Suche
Kontakt

Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
Mathematik > Funktionen

Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
x Der Link wurde in die Zwischenablage kopiert
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Text schauen wir uns zwei Beispiele und eine Anwendungsaufgabe zum Thema Ableitungen an. 

Wie wir wissen, ist die erste Ableitung geometrisch der Anstieg einer Funktion. Wir berechnen also den Anstieg der Funktion an einer Stelle $x$, indem wir $x$ in deren erste Ableitung einsetzen.

Um Funktionen ableiten zu können, solltest du alle Ableitungsregeln auswendig können. Im Folgenden erhältst du eine kurze Übersicht zu den verschiedenen Ableitungsregeln. Wenn du mehr über die Ableitungsregeln erfahren möchtest, kannst du dir die Ableitungsregeln auch nochmal anschauen.

AbleitungsregelFunktionAbleitung
Potenzregel$f(x) = x^n$$\large{f'(x) = n\cdot x^{n-1}}$
Faktorregel$f(x)= k \cdot g(x)$ $ f'(x)= k \cdot g'(x)$
Summenregel $f(x)=g(x)+k(x)$$f'(x)= g'(x)+k'(x)$
Produktregel$f(x) = h(x) \cdot g(x)$$f'(x) = h'(x) \cdot g(x) + h(x) \cdot g'(x)$
Kettenregel$f(x)= u(b(x))$$f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$
Quotientenregel$f(x)= \frac{u(x)}{v(x)} $$ f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$
Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen

1. Beispiel:  $\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{3x+1}}$

Beispiel

Die Funktion $\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{(3x+1)}}$ ist gegeben und soll abgeleitet werden.

Es fällt sofort auf, dass wir die Quotientenregel anwenden müssen. Deshalb identifizieren wir zunächst die einzelnen Teilfunktionen und leiten diese dann einzeln ab:

$u(x) =3x^2 \cdot (2x+5)~~~~~~v(x) = (3x+1)$

$u(x) =3x^2 \cdot (2x+5) $

$\rightarrow$  Hier muss die Produktregel angewendet werden:

$u'(x) = 6x \cdot (2x+5) + 3x^2 \cdot 2  = 12 x^2 +30 x+6x^2 = 18x^2 +30 x$

$v(x) = (3x+1)$

$v'(x) = 3 $

$(v(x)) ^2= (3x+1)^2$

Nun setzten wir dies in die Formel der Quotientenregel ein:

$f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

$\large{f'(x)= \frac{ ((18x^2+30x) \cdot (3x+1)) - ((3x^2 \cdot (2x+5)) \cdot 3)}{(3x+1)^2}}$

Der Term sollte noch vereinfacht werden:

$\large{f'(x)=\frac{(54x^3+108x^2+30x)-(18x^3+45x^2)}{(3x+1)^2} = \frac{36x^3+63x^2+30x}{(3x+1)^2}}$

Also:

$\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{3x+1}}$

$f'(x)= \frac{36x^3+63x^2+30x}{(3x+1)^2}$

Wir hätten das Beispiel am Anfang vereinfachen können, indem wir zunächst die Klammer im Zähler ausmultiplizieren.

$\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{(3x+1)}}=  \frac{6x^3+15x^2}{3x+1}$

Dies hat den Vorteil, dass wir die Produktregel nicht beachten müssen.

Generell solltest du immer darauf achten, die Funktion soweit wie möglich zu vereinfachen bevor du die Ableitung berechnest.

Dies wird an diesem Beispiel noch deutlicher:

$\large{f(x) = \frac{3x^2 \cdot (2x+5)}{3x^2}}= \frac{\cancel{3x^2} \cdot (2x+5)}{\cancel{3x^2}} =2x+5 $

$f'(x) = 2$ 

Wir können den Bruch mit $3x^2$ kürzen und das Ableiten wird ganz einfach, obwohl die Funktion auf den ersten Blick recht kompliziert aussieht.

Du musst beachten, dass die Zahl Null nciht für $x$ eingesetzt werden darf, da $2x + 5$ für den Bruchterm geschrieben werden soll, in den man Null nicht einsetzen darf. Durch Vereinfachen darf der Definitionsbereich nicht verändert werden.

2. Beispiel: Baumwachstum

Das Wachstum eines Baumes kann mit der Funktion $f(x)= -0,005x^3+0,25x^2+0,5x$ beschrieben werden. Dabei entspricht $x$ der Zeit in Tagen und der dazugehörige Funktionswert $f(x)$ gibt die Höhe des Baumes in $mm$ an.

Frage:

Wie schnell wächst der Baum am ersten Tag und wie schnell am zehnten Tag?

Antwort:

Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der Steigung. Diese kann mit der ersten Ableitung bestimmt werden. Berechnen wir daher zuerst die Ableitung: 

$f(x)= -0,005x^3+0,25x^2+0,5x$

$f'(x)= -0,015x^2+0,5x+0,5$

Diese Funktion beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit, also in Millimeter pro Tag $\frac{mm}{Tag}$. Setzten wir für den ersten Tag $x=1$ und für den zehnten Tag $x=10$ ein:

$f'(1) = -0,015\cdot 1^2+0,5\cdot 1+0,5$

$= -0,015 + 0,5 + 0,5 = 0,985$

Am ersten Tag hat der Baum eine Wachstumsgeschwindigkeit von $0,985\frac{mm}{Tag}$.

$f'(10)= -0,015\cdot 100+0.5\cdot 10+0,5$

$= -1,5+5 +0,5= 4$

Am zehnten Tag wächst der Baum viel schneller. Er hat eine Wachstumsgeschwindigkeit von $4\frac{mm}{Tag}$.

3. Beispiel: $f_a(x) = a\cdot x^3+3a$

Versuche zunächst selbst, die Funktion abzuleiten und vergleiche dann dein Ergebnis mit den Lösungen:

Vertiefung

Hier klicken zum Ausklappen
Lösung

$f(x) = a\cdot x^3+3a$

$f'(x) = 3 a\cdot x^2$

Die Funktion hat die Variable $x$. Der Buchstabe $a$ wird wie eine Zahl behandelt! Daher fällt $+3a$ auch weg. 

Es handelt sich hierbei um eine Schar von Funktionen, da $f_a$ für jede reelle Zahl $a$ eine Funktion ist.
Für $a = 2$ gilt zum Beispiel: $f_2(x) = 2 \cdot x^3 + 3 \cdot 2 = 2x^3 + 6$

Nun hast du ein paar Beispiele zu den Ableitungsregeln kennengelernt. Überprüfe mit den Übungsaufgaben dein Wissen! Viel Erfolg dabei!

Video: Fabian Serwitzki

Text: Chantal Rölle

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)

Teste dein Wissen!
Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Bilde die Ableitung der folgenden Funktion:

$f(a) = ba x^2+5a^2$

Teste dein Wissen!

Berechne die erste Ableitung der Funktion:

$\large{f(x) = \frac{(3x+1)^5}{3x}}$

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Passen die Ableitungen zu den Funktionen? Kreuze die richtigen Paare an.

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Eine Funktion f(x) beschreibt den Weg, den ein Auto nach einer bestimmten Zeit (x) zurück gelegt hat.
Welche Bedeutung hat die erste Ableitung der Funktion?

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.

Du möchtest mehr Aufgaben?
Teste kostenlos unser Lernportal mit vielen Übungen & Lösungen.

Jetzt gratis anmelden & testen

Du brauchst mehr Hilfe?
Wir unterstützen Dich!

Online-Lernen

Wissen vertiefen?

Online-Lernportal

Wir unterstützen Dich mit:

  • Lernvideos
  • Über 250.000Übungsaufgaben - auch als PDF inkl. Lösungen
  • Hausaufgaben Live-Chat
Online-Nachhilfe

Online-Nachhilfe

Einzelnachhilfe

Du benötigst individuelle Hilfe?

Dann teste unsere Online-Einzelnachhilfe gerne in einer gratis Probestunde. Mehr Infos zur Online-Nachhilfe

Nachhilfe vor Ort

Nachhilfe vor Ort

Kleine Lerngruppen

Wenn Du gerne mit anderen vor Ort lernst, dann ist unsere Nachhilfe auch in Deiner Nähe.

Teste uns gerne in 2 gratis Probestunden.

Unsere Kunden über den Studienkreis
Feedback von Eltern & Schüler:innen

Bewertung bundesweit
28.01.2025 , von Siham K.
Sehr gut
15.01.2025 , von Simone K.
Wir sind sehr zufrieden mit dem Studienkreis!
14.01.2025 , von Madlen M.
Meine Tochter geht sehr gerne hin, kurzfristig konnten wir noch eine zweite Stunde/Fach dazubuchen. Es wird sehr auf die Größe der Gruppe geachtet und das es von der Klassenstufe zusammenpasst. So kann es bleiben.

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Mathematik > Funktionen

funktionsgleichung-bestimmen-1
Quadratische Funktionen bestimmen leicht gemacht
Normalparabel nach unten verschoben um 3
Wie verschiebt man eine Normalparabel?
quadratische-funktion-11
Quadratische Funktionen: Nullstellen berechnen Mitternachtsformel, abc-Formel
Br?cke
Quadratische Funktionen zeichnen
Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Bitte Beschreibung eingeben
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung lösen
Quadratischen Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform
p-q-formel-3
Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's!
textaufgabe-1
Quadratische Funktionen: Aufgaben mit Lösungen
gestreckte_und_gestauchte_funktion
Was ist eine quadratische Funktion?
vergleich
Streckung und Stauchung einer Normalparabel
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
Potenzfunktion $\large{x^{-4}}$
Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
Potenzfunktion x hoch 8/3
Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
funktion_x_hoch_2
Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt
Potenzfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren
Potenzfunktionen zeichnen
Wurzelfunktion f(x) = \sqrt x
Was ist eine Wurzelfunktion? - Erklärungen
Bitte Beschreibung eingeben
Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht
Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
Funktionen mit der Faktorregel ableiten
Funktionen mit der Potenzregel ableiten
Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden
Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben
ableitung
Ableitung: Bedeutung im Sachzusammenhang
Wie wende ich die Kettenregel an?
Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln
Funktionen mit der Quotientenregel ableiten
Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln
exponentialfunktion-2-hoch-x
Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben
Logarithmusfunktionen log, ln, lg
Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften
e-Funktion
Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt
funktion_linearer_wachstum
Lineares Wachstum und lineare Abnahme
funktion_bakterien
Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
koordinatensystem
Achsenschnittpunkte von Funktionen berechnen
Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt
Umkehrfunktion2
Wie bildet man eine Umkehrfunktion?
koordinatensystem
Was ist eine mathematische Funktion?
asymptote
Was sind senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten?
beispiel-lineare-funnktion
Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften
kurvendiskussion_beispiel
Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
monotomie
Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
tangente
Tangentengleichung bestimmen einfach erklärt
Die Kosinusfunktion
Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften
Kosinusfaktor mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Periode einer Sinuskurve
Sinusfunktion und ihre Eigenschaften
Sinusfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode

Noch Fragen?
Wir sind durchgehend für dich erreichbar

Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
7742