Mathematik > Funktionen

Spezielle Ableitungsregeln: Übersicht und Übungsaufgaben

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext erhältst du eine Übersicht, über die speziellen Ableitungsregeln. Dazu gehören die Ableitung der e-Funktionen, der Exponentialfunktionen, der Logarithmusfunktionen und der Winkelfunktionen. Du kannst dir die allgemeinen Ableitungsregeln gerne auch noch einmal anschauen.

Ableitungsregeln für Exponentialfunktionen

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$f$ sei eine Exponentialfunktion.

Dann gilt:
$f(x) = a^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = a^x\cdot ln(a)$

Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist gleich der Exponentialfunktion multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus der Basis.

Beispiel

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$f(x) = 3^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = 3^x\cdot ln(3)$

Ein Sonderfall ist das Ableiten von e-Funktionen.

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Ableitungsregeln für e-Funktionen

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$e$ ist die eulersche Zahl, $e = \lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n = 2,7182818...$

Dann gilt:
$f(x) = e^x ~~\rightarrow~~ f'(x) = e^x$

Die Ableitung der e-Funktion ist wieder die e-Funktion. Dies mag zuerst etwas merkwürdig klingen. Daher schauen wir uns den Grund für diese Regel genauer an:

Die e-Funktion ist nichts anderes als eine Exponentialfunktion, deren Basis $e$ ist. Setzen wir die Variable $e$ anstatt dem $a$ in die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen ein, erhalten wir Folgendes:

$f(x) = a^x \rightarrow f'(x) = a^x\cdot ln(a)$

$f(x) = e^x \rightarrow f'(x) = e^x\cdot ln(e)$ 

Da $ln(e) =1$ gilt, fällt dieser Teil weg: $f'(x) = e^x\cdot ln(e) =e^x\cdot 1 = e^x $. Somit fällt der letzte Teil weg. 

Steht die Variable $x$ nicht allein, müssen wir weitere Ableitungsregeln beachten.

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Der Exponent sei nun eine beliebige Funktion. Dann gilt:

$f(x) = e^{g(x)} ~~\rightarrow~~ f'(x) =g'(x)\cdot e^{g(x)}$

Die obere Funktion wird ganz normal abgeleitet und kommt als Faktor vor die Funktion. Das $e$ mit dem kompletten Exponententerm bleibt beibehalten. Schauen wir uns dazu zwei Beispiele an:

Beispiel

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  1. $f(x) = e^{ax}$
    Die Ableitung von $g(x) = ax$ ist gleich $g'(x) =a$.

    $ ~~\rightarrow~~ f'(x) =a\cdot e^{ax}$

  2. $f(x) = e^{5x^2}$
    Die Ableitung von $g(x) = 5x^2$ ist gleich $g'(x) = 10x$. 

    $~~\rightarrow~~ f'(x) =10x\cdot e^{5x^2}$

Ableitungsregeln für Logarithmusfunktionen

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$f$ sei eine Logarithmusfunktion. Dann gilt:

$f(x) = log_a x ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{ln(a) \cdot x} ~~~~ (a \neq 1)$

Das Ableiten von $ln$-Funktionen ist ein Sonderfall für das Ableiten von Logarithmusfunktionen. $ln$ steht für logarithmus naturalis und ist der Logarithmus zur Basis $e$. Es gilt:

$f(x) = ln(x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{x} ~~~~ (x > 0)$

Eine Logarithmusfunktion wird abgeleitet, indem $1$ durch die Variable gerechnet wird.

Ableitung der Winkelfunktionen

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Wir geben die Regeln für das Ableiten trigonometrischer Funktionen an.

Sinusfunktion
$f(x) = sin (x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = cos (x)$

Kosinusfunktion
$f(x) = cos (x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = -sin (x)$

Tangensfunktion
$f(x) = tan(x) ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{(cos(x))^2}$

Die Ableitungsregeln der Winkelfunktionen lernst du am besten einfach auswendig. Du kannst dir bei uns die Sinusfunktion auch noch einmal anschauen.  

Weitere hilfreiche Ableitungsregeln

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Für beliebige reelle Zahlen $x > 0$ und $n$ gilt:

$f(x) = \frac{1}{x^n} = x^{-n} ~~\rightarrow~~ f'(x) = -nx^{-n-1} = - \frac{n}{x^{n+1}}$

Sonderfall:
$f(x) =\frac{1}{x}= x^{-1} ~~\rightarrow~~ f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

Für beliebige reelle Zahlen $x ≥ 0$ und ganze Zahlen $m$ und natürliche Zahlen $n \neq 0$ gilt:

$f(x) = \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1} = \frac{m}{n}x^{\frac{m-n}{n}} = \frac{m}{n} \sqrt[n]{x^{m-n}}$

Sonderfall:
$f(x) = \sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}} ~~\rightarrow~~ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Diese Ableitungsregeln beruhen auf der allgemeinen Regel:

$f(x) = x^n~~\rightarrow~~f'(x) = n \cdot x^{n-1}$

Nun hast du die speziellen Ableitungsregeln kennengelernt und kannst dein Wissen mit den Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantel Rölle

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

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Übungsaufgaben

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Was ist die richtige Ableitung der Funktion $f(x) =  5 \cdot ln(x)$ ?

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Was ist die richtige Ableitung der Funktion $f(x)= tan(x)$ ?

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Was ist die richtige Ableitung der Funktion $f(x)= ln(x)$ ?

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Was ist die Ableitung der Funktion $f(x)= 3e^{4x^2}$?

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