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Quadratische Funktionen zeichnen

Quadratische Funktionen begegnen dir öfter als du glaubst. Wir schauen uns hier zunächst einmal an, was eine quadratische Funktion ist, um sie dann zeichnen zu können. 

Was ist eine quadratische Funktion?

Die Gleichungen quadratischer Funktionen sind zum Beispiel $y = x^2$ oder $f(x) = -2x^2 + 8x +1$. Das sind ganzrationale Funktionen, in denen $x^2$ als höchste Potenz auftritt. Es gibt, abgesehen vom y-Wert des Scheitelpunkts, zu jedem y-Wert zwei x-Werte! Hat man z.B. den y-wert $4$ kann man diesem $x=2$ und $x=-2$ zuordnen.

Auch im Alltag begegnen dir quadratische Funktionen. Bei vielen Brücken ist eine Parabel zu sehen.

Brücke

Parabel ist eigentlich nur ein anderes Wort für die typische Form einer quadratischen Funktion, welche du noch näher kennenlernen wirst.

Die Änderung der Temperatur im Verlauf des Tages, erinnert an den Verlauf einer quadratischen Funktion. Wenn du die Abhängigkeit von Temperatur zur Zeit in ein Koordinatensystem einzeichnen würdest, würde die Funktion der Form einer Parabel ähneln. Am Anfang des Tages ist sie am niedrigsten, dann steigt sie bis zur Mittagszeit auf ihren Hochpunkt und sinkt danach wieder bis zur niedrigsten Temperatur.

Anlegen einer Wertetabelle

Erst einmal schauen wir uns den Graphen der Funktion $f(x) = x^2$ an. Dazu können wir eine Wertetabelle erstellen. Wir setzen für $x$ beliebige Werte ein und erhalten durch Ausrechnen den zugehörigen y-Wert.

x-Wertey-Werte
11
24
39
416

Punkte ins Koordinatensystem eintragen

Nun haben wir schon 8 Punkte, die wir in unser Koordinatensystem eintragen können. Für die negativen x-Werte, also $-1$, $-2$, $-3$ und $-4$, ergeben sich hier dieselben y-Werte wie für $1$, $2$, $3$ und $4$, denn $-1\cdot(-1) = 1$, $-2\cdot(-2) = 4$ und so weiter. Das ist in unserem Beispiel, nicht aber bei jeder quadratischen Funktion so.

Graph zeichnen

Versuche nun einmal den Graphen selber zu zeichnen, indem du die Punkte miteinander verbindest. Schaue dir dann die Abbildung an und vergleiche sie mit deiner Zeichnung.

Abbildung der Funktion

Dies ist der Graph der Funktion $f(x) = x^2$. Das ist die Normalparabel.
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Beispielaufgabe: Zeichnen einer quadratischen Funktion

Ein anderes Beispiel mit einer kleinen Veränderung ist die Funktion $g(x) = x^2+1$. Zuerst machen wir wieder unsere Wertetabelle.

x-Wertey-Werte
12
25
310
417

Aus der Tabelle können wir wieder Punkte entnehmen und die in unser Koordinatensystem einzeichnen. Und genau wie eben kann für den negativen x-Wert der gleiche Wert von y eingezeichnet werden. Daher ist es beim Einzeichnen hilfreich, zuerst den positiven und dann direkt den negativen Wert einzuzeichnen. Somit musst du nicht zweimal nach dem y-Wert suchen.

Zeichne nun die Funktion selber oder überlege was mit deiner Funktion $f(x) = x^2$ passiert.

Abbildung der verschobenen Funktion

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Wie du siehst, wurde unsere Funktion von eben ($f(x) = x^2$) um 1 Einheit nach oben verschoben

In der Gleichung wird die Verschiebung der Normalparabel durch ein Rechenzeichen vor der Zahl angedeutet. So gibt es zum Beispiel auch die Funktion $h(x) = x^2+99$ bei der die Normalparabel um 99 Einheiten nach oben verschoben wird.

Es geht auch anders herum. Eine Funktion kann auch nach unten verschoben werden. Ein einfaches Beispiel ist $k(x) = x^2-1$. Dann wird der Graph um 1 Einheit nach unten verschoben und sieht dann so aus:

funktion x^2-1

Dabei sieht man jetzt die Nullstellen. Das sind die Stellen, wo die Parabel die x-Achse schneidet. Bei dem oberen Graph sind $A(-1/0)$ und $B(1/0)$ die Punkte, in denen der Graph die x-Achse schneidet. Die Nullstellen sind demnach $x_{1} = -1$ und $x_{2} = 1$.

So jetzt weißt du, was eine quadratische Funktion ist und wie du sie zeichnen kannst. Ein wesentlicher Unterschied zur linearen Funktion ist, dass du für jeden y-Wert (außer dem des Scheitelpunkts) zwei x-Werte erhältst.

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben. Wir wünschen dabei viel Spaß!

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Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

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