Mathematik > Funktionen

Potenzfunktionen zeichnen

Inhaltsverzeichnis:

Potenzfunktionen sind ein wichtiges Thema der Mathematik. Sie sind zu Anfang noch einfach und werden mit der Zeit immer komplexer. Dennoch wird erwartet, dass du auch komplexe Potenzfunktionen zeichnen bzw. mindestens skizzieren kannst. Doch wie soll man die Funktion $f(x)=5 \cdot (x-1)^8 +7 $ zeichnen?

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Potenzfunktionen zeichnen - Vorgehensweise

Um die Funktion zu zeichnen brauchen wir Kenntnisse von den verschiedenen Potenzfunktionen und ihren jeweiligen Graphen. Mit diesem Wissen im Hinterkopf gucken wir uns einfach den größten Exponenten der Funktion an und können dann entscheiden, wie der Grundverlauf des Funktionsgraphen aussieht. 

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Der größte Exponent einer Funktion bestimmt die Art der Funktion (Parabel oder Hyperbel).

In unserer Funktion ist der größte Exponent die Zahl $8$. Die Zahl $8$ ist eine gerade Zahl und somit ist der Graph der Funktion eine Parabel. Der Graph ist demzufolge auch achsensymmetrisch und nicht punktsymmetrisch wie Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten.

Der nächste Schritt ist das Herausfinden des Streckfaktors der Funktion. Ob dieser positiv oder negativ ist, hat einen großen Einfluss auf den Verlauf der Parabel. Unsere Funktion besitzt den Streckfaktor $5$. Die Parabel ist also nach oben geöffnet und stark gestreckt.

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Der Streckfaktor bestimmt den Verlauf der Funktion. Der Streckfaktor bestimmt, ob der Graph nach oben oder nach unten geöffnet ist und ob der Graph gestreckt (schmal) oder gestaucht (breit) ist. 

Potenzfunktionen mit verschiedenen Streckungsfaktoren
Potenzfunktionen mit unterschiedlichen Streckfaktoren

Nachdem nun Art und Verlauf der Funktion bestimmt wurden, wird nun die Verschiebung entlang der Koordinatenachsen ermittelt. Diese ist in unserer Funktion $f(x)=5 \cdot (x \textcolor{green}{-1})^8 \textcolor{blue}{+7} $ durch die markierten Zahlen gegeben. Diese zeigen uns, dass der Funktionsgraph um $1$ nach rechts und um $7$ nach oben verschoben wird, ausgehend vom Ursprung. 

Fassen wir alle Informationen zusammen, erhalten wir:

Die Funktion $f(x)= \textcolor{red}{5} \cdot (x \textcolor{green}{-1})^\textcolor{orange}{8} \textcolor{blue}{+7} $ ist

     $\textcolor{red}{nach\; oben\; geöffnet}$

     $\textcolor{red}{um\; 5\; gestreckt}$

     $\textcolor{orange}{bildet \; eine \; Parabel}$

     $\textcolor{green}{um \;1 \;nach \;rechts \;verschoben}$

     $\textcolor{blue}{um\; 7\; nach \;oben\; verschoben}$

Potenzfunktionen zeichnen
Potenzfunktion: $f(x)= 5 \cdot (x-1)^8+7$

Wir setzen also bei P1(1|7) unseren ersten Punkt, da wir wissen, dass der Graph eine verschobene Parabel ist, die dort ihren Scheitelpunkt hat. Der nächste Punkt wäre bei einer Streckung von $1$ bei P2(2|8). Da der Streckfaktor aber $5$ ist, muss der y-Wert um $5$ nach oben verschoben werden und somit liegt der zweite Punkt bei P2(2|12).

Aus der Achsensymmetrie folgt, dass der dritte Punkt bei P3(0|12) liegt. Nun haben wir drei Punkte, mit deren Hilfe wir den Graphen skizzieren können, siehe Abbildung oben. Der Graph der Funktion ist recht steil, was an dem relativ großen Exponenten $8$ liegt. Es gilt: Je größer der Exponent der Funktion, desto steiler ist der Funktionsgraph.

Wertetabelle erstellen

Wenn man den Graphen möglichst genau zeichnen möchte, sollte man eine Wertetabelle erstellen. Diese ermöglicht sehr genaues Zeichnen, da mehrere Punkte des Graphen ermittelt werden. Du beginnst mit dem Scheitelpunkt der Funktion, hier also mit dem Punkt P(1|7) und berechnest dann die y-Werte der benachbarten Punkte. Das heißt, du berechnest zunächst die Funktionswerte für  $x=0$ und $x=2$, dann die Funktionswerte für $x=-1$ und $x=3$.... Im Heft sieht das dann etwa so aus:

Wertetabelle zur Beispielfunktion
Wertetabelle zur Beispielfunktion

Die Funktionswerte können sehr schnell sehr groß werden. Das hängt vor allem von der Größe des Exponenten ab. Je größer der Exponent, desto schneller $_"$wächst$"$ die Funktion. Es ist also ratsam zu überlegen, wie groß die Schritte für die Tabellen gewählt werden sollten.

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Wo liegt der Scheitelpunkt bei der folgenden Funktion:
$f(x)=4 \cdot (x+2)^3 +3$

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Bestimme den Scheitelpunkt der Funktion: $g(k)= x \cdot (k+2)^3-2$

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