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Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen

Monotonie von Potenzfunktionen bestimmen! | Mathe verstehen mit dem Studienkreis
Inhaltsverzeichnis:

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Arten der Monotonie von Potenzfunktionen.

Es gibt verschiedene Arten von Potenzfunktionen, deren Monotonieverhalten sich unterscheidet. Daher schauen wir uns in diesem Text die Monotonie von Potenzfunktionen genau an.

Merke

Potenzfunktionen sind Funktionen der Form $f(x) = a \cdot x^{n}$, wobei $a$ und $n$ beliebige reelle Zahlen sind.

Hierbei werden die Funktionen, abhängig vom Exponenten, in vier verschiedene Fälle unterteilt:

  1. gerader, positiver Exponent
  2. gerader negativer Exponent
  3. ungerader, positiver Exponent
  4. ungerader negativer Exponent

Was Monotonie bedeutet und wie sie von jeder beliebigen Funktion bestimmt werden kann, erfährst du hier: Monotonie

Schauen wir uns zunächst das Monotonieverhalten für eine Potenzfunktion mit geradem, positivem Exponenten an:

Monotonie von Potenzfunktionen mit geradem, positivem Exponenten

Beispiel

Ein Beispiel für diese Art von Potenzfunktionen ist: $f(x) = x^2$

funktion_x_hoch_2

Abbildung: Funktion $f(x) = x^2$

Wir sehen, dass die Funktion im Punkt $P(0/0)$ einen Tiefpunkt hat. Jede Potenzfunktion mit geradem, positivem Exponenten besitzt im gleichen Punkt einen Tiefpunkt. Für $ x \le 0$ ist die Funktion streng monoton fallend, für $x \ge 0$ ist die Funktion streng monoton wachsend (steigend).

Merke

Für die Normalparabel kann in ihrer Gesamtheit kein Monotonieverhalten angegeben werden.

Betrachtet man einzelne Intervalle, so stellt man fest:

Für $x \le 0$ ist die Funktion monoton fallend.

Für $x \ge 0$ ist die Funktion monoton wachsend (steigend).

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Monotonie von Potenzfunktion mit geradem, negativem Exponenten

Beispiel

Ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit geradem, negativem Exponenten ist: $f(x) = x^{-4}$

potenzfunktion-x-hoch-minus-4

Abbildung: Funktion $f(x) = x^{-4}$

Die Funktion hat keinen Hoch- oder Tiefpunkt. Je näher der x-Wert an Null kommt, desto größer wird der y-Wert. In der Abbildung können wir sehen, dass die Funktion für alle x-Werte kleiner Null, streng monoton steigend ist und für alle Werte größer Null streng monoton fallend ist.

Merke

Diese Funktion ist in ihrer Gesamtheit weder monoton fallend noch monoton steigend.

Beschränkt man sich jedoch auf die Intervalle, gilt Folgendes:

Für $x < 0$ verläuft die Funktion streng monoton wachsend (steigend).

Für $x > 0$ verläuft die Funktion streng monoton fallend.

Für $x = 0$ ist die Funktion nicht definiert.

Monotonie von Potenzfunktionen mit ungeradem, positivem Exponenten

Beispiel

Ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem, positivem Exponenten ist: $f(x) = x^{3}$

funktion_x_hoch_drei

Abbildung: Funktion $f(x) = x^{3}$

Funktionen mit ungeradem, positivem Exponenten haben am Punkt $P(0/0)$ einen Sattelpunkt. An dieser Stelle ist die Steigung gleich Null.

Wir sehen, dass die Funktion für jedes $x$ steigt.

Merke

Für diese Funktion gilt also für alle $x$:
Die Funktionswerte (y-Werte) nehmen mit zunehmenden x-Werten zu – die Funktion ist also streng monoton steigend.

Monotonie von Potenzfunktionen mit ungeradem, negativem Exponenten

Beispiel

Ein Beispiel für eine Potenzfunktion mit ungeradem, negativem Exponenten ist: $f(x) = x^{-3}$

potenzfunktion-x-hoch_-3

Abbildung: Funktion $f(x) = x^{-3}$

Je weiter sich der x-Wert von links der Null nähert, desto kleiner wird der zugehörige Funktionswert. Die y-Werte gehen gegen minus Unendlich. Der Funktionsgraph nähert sich der y-Achse immer mehr, ohne sie zu erreichen. Die y-Achse ist Asymptote.
Je größer der x-Wert wird, desto mehr nähern sich die y-Werte der x-Achse. Diese Werte gehen gegen Null, ohne die x-Achse zu erreichen. Die x-Achse ist ebenfalls Asymptote.
Die Funktion ist also stets streng monoton fallend.

Merke

Diese Funktion ist in ihrer Gesamtheit monoton fallend.

Betrachtung der Intervalle:

Für $x < 0$ verläuft die Funktion streng monoton fallend.

Für $x > 0$ verläuft die Funktion streng monoton fallend.

Für $x = 0$ ist die Funktion nicht definiert.

Nun weißt du, was das Monotonieverhalten von Potenzfunktionen ist. Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen testen. Viel Erfolg dabei!

Video: Simon Wirth

Text: Chantal Rölle

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Urheber: Simon Wirth, Fabian Serwitzki, Frank Kreuzinger

Übungsaufgaben

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Wie ist das Monotonieverhalten für die Funktion $f(x) = 2x^5$?

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Welches Monotonieverhalten gilt bei einem geraden negativen Exponenten?

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Welches Monotonieverhalten gilt bei einem ungeraden positiven Exponenten?

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Entscheide anhand des Monotnieverhaltens welche Art von Exponent vorliegt!

potenzfunktion-x-hoch_-3

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