Mathematik > Funktionen

Ableitung: Bedeutung im Sachzusammenhang

Inhaltsverzeichnis:

Ableitungen an einem Beispiel

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit den Ableitungen von Funktionen. Dazu beantworten wir zunächst die Frage, was genau die Bedeutung einer solchen Ableitung ist. Wie die verschiedenen Ableitungen einer Funktion in der Mathematik aussehen können, haben wir dir hier einmal dargestellt.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen
  1. $ f(x) = 2x^4+3x^3-4x^2+7x+3$
  2. $ f´(x) = 8x^3+9x^2-8x+7$
  3. $ f´´(x) = 24x^2+18x-8$
  4. $ f´´´(x) = 48x+18$

Bei der Kurvendiskussion und in vielen anderen Aufgaben wird nach der ersten, zweiten und manchmal auch nach der dritten Ableitung gefragt. Doch welche Bedeutung haben diese Ableitungen überhaupt?

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Ein bekanntes Beispiel ist die Funktion, die den Weg in Abhängigkeit zur Zeit abbildet. Deren Ableitung, also die Steigung der Funktion, ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit zur Zeit. Wird die Funktion der Geschwindigkeit dann wieder abgeleitet, erhalten wir die Funktion, die die Beschleunigung in Abhängigkeit zur Zeit abbildet.

Funktion $~\rightarrow~$ 1.Ableitung $~\rightarrow~$ 2.Ableitung

Weg $~\rightarrow~$ Geschwindigkeit $~\rightarrow~$ Beschleunigung (in Abhängigkeit zur Zeit)

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen
Graphische Darstellung von Ableitungen als Beispiel
Beispiel für die Ableitungen von Funktionen

Ein Fußgänger mit $\textcolor{red}{rotem~Regenmantel}$ und einer mit $\textcolor{blue}{blauem~Anorak}$ laufen von $A$ nach $B$. Beide erreichen $B$ nach $1$ Stunde. Der Fußgänger mit dem roten Regenmantel läuft die Strecke gleichmäßig ab. Der Fußgänger im blauen Anorak schleicht anfangs dahin und bemerkt, dass das Wetter immer schlechter wird. Daher wird er immer schneller.

Beide haben dieselbe Durchschnittsgeschwindigkeit und sind zur gleichen Zeit in $A$ und in $B$.
Sie haben beide eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $5 \frac{km}{h}$.

Während der Fußgänger in rot stets dieselbe Geschwindigkeit (Momentangeschwindigkeit) hat, wird der Fußgänger im blauen Anorak immer schneller.

Die Momentangeschwindigkeit für den Fußgänger in $\textcolor{red}{rot}$, ergibt sich indem man die Bewegungsgleichung nach der Zeit ableitet.
Diese Gleichung lautet:
$s_1(t) = 5t$
Die Ableitung nach der Zeit ist:
$s_1'(t) = 5 = v$
Das ist der Wert für die Momentangeschwindigkeit. Die ist immer gleich. Das sieht man daran, dass die Steigung der Geraden (1. Ableitung) stets gleich ist.
Die Beschleunigung des Fußgängers im roten Regenmantel ist gleich Null, denn er läuft gleichmäßig schnell. Das heißt für unsere Gleichung:
$s_1''(t) = 0 = a$
Das ist die Bedeutung der zweiten Ableitung in unserem Beispiel.

Jetzt zu unserem Fußgänger in $\textcolor{blue}{blau}$. Die Gleichung für den Weg lautet:
$s_2(t) = 5t^2$
Für seine Momentangeschwindigkeit gilt:
$s_2'(t) = 10t = v$
Er ist nach einer halben Stunde genau so schnell wie der Fußgänger in rot, denn
$s_2'(0,5) = 10 \cdot 0,5 = 5 = v$
Der Anstieg der blauen Kurve ist an der Stelle $t = 0,5$ so groß wie der Anstieg der Geraden, nämlich $5$.
Bildet man die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit, so erhält man dessen Beschleunigung. Sie beträgt
$s_2''(t) = 10 = a$
Das heißt, die Beschleunigung ist gleich und er wird gleichmäßig schneller.

Schauen wir uns nun die Bedeutung der ersten Ableitung genauer an:

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Erste Ableitung

Die Ableitung einer Funktion bildet die Steigung der Funktion in einer weiteren Funktion ab. Um dies zu verdeutlichen, schauen wir uns zwei Beispiele an. Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel: Die lineare Funktion $f(x) = 3x+5$ hat in jedem Punkt die Steigung $3$. Damit ist die Ableitung der Funktion $f'(x) = 3$. Die Steigung ist in jedem Punkt gleich.

Bei quadratischen Funktionen wird es schon etwas schwieriger, da hier die Steigung in jedem Punkt unterschiedlich ist. Die Normalparabel hat die Funktion $g(x) = x^2$. Die zugehörige Ableitung lautet: $g'(x) = 2x$. Betrachten wir dies in einer Abbildung:

ableitung
Abbildung: Funktion $g(x) = x^2$ und deren Ableitung $g'(x) = 2x$

Wir sehen die Funktion in Grün und deren Ableitung in Rot. Also beschreibt die rote Funktion die Steigung der grünen Funktion in jedem Punkt. Nehmen wir den Punkt $P(0/0)$. Die Funktion hat hier einen Tiefpunkt. Die Steigung ist an dieser Stelle gleich null. Vergleichen wir dies mit der Ableitungsfunktion, dann erkennen wir, dass die rote Funktion an der Stelle $x=0$ den y-Wer $0$ hat. Also kann man durch Ablesen der Punkte der Ableitung die Steigung im zugehörigen Punkt bestimmen. Die y-Werte der Ableitungsfunktion entsprechen der Steigung der Ausgangsfunktion in den dazugehörigen x-Werten.

Betrachten wir einen weiteren Punkt: $Q(1/1)$. Welche Steigung hat die Normalparabel in diesem Punkt? 

Diese Steigung können wir am roten Graphen ablesen. Er hat an der Stelle $x = 1$ den Wert $2$. Also ist die Steiung der Parabel an der Stelle $1$ gleich $2$.

Da die Ableitung Informationen über die Steigung liefert, können damit folgende Dinge bestimmt werden:

  • Ist $f'(x_1)\textcolor{red}{=}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_1$ waagerecht.
  • Ist $f'(x_2)\textcolor{blue}{>}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_2$ monoton steigend.
  • Ist $f'(x_3)\textcolor{orange}{<}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_3$ monoton fallend.

Bedeutung der zweiten Ableitung

Die zweite Ableitung bildet die Steigung der ersten Ableitung ab. Wir bestimmen sie, indem wir die Funktion der ersten Ableitung ableiten. Für die beiden oberen Beispiele bedeutet dies:
lineare Funktion: $f'(x) = 3, f''(x) = 0$
quadratische Funktion $f'(x) = 2x, f''(x) = 2$

Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt berechnen

An der Stelle, wo der Graph waagerecht ($f'(x) = 0$) verläuft, liegt entweder ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Um diesen Punkt zu bestimmen, geht man wie folgt vor:

Methode

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Vorgehensweise Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt bestimmen:

  1. Die erste und zweite Ableitung der Funktion bestimmen.
  2. Die erste Ableitung gleich null setzten und die Lösungen für $x$ bestimmen.
  3. Die zuvor berechneten Werte in die zweite Ableitung einsetzten, für das jeweilige Ergebnis gilt:
  • $f''(x) < 0 \rightarrow$ Hochpunkt
  • $f''(x) > 0 \rightarrow$ Tiefpunkt
  • $f''(x) = 0 \rightarrow$ Sattelpunkt (notwendiges Kriterium)
Graphische Darstellung eines Hochpunkts, Tiefpunkts und Stattelpunkts
Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt

Ableitungsregeln in Mathe

Hier erhältst du eine Übersicht über die gängigen Ableitungsregeln. Möchtest du darüber mehr erfahren, klicke hier: Ableitungsregeln

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Potenzregel: $f(x)= x^n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x)= n \cdot x ^{n-1}$

Faktorregel: $f(x)= k \cdot g(x) ~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow~~ f'(x)= k \cdot g'(x)$

Summenregel: $f(x)=g(x)+k(x) ~~~\rightarrow ~~f'(x)= g'(x)+k'(x)$

Produktregel: $f(x) = u(x) \cdot v(x)~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

Kettenregel: $f(x)= u(b(x)) ~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow~~ f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$

Quotientenregel: $f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}~~~~~~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$

Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen über die Bedeutung von Ableitungen im Sachzusammenhang weiter vertiefen. Viel Erfolg dabei!

Video: Fabian Serwitzki

Text: Chantal Rölle

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Was bildet die erste Ableitung einer Funktion ab?

Teste dein Wissen!

Was ist die erste Ableitung der Funktion $f(x) = 3x^4+x^2$

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Wir haben herausgefunden, dass an der Stelle $x_1$ die Funktion waagerecht ist. Nun müssen wir bestimmen ob ein Sattelpunkt, Hochpunkt oder Tiefpunkt vorliegt. 
Wie lauten die korrekten Antworten, kreuze an.

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Ist die Funktion an der gegebenen Stelle steigend, fallend oder waagerecht? Kreuze die richtigen Antworten an.

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Mathematik > Funktionen

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

p-q-formel-3
Nullstellen berechnen mit der p-q-Formel - so geht's!
quadratische-funktion-11
Quadratische Funktionen: Nullstellen berechnen Mitternachtsformel, abc-Formel
Br?cke
Quadratische Funktionen zeichnen
textaufgabe-1
Quadratische Funktionen: Aufgaben mit Lösungen
funktionsgleichung-bestimmen-1
Quadratische Funktionen bestimmen leicht gemacht
Quadratischen Funktionen: Normalform und Scheitelpunktform
Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion
Normalparabel nach unten verschoben um 3
Wie verschiebt man eine Normalparabel?
vergleich
Streckung und Stauchung einer Normalparabel
Bitte Beschreibung eingeben
Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung lösen
gestreckte_und_gestauchte_funktion
Was ist eine quadratische Funktion?
Bitte Beschreibung eingeben
Eigenschaften von Potenzfunktionen: Übersicht
Potenzfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren
Potenzfunktionen zeichnen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
Potenzfunktion $\large{x^{-4}}$
Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
Potenzfunktion x hoch 8/3
Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten
Wurzelfunktion f(x) = \sqrt x
Was ist eine Wurzelfunktion? - Erklärungen
potenzfunktionen-beispiele
Potenzfunktionen: Umkehrfunktion aufstellen leicht erklärt
funktion_x_hoch_2
Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen
Funktionen mit der Potenzregel ableiten
Funktionen mit der Faktorregel ableiten
Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden
Wie wende ich die Kettenregel an?
Funktionen mit der Quotientenregel ableiten
Wie wende ich die Produktregel an? - Ableitungsregeln
Wie leite ich eine Funktion ab? Übersicht zu den Ableitungsregeln
Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
ableitung
Ableitung: Bedeutung im Sachzusammenhang
Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben
exponentialfunktion-2-hoch-x
Exponentialfunktionen: Erklärung und Aufgaben
Logarithmusfunktionen log, ln, lg
Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften
e-Funktion
Was sind e-Funktionen? Ableiten und Stammfunktion leicht erklärt
funktion_linearer_wachstum
Lineares Wachstum und lineare Abnahme
funktion_bakterien
Exponentielles Wachstum und exponentielle Abnahme
koordinatensystem
Was ist eine mathematische Funktion?
monotomie
Wie bestimmt man das Monotonieverhalten von Funktionen?
Umkehrfunktion2
Wie bildet man eine Umkehrfunktion?
Kurvendiskussion Schritt für Schritt erklärt
kurvendiskussion_beispiel
Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
beispiel-lineare-funnktion
Übersicht: Funktionstypen und ihre Eigenschaften
koordinatensystem
Achsenschnittpunkte von Funktionen berechnen
tangente
Tangentengleichung bestimmen einfach erklärt
asymptote
Was sind senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten?
Periode einer Sinuskurve
Sinusfunktion und ihre Eigenschaften
Die Kosinusfunktion
Kosinusfunktion und ihre Eigenschaften
Sinusfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Sinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Kosinusfaktor mit verschiedenen Streckungsfaktoren und Amplituden
Kosinusfunktion - Streckung, Stauchung und Periode
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!

Lehrer sofort fragen

Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.

  • Sofort, ohne Termin
  • Online-Chat 14 – 21 Uhr
  • Erfahrene Mathematik-Lehrer
Jetzt Lehrer kostenlos fragen
Lehrer zum Wunschtermin online fragen

Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.

  • Zum Wunschtermin
  • Online-Einzelgespräch
  • Geprüfte Nachhilfelehrer
Gratis Probestunde vereinbaren
Lehrer zum Wunschtermin in deiner Nähe fragen

Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

  • Zum Wunschtermin
  • In deiner Stadt
  • Geprüfte Nachhilfelehrer

Gratis Probestunde vereinbaren

Selbst-Lernportal
Wissen vertiefen und selber üben

Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.

  • Über 250.000 Übungsaufgaben
  • 700 Lernvideos
  • Original-Abi-Klausuren
Jetzt kostenlos entdecken
Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

Susanne S., vom 2019-10-29
Den Terminwünschen konnte entsprochen werden; kurzfristige Änderungen wurde entgegengekommen; die Leistung hat sich verbessert, das Selbstvertrauen ist gewachsen; wir sind sehr zufrieden
anonymisiert, vom 2019-10-18
Alles freundlich, kompetent und schülerorientiert
Corinna O., vom 2019-10-17
alles gut
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
N-tv Gütesiegel
TÜV-Gütesiegel
Die Welt Service-Champions
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Wir benötigen deine Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um deinen konkreten Nachhilfebedarf zu ermitteln. Deine Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir dir telefonisch stellen könnten:

  • "Bei welchem Thema gibt es besondere Schwierigkeiten?
  • "Wann hättest du generell Zeit für den Unterricht?"

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen!

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Schon registriert? Hier einloggen

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
8548