Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften
Wenn wir in der Mathematik auf die Logarithmusfunktion treffen ist eine Exponentialfunktion auch nicht weit. Das liegt daran, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion für die Exponentialfunktion ist, somit das Errechnen des x-Wertes einfacher fällt, da dieser nicht mehr im Exponenten steht.
In diesem Abschnitt lernst du alle Eigenschaften der Logarithmusfunktion kennen und ein Beispiel wird dir das Rechnen mit diesen Funktionen noch einfacher machen.
Schreibweise und Funktionsgraph
Geschrieben wird der Logarithmus folgendermaßen:
$ y = log_{a}{x} $
Diesen Ausdruck liest man wie folgt: $y$ ist gleich dem Logarithmus von $x$ zur Basis $a$. Auf vielen Taschenrechnern steht „log“ für den dekadischen Logarithmus. Das bedeutet, dass die Basis 10 ist. $a$ ist dabei eine positive reelle Zahl. Die Umkehrfunktion ist die Exponentialfunktion:
$y = a^x$
Auf der verlinkten Seite kannst du dir die Definition und Beispiele zum Logarithmus nochmal anschauen.
Logarithmusfunktionen $\textcolor{green}{log_{2}{x}}$, $\textcolor{blue}{ln_{e}{x}}$, $\textcolor{red}{log_{10}{x}}$
Eigenschaften von Logarithmusfunktionen
Merke
Merke
Hier klicken zum Ausklappen
Wie du auf dem Bild erkennen kannst, haben verschiedene Logarithmusfunktionen der Form $y = log_a x$ mehrere Gemeinsamkeiten:
Sie haben den Punkt P(1|0) gemeinsam.
Sie verlaufen ausschließlich im ersten und vierten Quadranten.
Die y-Achse, also die Grade mit der Gleichung $x=0$ ist die einzige Asymptote aller dieser Funktionen. Die Funktion nähert stets der $y$-Achse an, wenn die $x$-Werte gegen Null gehen, schneidet sie aber nicht.
Den Definitionsbereich für diese Funktionen bilden alle $x$-Werte, die größer als Null sind: Df=ℝ, $x > 0$. Der Wertebereich sind alle reellen $y$-Werte: Wf
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Wie rechnet man mit Logarithmusfunktionen? Beispiele zur Veranschaulichung des Vorgehens
Wie rechnet man also mit Logarithmusfunktionen und wie können sie aussehen?
Nehmen wir uns erst einmal ein einfaches Beispiel heraus und finden die Lösung:
Beispiel
Beispiel
Hier klicken zum Ausklappen
Beispiel 1: Wir bestimmen den $x$-Wert der Funktion y=logax zum Funktionswert 4: Das bedeutet, dass wir die Gleichung log3x=4 lösen.
Diese Gleichung sieht komplizierter aus als sie ist.
Wir erinnern uns an die Definition des Logarithmus: logab = c ↔ ac = b
Also ergibt sich folgendes: $3^4 = x$. $x$ ist demzufolge $81$.
Die Lösungsmenge ist also: $\textcolor{green}{L=\{81\}}$.
Manchmal ist es jedoch nicht möglich, die Funktion so schnell umzuformen oder auszurechnen, sodass sie so einfach aussieht. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an:
Beispiel
Beispiel
Hier klicken zum Ausklappen
Beispiel 2:
$\large{log_{11}(x^2 +40)=2}$.
Wie rechnen wir hier?
- Schritt: Aufstellen einer Bedingung:
Zuerst stellen wir eine Bedingung auf. Da es keinen Logarithmus aus 0 geben kann, weil kein Logarithmus die y-Achse jemals trifft, muss die Voraussetzung im Beispiel $\large{x^2 + 40 > 0}$ sein. Dies ist auch der Fall, denn die Zahl 40 kann niemals negativ sein, und für $x^2$ ist es auch nicht möglich negativ zu werden. Also ist das Weiterrechnen möglich und die Lösung für x kann jede Zahl sein. Somit ist der Definitionsbereich jede reelle Zahl: $\large{D=ℝ}$ - Anwenden der Definition:
Aus log11 (x2 + 40)=2 folgt x2+40=112. - Bestimmen der Lösung
x2+40=112
x2+40=121 ❘ - 40
x2=81
x1=+√81 = 9
x2=-√81 = -9
Die Lösungsmenge ist L = {-9,9}
Nun hast du eine Übersicht über die Anwendung der Logarithmusfunktion bekommen. Teste dein Wissen in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Lektor: Frank Kreuzinger
Teste dein Wissen!
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Hol dir Hilfe beim Studienkreis!
Selbst-Lernportal Online
Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!
- Online-Chat 14-20 Uhr
- 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungsaufgaben
Einzelnachhilfe Online
Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!
- Online-Nachhilfe
- Zum Wunschtermin
- Geprüfte Mathe-Nachhilfelehrer
Nachhilfe in deiner Nähe
Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Nachhilfe in deiner Nähe
- Zum Wunschtermin
- Geprüfte Mathe-Nachhilfelehrer
Unsere Kunden über den Studienkreis
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang