des Baumes in $mm$ an.
Frage:
Wie schnell wächst der Baum am ersten Tag und wie schnell am zehnten Tag?
Antwort:
Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der Steigung. Diese kann mit der ersten Ableitung bestimmt werden. Berechnen wir daher zuerst die Ableitung:
$f(x)= -0,005x^3+0,25x^2+0,5x$
$f'(x)= -0,015x^2+0,5x+0,5$
Diese Funktion beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit, also in Millimeter pro Tag $\frac{mm}{Tag}$. Setzten wir für den ersten Tag $x=1$ und für den zehnten Tag $x=10$ ein:
$f'(1) = -0,015\cdot 1^2+0,5\cdot 1+0,5$
$= -0,015 + 0,5 + 0,5 = 0,985$
Am ersten Tag hat der Baum eine Wachstumsgeschwindigkeit von $0,985\frac{mm}{Tag}$.
$f'(10)= -0,015\cdot 100+0.5\cdot 10+0,5$
$= -1,5+5 +0,5= 4$
Am zehnten Tag wächst der Baum viel schneller. Er hat eine Wachstumsgeschwindigkeit von $4\frac{mm}{Tag}$.
3. Beispiel: $f_a(x) = a\cdot x^3+3a$
Versuche zunächst selbst, die Funktion abzuleiten und vergleiche dann dein Ergebnis mit den Lösungen:
Vertiefung
Lösung
$f(x) = a\cdot x^3+3a$
$f'(x) = 3 a\cdot x^2$
Die Funktion hat die Variable $x$. Der Buchstabe $a$ wird wie eine Zahl behandelt! Daher fällt $+3a$ auch weg.
Es handelt sich hierbei um eine Schar von Funktionen, da $f_a$ für jede reelle Zahl $a$ eine Funktion ist.
Für $a = 2$ gilt zum Beispiel: $f_2(x) = 2 \cdot x^3 + 3 \cdot 2 = 2x^3 + 6$
Nun hast du ein paar Beispiele zu den Ableitungsregeln kennengelernt. Überprüfe mit den Übungsaufgaben dein Wissen! Viel Erfolg dabei!
Video: Fabian Serwitzki
Text: Chantal Rölle
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Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger
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