Mathematik > Funktionen

Funktionen mit der Quotientenregel ableiten

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Wenn eine Funktion durch $\large{f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}}$ darstellbar ist, dann gilt für deren erste Ableitung $\large{f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}}$, wobei $u$ und $v$ Funktionen sind.

Die Quotientenregel ist eine Regel zum Ableiten von Funktionen. Damit kann man Funktionen ableiten, die eine Funktion im Zähler und im Nenner haben. Für dieses Kapitel sind die Potenzregel und die Faktorregel Voraussetzung.

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Herleitung der Quotientenregel

Um mit der Quotientenregel rechnen zu können, musst du auf jeden Fall die Potenzregel und die Faktorregel können, denn diese werden beim Ableiten benötigt. Die Quotientenregel beschäftigt sich mit Funktionen, die als Bruchterm dargestellt werden können.

Beispiel für eine solche Funktion:

$\large{f(x)= \frac{3 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 13}{4 \cdot x^4 -2}}$

Nun wollen wir eine Formel herleiten, mit deren Hilfe wir eine solche Funktion ableiten können. Wir suchen also eine Formel, mit deren Hilfe wir eine Funktion ableiten können, die sich aus einem Bruch zweier Funktionen zusammensetzt. (Wie du an dem Beispiel sehen kannst, besteht die Funktion aus zwei Funktionen: einer Funktion im Zähler des Bruchs und einer Funktion im Nenner des Bruchs.)

Die Herleitung beginnen wir mit dem Differentialquotienten, also:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{{f(x+h)}-{f(x)}}{h}}$

Da die Funktion hier ein Bruch ist, ersetzen wir $f(x)$ durch $\frac{u(x)}{v(x)}$

Daraus folgt:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{\frac{u(x+h)}{v(x+h)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{h}}$

Um es ein wenig übersichtlicher zu machen, schreiben wir dies um:

$\large{\lim\limits_{h \to 0} ( \frac{u(x+h)}{v(x+h)}-\frac{u(x)}{v(x)} ) \cdot \textcolor{green}{\frac{1}{h}}}$

Nun müssen wir die Nenner gleichnamig machen. Dies machen wir, indem wir die beiden Brüche jeweils mit dem Nenner des anderen Bruches erweitern. Nun können wir den Ausdruck auf einen Bruch schreiben:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{u(x+h) \cdot \textcolor{green}{v(x)} - u(x) \cdot \textcolor{green}{v(x+h)}}{\textcolor{blue}{v(x) \cdot v(x+h)}}\cdot \frac{1}{h}}$

Um weiterrechnen zu können, verwenden wir einen Trick. Wir addieren und subtrahieren den Term $u(x) \cdot v(x)$ und erhalten:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{u(x+h) \cdot v(x) \textcolor{green}{- u(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v(x)} - u(x) \cdot v(x+h)}{v(x) \cdot v(x+h)}\cdot \frac{1}{h}}$

Wenn wir geschickt ausklammern erhalten wir:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{\textcolor{green}{[u(x+h)-u(x)]\cdot v(x)}\textcolor{blue}{-u(x)\cdot [v(x+h)-v(x)]}}{h} \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{v(x) \cdot v(x+h)}}}$

Zusätzlich haben wir, in $\textcolor{red}{rot}$ markiert, die Nenner vertauscht. Jetzt schreiben wir die jeweiligen Grenzberechnungen einzeln auf und erhalten:

$(\underbrace{\lim\limits_{h \to 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}}_{=u'(x)} \cdot \underbrace{\lim\limits_{h \to 0} v(x)}_{=v(x)} - \underbrace{\lim\limits_{h \to 0} u(x)}_{=u(x)} \cdot \underbrace{\lim\limits_{h \to 0} \frac{v(x+h)-v(x)}{h}}_{=v'(x)}) \cdot \underbrace{\lim\limits_{h \to 0}\frac {1}{v(x) \cdot v(x+h)}}_{[v(x)]^2}$

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Jetzt berechnen wir den Limes einzeln für die Terme und erhalten eine sehr übersichtliche Formel:

 $\large{f'(x)= \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}}$

Brüche ableiten mit der Quotientenregel: Beispiel

Schauen wir uns die Formel an einem Beispiel an. Wir nehmen die Funktion von vorhin:

$\large{f(x)= \frac{\textcolor{green}{3 \cdot x^2 + 5 \cdot x + 13}}{\textcolor{blue}{4 \cdot x^4 -2}}}$

In die Formel eingesetzt, erhalten wir:

 $\large{f'(x)= \frac{(6x+5)\cdot(4x^4-2)-(3x^2+5x+13)\cdot(16x^3)}{(4x^4-2)^2}}$

Wenn wir diesen Ausdruck nun ausmultiplizieren und vereinfachen, erhalten wir die Ableitungsfunktion:

$f'(x)= \dfrac{-24x^5-60x^4-208x^3-12x-10}{\left(4x^4-2\right)^2}$   bzw.

$f'(x)= \dfrac{-(24x^5+60x^4+208x^3+12x+10)}{\left(4x^4-2\right)^2}$

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$\large{f(x)= \frac{3x^2+1}{x}}$

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