Ableitungen an einem Beispiel
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit den Ableitungen von Funktionen. Dazu beantworten wir zunächst die Frage, was genau die Bedeutung einer solchen Ableitung ist. Wie die verschiedenen Ableitungen einer Funktion in der Mathematik aussehen können, haben wir dir hier einmal dargestellt.
Merke
- $ f(x) = 2x^4+3x^3-4x^2+7x+3$
- $ f´(x) = 8x^3+9x^2-8x+7$
- $ f´´(x) = 24x^2+18x-8$
- $ f´´´(x) = 48x+18$
Bei der Kurvendiskussion und in vielen anderen Aufgaben wird nach der ersten, zweiten und manchmal auch nach der dritten Ableitung gefragt. Doch welche Bedeutung haben diese Ableitungen überhaupt?
Gut zu wissen
Hinweis
Ein bekanntes Beispiel ist die Funktion, die den Weg in Abhängigkeit zur Zeit abbildet. Deren Ableitung, also die Steigung der Funktion, ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit zur Zeit. Wird die Funktion der Geschwindigkeit dann wieder abgeleitet, erhalten wir die Funktion, die die Beschleunigung in Abhängigkeit zur Zeit abbildet.
Funktion $~\rightarrow~$ 1.Ableitung $~\rightarrow~$ 2.Ableitung
Weg $~\rightarrow~$ Geschwindigkeit $~\rightarrow~$ Beschleunigung (in Abhängigkeit zur Zeit)
Beispiel
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Beispiel für die Ableitungen von Funktionen
Ein Fußgänger mit $\textcolor{red}{rotem~Regenmantel}$ und einer mit $\textcolor{blue}{blauem~Anorak}$ laufen von $A$ nach $B$. Beide erreichen $B$ nach $1$ Stunde. Der Fußgänger mit dem roten Regenmantel läuft die Strecke gleichmäßig ab. Der Fußgänger im blauen Anorak schleicht anfangs dahin und bemerkt, dass das Wetter immer schlechter wird. Daher wird er immer schneller.
Beide haben dieselbe Durchschnittsgeschwindigkeit und sind zur gleichen Zeit in $A$ und in $B$.
Sie haben beide eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $5 \frac{km}{h}$.
Während der Fußgänger in rot stets dieselbe Geschwindigkeit (Momentangeschwindigkeit) hat, wird der Fußgänger im blauen Anorak immer schneller.
Die Momentangeschwindigkeit für den Fußgänger in $\textcolor{red}{rot}$, ergibt sich indem man die Bewegungsgleichung nach der Zeit ableitet.
Diese Gleichung lautet:
$s_1(t) = 5t$
Die Ableitung nach der Zeit ist:
$s_1'(t) = 5 = v$
Das ist der Wert für die Momentangeschwindigkeit. Die ist immer gleich. Das sieht man daran, dass die Steigung der Geraden (1. Ableitung) stets gleich ist.
Die Beschleunigung des Fußgängers im roten Regenmantel ist gleich Null, denn er läuft gleichmäßig schnell. Das heißt für unsere Gleichung:
$s_1''(t) = 0 = a$
Das ist die Bedeutung der zweiten Ableitung in unserem Beispiel.
Jetzt zu unserem Fußgänger in $\textcolor{blue}{blau}$. Die Gleichung für den Weg lautet:
$s_2(t) = 5t^2$
Für seine Momentangeschwindigkeit gilt:
$s_2'(t) = 10t = v$
Er ist nach einer halben Stunde genau so schnell wie der Fußgänger in rot, denn
$s_2'(0,5) = 10 \cdot 0,5 = 5 = v$
Der Anstieg der blauen Kurve ist an der Stelle $t = 0,5$ so groß wie der Anstieg der Geraden, nämlich $5$.
Bildet man die zweite Ableitung des Weges nach der Zeit, so erhält man dessen Beschleunigung. Sie beträgt
$s_2''(t) = 10 = a$
Das heißt, die Beschleunigung ist gleich und er wird gleichmäßig schneller.
Schauen wir uns nun die Bedeutung der ersten Ableitung genauer an:
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Erste Ableitung
Die Ableitung einer Funktion bildet die Steigung der Funktion in einer weiteren Funktion ab. Um dies zu verdeutlichen, schauen wir uns zwei Beispiele an. Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel: Die lineare Funktion $f(x) = 3x+5$ hat in jedem Punkt die Steigung $3$. Damit ist die Ableitung der Funktion $f'(x) = 3$. Die Steigung ist in jedem Punkt gleich.
Bei quadratischen Funktionen wird es schon etwas schwieriger, da hier die Steigung in jedem Punkt unterschiedlich ist. Die Normalparabel hat die Funktion $g(x) = x^2$. Die zugehörige Ableitung lautet: $g'(x) = 2x$. Betrachten wir dies in einer Abbildung:
Abbildung: Funktion $g(x) = x^2$ und deren Ableitung $g'(x) = 2x$
Wir sehen die Funktion in Grün und deren Ableitung in Rot. Also beschreibt die rote Funktion die Steigung der grünen Funktion in jedem Punkt. Nehmen wir den Punkt $P(0/0)$. Die Funktion hat hier einen Tiefpunkt. Die Steigung ist an dieser Stelle gleich null. Vergleichen wir dies mit der Ableitungsfunktion, dann erkennen wir, dass die rote Funktion an der Stelle $x=0$ den y-Wer $0$ hat. Also kann man durch Ablesen der Punkte der Ableitung die Steigung im zugehörigen Punkt bestimmen. Die y-Werte der Ableitungsfunktion entsprechen der Steigung der Ausgangsfunktion in den dazugehörigen x-Werten.
Betrachten wir einen weiteren Punkt: $Q(1/1)$. Welche Steigung hat die Normalparabel in diesem Punkt?
Diese Steigung können wir am roten Graphen ablesen. Er hat an der Stelle $x = 1$ den Wert $2$. Also ist die Steiung der Parabel an der Stelle $1$ gleich $2$.
Da die Ableitung Informationen über die Steigung liefert, können damit folgende Dinge bestimmt werden:
- Ist $f'(x_1)\textcolor{red}{=}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_1$ waagerecht.
- Ist $f'(x_2)\textcolor{blue}{>}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_2$ monoton steigend.
- Ist $f'(x_3)\textcolor{orange}{<}0$ dann ist $f(x)$ an der Stelle $x_3$ monoton fallend.
Bedeutung der zweiten Ableitung
Die zweite Ableitung bildet die Steigung der ersten Ableitung ab. Wir bestimmen sie, indem wir die Funktion der ersten Ableitung ableiten. Für die beiden oberen Beispiele bedeutet dies:
lineare Funktion: $f'(x) = 3, f''(x) = 0$
quadratische Funktion $f'(x) = 2x, f''(x) = 2$
Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt berechnen
An der Stelle, wo der Graph waagerecht ($f'(x) = 0$) verläuft, liegt entweder ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt. Um diesen Punkt zu bestimmen, geht man wie folgt vor:
Methode
Vorgehensweise Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt bestimmen:
- Die erste und zweite Ableitung der Funktion bestimmen.
- Die erste Ableitung gleich null setzten und die Lösungen für $x$ bestimmen.
- Die zuvor berechneten Werte in die zweite Ableitung einsetzten, für das jeweilige Ergebnis gilt:
- $f''(x) < 0 \rightarrow$ Hochpunkt
- $f''(x) > 0 \rightarrow$ Tiefpunkt
- $f''(x) = 0 \rightarrow$ Sattelpunkt (notwendiges Kriterium)
Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt
Ableitungsregeln in Mathe
Hier erhältst du eine Übersicht über die gängigen Ableitungsregeln. Möchtest du darüber mehr erfahren, klicke hier: Ableitungsregeln
Gut zu wissen
Hinweis
Potenzregel: $f(x)= x^n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x)= n \cdot x ^{n-1}$
Faktorregel: $f(x)= k \cdot g(x) ~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow~~ f'(x)= k \cdot g'(x)$
Summenregel: $f(x)=g(x)+k(x) ~~~\rightarrow ~~f'(x)= g'(x)+k'(x)$
Produktregel: $f(x) = u(x) \cdot v(x)~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Kettenregel: $f(x)= u(b(x)) ~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow~~ f'(x)= u'(b(x)) \cdot b'(x)$
Quotientenregel: $f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}~~~~~~~~~~~~ \rightarrow~~ f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$
Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen über die Bedeutung von Ableitungen im Sachzusammenhang weiter vertiefen. Viel Erfolg dabei!
Video: Fabian Serwitzki
Text: Chantal Rölle
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)
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