Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Arten der Monotonie von Potenzfunktionen.
Es gibt verschiedene Arten von Potenzfunktionen, deren Monotonieverhalten sich unterscheidet. Daher schauen wir uns in diesem Text die Monotonie von Potenzfunktionen genau an.
Merke
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Potenzfunktionen sind Funktionen, die mindestens eine Variable $x$ mit einem Exponenten $n \neq 0$ besitzen und deren Streckungsfaktor $a \neq 0$ ist. Die allgemeine Schreibweise ist: $f(x) = a\cdot x^{n}$.
Hierbei werden die Funktionen, abhängig vom Exponenten, in vier verschiedene Fälle unterteilt:
- gerader, positiver Exponent
- gerader negativer Exponent
- ungerader, positiver Exponent
- ungerader negativer Exponent
Was Monotonie bedeutet und wie sie von jeder beliebigen Funktion bestimmt werden kann, erfährst du hier: Monotonie
Schauen wir uns zunächst das Monotonieverhalten für eine Potenzfunktion mit geradem, positivem Exponenten an:
Monotonie von Potenzfunktionen mit geradem, positivem Exponenten
Beispiel
Beispiel
Ein Beispiel für diese Art von Potenzfunktionen ist: $f(x) = x^2$
Wir sehen, dass die Funktion im Punkt $P(0/0)$ einen Tiefpunkt hat. Jede Potenzfunktion mit geradem, positivem Exponenten besitzt im gleichen Punkt einen Tiefpunkt. Vor dem Tiefpunkt ist die Funktion streng monoton fallend und nach dem Tiefpunkt streng monoton steigend.
Merke
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Die Normalparabel ist weder monoton fallend noch monoton steigend.
Beschränkt man sich jedoch auf die Intervalle:
$x≤0$, so verläuft die Parabel dort streng monoton fallend
$x>0$, so verläuft die Parabel dort streng monoton steigend.
Monotonie von Potenzfunktion mit geradem, negativem Exponenten
Beispiel
Beispiel
Ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem, negativem Exponenten ist: $f(x) = x^{-4}$
Die Funktion hat keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Je näher der x-Wert an Null kommt, desto größer wird der y-Wert. In der Abbildung können wir sehen, dass die Funktion für alle x-Werte kleiner Null, streng monoton steigend ist und für alle Werte größer Null streng monoton fallend ist.
Merke
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Die Funktion ist weder monoton fallend noch monoton steigend.
Beschränkt man sich jedoch auf die Intervalle:
$x<0$, so verläuft die Funktion dort streng monoton steigend
$x>0$, so verläuft die Funktion dort streng monoton fallend.
Beachte: Für $x=0$ ist die Funktion nicht definiert!
Monotonie von Potenzfunktionen mit ungeradem, positivem Exponenten
Beispiel
Beispiel
Ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem, positivem Exponenten ist: $f(x) = x^{3}$
Funktionen mit ungeradem, positivem Exponenten haben am Punkt $P(0/0)$ einen Sattelpunkt. An dieser Stelle ist die Steigung gleich Null. Dennoch ist jeder x-Wert beliebig größer als sein Vorgänger.
Wir sehen, dass die Funktion in jedem Punkt steigt.
Merke
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Für alle $x$ gilt $\rightarrow$ streng monoton steigend.
Monotonie von Potenzfunktionen mit ungeradem, negativem Exponenten
Beispiel
Beispiel
Ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem, negativem Exponenten ist: $f(x) = x^{-3}$
Je näher der x-Wert von links an Null kommt, desto kleiner wird der y-Wert. Je näher der x-Wert von rechts ins Unendliche läuft, desto kleiner wird der y-Wert. In der Abbildung können wir sehen, dass die Funktion für beide Fälle streng monoton fallend ist.
Merke
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Betrachtung der Intervalle:
$x<0$, so verläuft die Funktion dort streng monoton fallend
$x>0$, so verläuft die Funktion dort auch streng monoton fallend.
Beachte: Für $x=0$ ist die Funktion nicht definiert!
Nun weißt du, was das Monotonieverhalten von Potenzfunktionen ist. Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen testen. Viel Erfolg dabei!
Video: Simon Wirth
Text: Chantal Rölle
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
