Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten
Hier behandeln wir das Thema Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten.
Du triffst schon früh auf Funktionen, in denen nicht nur $x$, sondern auch zum Beispiel $x^2$ oder $x^3$ auftritt.
Exponent - Was ist das?
Merke
Merke
Beim Potenzieren wird der Wert x mit sich selbst multipliziert (malgenommen). Das heißt, wir rechnen $ x \cdot x \cdot x \cdot ... \cdot x $. Um nicht jedes Mal $ x \cdot x \cdot x \cdot ... \cdot x $ schreiben zu müssen, schreiben wir $x^n$, wobei n angibt, wie oft x als Faktor vorkommt. n wird Exponent genannt. Hier findest du die ausführliche Erklärung und Beispiele zum Thema Potenzen.
Abhängig vom Exponenten hat die Potenzfunktion bestimmte Eigenschaften. Diesbezüglich unterscheidet man insbesondere Potenzfunktionen mit geraden und Potenzfunktionen mit ungeraden Exponenten. Hierzu nun ein Beispiel:
Beispiel
Beispiel
Die Funktion $f(x)=x^2$ ist eine Funktion mit natürlichem Exponenten. Auch die Funktionen $g(x)=x^3$ und $h(x)=x^4$ und $i(x)=x^5$ sind Funktionen mit natürlichen Exponenten. In der Grafik siehst du die Graphen der vier Funktionen.
Wie wir aus der Abbildung entnehmen können, gibt es bei Potenzfunktionen mit natürlichem Exponenten keinen Bereich, für den die Funktion nicht definiert ist. Die Funktion hat also keinen Punkt, an dem sie unterbrochen ist und könnte theoretisch einfach so durchgezeichnet werden. Auch ähneln sich die Graphen der Funktionen $ f(x)=x^2$ und $ f(x)=x^4$, sowie die Graphen der Funktionen $f(x)=x^3$ und $ f(x)=x^5$. Darauf werden wir im Folgenden eingehen.
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Gerader, natürlicher Exponent
Eine häufig vorkommende Funktion im Bereich der Potenzfunktionen ist die Funktion $f(x)= x^2$, die Normalparabel genannt wird. Diese ist nach oben geöffnet und nimmt keine negativen y-Werte an. Sie bildet graphisch eine Parabel, die einen Scheitelpunkt besitzt und achsensymmetrisch ist. Die einzige Nullstelle liegt im Koordinatenursprung, also im Punkt N(0/0). Doch auch die Funktionen $f(x)=x^4$ und $f(x)=x^6$ sind Potenzfunktionen mit geradzahligen natürlichen Exponenten. Diese Funktionen haben alle die gleichen Eigenschaften.
Alle Potenzfunktionen mit einem geraden natürlichen Exponenten sind achsensymmetrisch zur y-Achse. Auch verlaufen alle Potenzfunktionen mit einem geraden natürlichen Exponenten durch die folgenden drei Punkte: P1(-1|1), P2(0|0) und P3(1|1)
Ein Spezialfall der geraden positiven Exponenten ist der Exponent 0, also die Funktion $f(x)=x^0$. Diese Funktion beschreibt eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft und durch den Punkt P(1/1) geht.
Merke
Merke
Funktionen wie $f(x)=x^2$ oder $f(x)=x^4$
...sind achsensymmetrisch zur y-Achse,
...haben eine Parabel als Graph
...sind nach oben geöffnet,
...haben nur eine Nullstelle bei N(0|0),
...haben die Punkte P1(-1|1), P2(0|0) und P3(1|1) gemeinsam.
Ungerader, natürlicher Exponent
Bei den Funktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten begegnet dir vor allem die Funktion $f(x)=x^3$. Diese sieht im positiven Bereich der Funktion $f(x)=x^2$ ähnlich. Sie verläuft ebenfalls durch die Punkte P2(0|0) und P3(1|1).
Ein Punkt, durch den alle Potenzfunktionen mit ungeradem, natürlichem Exponenten verlaufen, ist der Punkt P1(-1|-1). Wenn wir uns den negativen Bereich der x-Werte anschauen, dann stellen wir fest, dass die Funktion auch im IV. Quadranten verläuft. Sie verläuft bildlich gesprochen von unten links nach oben rechts. Ein Sonderfall ist hierbei die Funktion $f(x)=x^1=x$. Diese Funktion teilt die Eigenschaften der anderen Potenzfunktionen mit ungeraden natürlichen Exponenten, jedoch ist der Graph dieser Funktion eine Gerade.
Merke
Merke
Funktionen wie $f(x)=x^3$ oder $f(x)=x^5$
...sind punktsymmetrisch zum Ursprung,
...haben eine Parabel n-ter Ordnung als Graph
...besitzen nur eine Nullstelle bei P1(0|0),
...haben die Punkte P1(-1|-1), P2(0|0) und P3(1|1) gemeinsam.
Nun hast du eine detaillierte Übersicht über die Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten erhalten. Ob du alles verstanden hast, kannst du anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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Welche Funktionen besitzen einen natürlichen Exponenten?
Welches sind Eigenschaften der folgenden Funktion?
$g(x)= 2 \cdot x^4-2$
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