Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben
In diesem Lerntext erhältst du eine Übersicht, über die speziellen Ableitungsregeln. Dazu gehören die Ableitung der e-Funktionen, der Exponentialfunktionen, der Logarithmusfunktionen und der Winkelfunktionen. Du kannst dir die allgemeinen Ableitungsregeln gerne auch noch einmal anschauen.
Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen
Merke
$f$ sei eine Exponentialfunktion.
Dann gilt:
$f(x) = a^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = a^x\cdot ln(a)$
Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist gleich der Exponentialfunktion multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus der Basis.
Beispiel
$f(x) = 3^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = 3^x\cdot ln(3)$
Ein Sonderfall ist das Ableiten von e-Funktionen.
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Ableitungsregeln für e-Funktionen
Merke
$e$ ist die eulersche Zahl, $e = \lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = 2,7182818...$
Dann gilt:
$f(x) = e^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = e^x$
Die Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion. Dies mag zuerst etwas merkwürdig klingen. Daher schauen wir uns den Grund für diese Regel genauer an:
Die e-Funktion ist nichts anderes als eine Exponentialfunktion, deren Basis $e$ ist. Setzen wir die Variable $e$ anstatt dem $a$ in die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen ein, erhalten wir Folgendes:
$f(x) = a^x \rightarrow f'(x) = a^x\cdot ln(a)$
$f(x) = e^x \rightarrow f'(x) = e^x\cdot ln(e)$
Da $ln(e) =1$ gilt, fällt dieser Teil weg: $f'(x) = e^x\cdot ln(e) =e^x\cdot 1 = e^x $. Somit fällt der letzte Teil weg.
Steht die Variable $x$ nicht allein, müssen wir weitere Ableitungsregeln beachten.
Merke
Der Exponent sei nun eine beliebige Funktion. Dann gilt:
$f(x) = e^{g(x)} ~~\rightarrow~~ f'(x) =g'(x)\cdot e^{g(x)}$
Die obere Funktion wird ganz normal abgeleitet und kommt als Faktor vor die Funktion. Das $e$ mit dem kompletten Exponententerm bleibt beibehalten. Schauen wir uns dazu zwei Beispiele an:
Beispiel
- $f(x) = e^{ax}$
Die Ableitung von $g(x) = ax$ ist gleich $g'(x) =a$.
$ ~~\rightarrow~~ f'(x) =a\cdot e^{ax}$ - $f(x) = e^{5x^2}$
Die Ableitung von $g(x) = 5x^2$ ist gleich $g'(x) = 10x$.
$~~\rightarrow~~ f'(x) =10x\cdot e^{5x^2}$
Ableitungsregeln für Logarithmusfunktionen
Merke
$f$ sei eine Logarithmusfunktion. Dann gilt:
$f(x) = log_a x ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{ln(a) \cdot x} ~~~~ (a \neq 1)$
Das Ableiten von $ln$-Funktionen ist ein Sonderfall für das Ableiten von Logarithmusfunktionen. $ln$ steht für logarithmus naturalis und ist der Logarithmus zur Basis $e$. Es gilt:
$f(x) = ln(x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{x} ~~~~ (x > 0)$
Eine Logarithmusfunktion wird abgeleitet, indem $1$ durch die Variable gerechnet wird.
Ableitung der Winkelfunktionen
Merke
Wir geben die Regeln für das Ableiten trigonometrischer Funktionen an.
Sinusfunktion
$f(x) = sin (x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = cos (x)$
Kosinusfunktion
$f(x) = cos (x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = -sin (x)$
Tangensfunktion
$f(x) = tan(x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{(cos(x))^2}$
Die Ableitungsregeln der Winkelfunktionen lernst du am besten einfach auswendig. Du kannst dir bei uns die Sinusfunktion auch noch einmal anschauen.
Weitere hilfreiche Ableitungsregeln
Merke
Für beliebige reelle Zahlen $x > 0$ und $n$ gilt:
$f(x) = \frac{1}{x^n} = x^{-n} ~~\rightarrow~~ f'(x) = -nx^{-n-1} = - \frac{n}{x^{n+1}}$
Sonderfall:
$f(x) =\frac{1}{x}= x^{-1} ~~\rightarrow~~ f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$
Für beliebige reelle Zahlen $x ≥ 0$ und ganze Zahlen $m$ und natürliche Zahlen $n \neq 0$ gilt:
$f(x) = \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1} = \frac{m}{n}x^{\frac{m-n}{n}} = \frac{m}{n} \sqrt[n]{x^{m-n}}$
Sonderfall:
$f(x) = \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Diese Ableitungsregeln beruhen auf der allgemeinen Regel:
$f(x) = x^n~~\rightarrow~~f'(x) = n \cdot x^{n-1}$
Nun hast du die speziellen Ableitungsregeln kennengelernt und kannst dein Wissen mit den Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!
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Text: Chantel Rölle
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Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)
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