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Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften

Inhaltsverzeichnis:

Wenn wir in der Mathematik auf die Logarithmusfunktion treffen ist eine Exponentialfunktion auch nicht weit. Das liegt daran, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion für die Exponentialfunktion ist, somit das Errechnen des x-Wertes einfacher fällt, da dieser nicht mehr im Exponenten steht. 

In diesem Abschnitt lernst du alle Eigenschaften der Logarithmusfunktion kennen und ein Beispiel wird dir das Rechnen mit diesen Funktionen noch einfacher machen. 

Schreibweise und Funktionsgraph

Geschrieben wird der Logarithmus folgendermaßen:

$ y = log_{a}{x} $

Diesen Ausdruck liest man wie folgt: $y$ ist gleich dem Logarithmus von $x$ zur Basis $a$. Auf vielen Taschenrechnern steht „log“ für den dekadischen Logarithmus. Das bedeutet, dass die Basis 10 ist. $a$ ist dabei eine positive reelle Zahl. Die Umkehrfunktion ist die Exponentialfunktion:

$y = a^x$

 Auf der verlinkten Seite kannst du dir die Definition und Beispiele zum Logarithmus nochmal anschauen. 

Logarithmusfunktionen log, ln, lg
Logarithmusfunktionen $\textcolor{green}{log_{2}{x}}$, $\textcolor{blue}{ln_{e}{x}}$, $\textcolor{red}{log_{10}{x}}$

Eigenschaften von Logarithmusfunktionen

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Wie du auf dem Bild erkennen kannst, haben verschiedene Logarithmusfunktionen der Form $y = log_a ⁡x$ mehrere Gemeinsamkeiten:

Sie haben den Punkt P(1|0) gemeinsam.

Sie verlaufen ausschließlich im ersten und vierten Quadranten.

Die y-Achse, also die Grade mit der Gleichung $x=0$ ist die einzige Asymptote aller dieser Funktionen. Die Funktion nähert stets der $y$-Achse an, wenn die $x$-Werte gegen Null gehen, schneidet sie aber nicht.

Den Definitionsbereich für diese Funktionen bilden alle $x$-Werte, die größer als Null sind: Df=ℝ, $x > 0$. Der Wertebereich sind alle reellen $y$-Werte: Wf=ℝ.

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Wie rechnet man mit Logarithmusfunktionen? Beispiele zur Veranschaulichung des Vorgehens

Wie rechnet man also mit Logarithmusfunktionen und wie können sie aussehen?
Nehmen wir uns erst einmal ein einfaches Beispiel heraus und finden die Lösung:

Beispiel

Beispiel

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Beispiel 1: Wir bestimmen den $x$-Wert der Funktion y=logax zum Funktionswert 4: Das bedeutet, dass wir die Gleichung log3x=4 lösen.

Diese Gleichung sieht komplizierter aus als sie ist.

Wir erinnern uns an die Definition des Logarithmus: logab = c ↔ ac = b

Also ergibt sich folgendes: $3^4 = x$. $x$ ist demzufolge $81$.

Die Lösungsmenge ist also: $\textcolor{green}{L=\{81\}}$.

Manchmal ist es jedoch nicht möglich, die Funktion so schnell umzuformen oder auszurechnen, sodass sie so einfach aussieht. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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Beispiel 2:

$\large{log_{11}(x^2 +40)=2}$.

Wie rechnen wir hier?

  1. Schritt: Aufstellen einer Bedingung:

    Zuerst stellen wir eine Bedingung auf. Da es keinen Logarithmus aus 0 geben kann, weil kein Logarithmus die y-Achse jemals trifft, muss die Voraussetzung im Beispiel $\large{x^2 + 40 > 0}$ sein. Dies ist auch der Fall, denn die Zahl 40 kann niemals negativ sein, und für $x^2$ ist es auch nicht möglich negativ zu werden. Also ist das Weiterrechnen möglich und die Lösung für x kann jede Zahl sein. Somit ist der Definitionsbereich jede reelle Zahl: $\large{D=ℝ}$

  2. Anwenden der Definition:

    Aus log11 (x2 + 40)=2 folgt x2+40=112.

  3. Bestimmen der Lösung

    x2+40=112

    x2+40=121   ❘ - 40

    x2=81

    x1=+√81 = 9

    x2=-√81 = -9

    Die Lösungsmenge ist L = {-9,9}

Nun hast du eine Übersicht über die Anwendung der Logarithmusfunktion bekommen. Teste dein Wissen in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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Bestimme den x-Wert:
$log_{66}(33x)=2$

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Bestimme den x-Wert der Funktion:
$log_{8}(2x)= 10$

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Bestimme den x-Wert der Funktion:
$log_{4}(x)=2$

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Kreuze die richtigen Eigenschaften der Logarithmusfunktion an:

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
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