Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben

$e$ ist die eulersche Zahl, $e = \lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = 2,7182818...$

Dann gilt:
$f(x) = e^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = e^x$

Der Exponent sei nun eine beliebige Funktion. Dann gilt:

$f(x) = e^{g(x)} ~~\rightarrow~~ f'(x) =g'(x)\cdot e^{g(x)}$

$f$ sei eine Logarithmusfunktion. Dann gilt:

$f(x) = log_a x ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{ln(a) \cdot x} ~~~~ (a \neq 1)$

Das Ableiten von $ln$-Funktionen ist ein Sonderfall für das Ableiten von Logarithmusfunktionen. $ln$ steht für logarithmus naturalis und ist der Logarithmus zur Basis $e$. Es gilt:

$f(x) = ln(x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{x} ~~~~ (x > 0)$

Wir geben die Regeln für das Ableiten trigonometrischer Funktionen an.

Sinusfunktion
$f(x) = sin (x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = cos (x)$

Kosinusfunktion
$f(x) = cos (x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = -sin (x)$

Tangensfunktion
$f(x) = tan(x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{(cos(x))^2}$

Für beliebige reelle Zahlen $x > 0$ und $n$ gilt:

$f(x) = \frac{1}{x^n} = x^{-n} ~~\rightarrow~~ f'(x) = -nx^{-n-1} = - \frac{n}{x^{n+1}}$

Sonderfall:
$f(x) =\frac{1}{x}= x^{-1} ~~\rightarrow~~ f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Für beliebige reelle Zahlen $x ≥ 0$ und ganze Zahlen $m$ und natürliche Zahlen $n \neq 0$ gilt:

$f(x) = \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1} = \frac{m}{n}x^{\frac{m-n}{n}} = \frac{m}{n} \sqrt[n]{x^{m-n}}$

Sonderfall:
$f(x) = \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Diese Ableitungsregeln beruhen auf der allgemeinen Regel:

$f(x) = x^n~~\rightarrow~~f'(x) = n \cdot x^{n-1}$