Standortsuche
Ihr Kontakt zu uns:
Standort auswählen & gratis beraten lassen
Kontaktformular

Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben

Mathematik > Funktionen
Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
x Der Link wurde in die Zwischenablage kopiert
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext erhältst du eine Übersicht, über die speziellen Ableitungsregeln. Dazu gehören die Ableitung der e-Funktionen, der Exponentialfunktionen, der Logarithmusfunktionen und der Winkelfunktionen. Du kannst dir die allgemeinen Ableitungsregeln gerne auch noch einmal anschauen.

Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen

Merke

$f$ sei eine Exponentialfunktion.

Dann gilt:
$f(x) = a^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = a^x\cdot ln(a)$

Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist gleich der Exponentialfunktion multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus der Basis.

Beispiel

$f(x) = 3^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = 3^x\cdot ln(3)$

Ein Sonderfall ist das Ableiten von e-Funktionen.

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen

Ableitungsregeln für e-Funktionen

Merke

$e$ ist die eulersche Zahl, $e = \lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = 2,7182818...$

Dann gilt:
$f(x) = e^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = e^x$

Die Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion. Dies mag zuerst etwas merkwürdig klingen. Daher schauen wir uns den Grund für diese Regel genauer an:

Die e-Funktion ist nichts anderes als eine Exponentialfunktion, deren Basis $e$ ist. Setzen wir die Variable $e$ anstatt dem $a$ in die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen ein, erhalten wir Folgendes:

$f(x) = a^x \rightarrow f'(x) = a^x\cdot ln(a)$

$f(x) = e^x \rightarrow f'(x) = e^x\cdot ln(e)$ 

Da $ln(e) =1$ gilt, fällt dieser Teil weg: $f'(x) = e^x\cdot ln(e) =e^x\cdot 1 = e^x $. Somit fällt der letzte Teil weg. 

Steht die Variable $x$ nicht allein, müssen wir weitere Ableitungsregeln beachten.

Merke

Der Exponent sei nun eine beliebige Funktion. Dann gilt:

$f(x) = e^{g(x)} ~~\rightarrow~~ f'(x) =g'(x)\cdot e^{g(x)}$

Die obere Funktion wird ganz normal abgeleitet und kommt als Faktor vor die Funktion. Das $e$ mit dem kompletten Exponententerm bleibt beibehalten. Schauen wir uns dazu zwei Beispiele an:

Beispiel

  1. $f(x) = e^{ax}$
    Die Ableitung von $g(x) = ax$ ist gleich $g'(x) =a$.

    $ ~~\rightarrow~~ f'(x) =a\cdot e^{ax}$

  2. $f(x) = e^{5x^2}$
    Die Ableitung von $g(x) = 5x^2$ ist gleich $g'(x) = 10x$. 

    $~~\rightarrow~~ f'(x) =10x\cdot e^{5x^2}$

Ableitungsregeln für Logarithmusfunktionen

Merke

$f$ sei eine Logarithmusfunktion. Dann gilt:

$f(x) = log_a x ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{ln(a) \cdot x} ~~~~ (a \neq 1)$

Das Ableiten von $ln$-Funktionen ist ein Sonderfall für das Ableiten von Logarithmusfunktionen. $ln$ steht für logarithmus naturalis und ist der Logarithmus zur Basis $e$. Es gilt:

$f(x) = ln(x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{x} ~~~~ (x > 0)$

Eine Logarithmusfunktion wird abgeleitet, indem $1$ durch die Variable gerechnet wird.

Ableitung der Winkelfunktionen

Merke

Wir geben die Regeln für das Ableiten trigonometrischer Funktionen an.

Sinusfunktion
$f(x) = sin (x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = cos (x)$

Kosinusfunktion
$f(x) = cos (x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = -sin (x)$

Tangensfunktion
$f(x) = tan(x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{(cos(x))^2}$

Die Ableitungsregeln der Winkelfunktionen lernst du am besten einfach auswendig. Du kannst dir bei uns die Sinusfunktion auch noch einmal anschauen.  

Weitere hilfreiche Ableitungsregeln

Merke

Für beliebige reelle Zahlen $x > 0$ und $n$ gilt:

$f(x) = \frac{1}{x^n} = x^{-n} ~~\rightarrow~~ f'(x) = -nx^{-n-1} = - \frac{n}{x^{n+1}}$

Sonderfall:
$f(x) =\frac{1}{x}= x^{-1} ~~\rightarrow~~ f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Für beliebige reelle Zahlen $x ≥ 0$ und ganze Zahlen $m$ und natürliche Zahlen $n \neq 0$ gilt:

$f(x) = \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1} = \frac{m}{n}x^{\frac{m-n}{n}} = \frac{m}{n} \sqrt[n]{x^{m-n}}$

Sonderfall:
$f(x) = \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Diese Ableitungsregeln beruhen auf der allgemeinen Regel:

$f(x) = x^n~~\rightarrow~~f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

Nun hast du die speziellen Ableitungsregeln kennengelernt und kannst dein Wissen mit den Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantel Rölle

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger, selbständiger Diplompädagoge, Pirna (Lektorat, fachliche Textkorrekturen und Grafikerstellung)

Teste dein Wissen!
Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Was ist die richtige Ableitung der Funktion $f(x) =  5 \cdot ln(x)$ ?

Teste dein Wissen!

Was ist die richtige Ableitung der Funktion $f(x)= tan(x)$ ?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Was ist die richtige Ableitung der Funktion $f(x)= ln(x)$ ?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Was ist die Ableitung der Funktion $f(x)= 3e^{4x^2}$?

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.

Du möchtest mehr Aufgaben?
Teste kostenlos unser Lernportal mit vielen Übungen & Lösungen.

Du brauchst mehr Hilfe?
Wir unterstützen Dich!

Online-Lernen

Wissen vertiefen?

Online-Lernportal

Wir unterstützen Dich mit:

  • Lernvideos
  • Über 250.000Übungsaufgaben - auch als PDF inkl. Lösungen
  • Hausaufgaben Live-Chat
Online-Nachhilfe

Online-Nachhilfe

Einzelnachhilfe

Du benötigst individuelle Hilfe?

Dann teste unsere Online-Einzelnachhilfe gerne in einer gratis Probestunde. Mehr Infos zur Online-Nachhilfe

Nachhilfe vor Ort

Nachhilfe vor Ort

Kleine Lerngruppen

Wenn Du gerne mit anderen vor Ort lernst, dann ist unsere Nachhilfe auch in Deiner Nähe.

Teste uns gerne in 2 gratis Probestunden.

Unsere Kunden über den Studienkreis
Feedback von Eltern & Schüler:innen

Bewertung bundesweit
29.06.2025
Wunderbare sehr freundliche Betreuung,unser Sohn geht gerne zum Unterricht und bekommt alles verständlich erklärt.
06.06.2025
Meine Tochter ging 1x pro Woche für Deusch Nachhilfe zum Studienkreis und verbesserte sich in 3 Monaten von Note 5 auf Note 2 :-))
06.06.2025
Mein Sohn hat seine Noten verbessert.Vladimir ist sehr guter Leiter ,er war immer erreichbar und wenn mein Sohn krank war ,er konnte Unterricht nachholen.

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Mathematik > Funktionen

Noch Fragen?
Wir sind durchgehend für dich erreichbar

Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
7746