Logarithmusfunktion: Erklärung und Eigenschaften

Beispiel 1: Wir bestimmen den $x$-Wert der Funktion y=log_ax zum Funktionswert 4: Das bedeutet, dass wir die Gleichung log₃x=4 lösen.

Diese Gleichung sieht komplizierter aus als sie ist.

Wir erinnern uns an die Definition des Logarithmus: log_ab = c ↔ a^c = b

Also ergibt sich folgendes: $3^4 = x$. $x$ ist demzufolge $81$.

Die Lösungsmenge ist also: $\textcolor{green}{L=\{81\}}$.

Beispiel 2:

$\large{log_{11}(x^2 +40)=2}$.

Wie rechnen wir hier?

1. Schritt: Aufstellen einer Bedingung:
   
   Zuerst stellen wir eine Bedingung auf. Da es keinen Logarithmus aus 0 geben kann, weil kein Logarithmus die y-Achse jemals trifft, muss die Voraussetzung im Beispiel $\large{x^2 + 40 > 0}$ sein. Dies ist auch der Fall, denn die Zahl 40 kann niemals negativ sein, und für $x^2$ ist es auch nicht möglich negativ zu werden. Also ist das Weiterrechnen möglich und die Lösung für x kann jede Zahl sein. Somit ist der Definitionsbereich jede reelle Zahl: $\large{D=ℝ}$
   
   
2. Anwenden der Definition:
   
   Aus log₁₁ (x² + 40)=2 folgt x²+40=11².
   
   
3. Bestimmen der Lösung
   
   

   x²+40=11²

   x²+40=121   ❘ - 40

   x²=81

   x₁=+√81 = 9

   x₂=-√81 = -9

   Die Lösungsmenge ist L = {-9,9}