Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Arten der Monotonie von Potenzfunktionen.
Es gibt verschiedene Arten von Potenzfunktionen, deren Monotonieverhalten sich unterscheidet. Daher schauen wir uns in diesem Text die Monotonie von Potenzfunktionen genau an.
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Potenzfunktionen sind Funktionen der Form $f(x) = a \cdot x^{n}$, wobei $a$ und $n$ beliebige reelle Zahlen sind.
Hierbei werden die Funktionen, abhängig vom Exponenten, in vier verschiedene Fälle unterteilt:
- gerader, positiver Exponent
- gerader negativer Exponent
- ungerader, positiver Exponent
- ungerader negativer Exponent
Was Monotonie bedeutet und wie sie von jeder beliebigen Funktion bestimmt werden kann, erfährst du hier: Monotonie
Schauen wir uns zunächst das Monotonieverhalten für eine Potenzfunktion mit geradem, positivem Exponenten an:
Monotonie von Potenzfunktionen mit geradem, positivem Exponenten
Beispiel
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Ein Beispiel für diese Art von Potenzfunktionen ist: $f(x) = x^2$
Abbildung: Funktion $f(x) = x^2$
Wir sehen, dass die Funktion im Punkt $P(0/0)$ einen Tiefpunkt hat. Jede Potenzfunktion mit geradem, positivem Exponenten besitzt im gleichen Punkt einen Tiefpunkt. Für $ x \le 0$ ist die Funktion streng monoton fallend, für $x \ge 0$ ist die Funktion streng monoton wachsend (steigend).
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Für die Normalparabel kann in ihrer Gesamtheit kein Monotonieverhalten angegeben werden.
Betrachtet man einzelne Intervalle, so stellt man fest:
Für $x \le 0$ ist die Funktion monoton fallend.
Für $x \ge 0$ ist die Funktion monoton wachsend (steigend).
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Monotonie von Potenzfunktion mit geradem, negativem Exponenten
Beispiel
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Ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem, negativem Exponenten ist: $f(x) = x^{-4}$
Abbildung: Funktion $f(x) = x^{-4}$
Die Funktion hat keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Je näher der x-Wert an Null kommt, desto größer wird der y-Wert. In der Abbildung können wir sehen, dass die Funktion für alle x-Werte kleiner Null, streng monoton steigend ist und für alle Werte größer Null streng monoton fallend ist.
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Diese Funktion ist in ihrer Gesamtheit weder monoton fallend noch monoton steigend.
Beschränkt man sich jedoch auf die Intervalle, gilt Folgendes:
Für $x < 0$ verläuft die Funktion streng monoton wachsend (steigend).
Für $x > 0$ verläuft die Funktion streng monoton fallend.
Für $x = 0$ ist die Funktion nicht definiert.
Monotonie von Potenzfunktionen mit ungeradem, positivem Exponenten
Beispiel
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Ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem, positivem Exponenten ist: $f(x) = x^{3}$
Abbildung: Funktion $f(x) = x^{3}$
Funktionen mit ungeradem, positivem Exponenten haben am Punkt $P(0/0)$ einen Sattelpunkt. An dieser Stelle ist die Steigung gleich Null.
Wir sehen, dass die Funktion für jedes $x$ steigt.
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Für diese Funktion gilt also für alle $x$:
Die Funktionswerte (y-Werte) nehmen mit zunehmenden x-Werten zu – die Funktion ist also streng monoton steigend.
Monotonie von Potenzfunktionen mit ungeradem, negativem Exponenten
Beispiel
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Ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem, negativem Exponenten ist: $f(x) = x^{-3}$
Abbildung: Funktion $f(x) = x^{-3}$
Je weiter sich der x-Wert von links der Null nähert, desto kleiner wird der zugehörige Funktionswert. Die y-Werte gehen gegen minus Unendlich. Der Funktionsgraph nähert sich der y-Achse immer mehr, ohne sie zu erreichen. Die y-Achse ist Asymptote.
Je größer der x-Wert wird, desto mehr nähern sich die y-Werte der x-Achse. Diese Werte gehen gegen Null, ohne die x-Achse zu erreichen. Die x-Achse ist ebenfalls Asymptote.
Die Funktion ist also stets streng monoton fallend.
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Diese Funktion ist in ihrer Gesamtheit monoton fallend.
Betrachtung der Intervalle:
Für $x < 0$ verläuft die Funktion streng monoton fallend.
Für $x > 0$ verläuft die Funktion streng monoton fallend.
Für $x = 0$ ist die Funktion nicht definiert.
Nun weißt du, was das Monotonieverhalten von Potenzfunktionen ist. Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen testen. Viel Erfolg dabei!
Video: Simon Wirth
Text: Chantal Rölle
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