Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
In diesem Text schauen wir uns ein Beispiel einer typischen Kurvendiskussion an. Wir gehen mit dir Schritt für Schritt die zu bearbeitenden Punkte durch.
Gerne kannst du dir vorher nochmal eine Übersicht über die Kurvendiskussion verschaffen.
Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
In unserem Beispiel zur Kurvendiskussion wird die Funktion $f(x) = x^2-3x+2$ behandelt.
1. Definitionsmenge
Die Definitionsmenge der obigen Aufgabe zur Kurvendiskussion besteht aus allen Zahlen, die für die Variable $x$ eingesetzt werden dürfen.
$f(x) = x^2-3x+2$
Welche Werte dürfen für $x$ eingesetzt werden? Es darf jede beliebige Zahl eingesetzt werden. $\rightarrow D_f= \mathbb{R} $
Der Definitionsbereich besteht aus reellen Zahlen.
2. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
1. Nullstellen
Um die Nullstellen der Funktion zu berechnen, müssen wir den Funktionsterm gleich null setzen.
$f(x) = 0$
$f(x)=x^{2}-3x+2=0$
Anschließend verwenden wir die p-q-Formel, um die Nullstellen zu berechnen:
$p=-3$ und $q=2$
$x_{1/2} = \frac{- p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2- q}$
$= -\frac{- 3}{2}\pm \sqrt{(\frac{- 3}{2})^2- 2}$
$= +\frac{ 3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}- \frac{2}{1}}$
$= \frac{ 3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}- \frac{8}{4}}$
$= \frac{ 3}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$
$= \frac{ 3}{2}\pm \frac{1}{2}$
$x_{1} = \frac{ 3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_{2} = \frac{ 3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_1 = 2~~~~\wedge~~~~x_2 = 1$
Die Funktion schneidet die x-Achse in den Punkten $N_1(1/0)$ und $N_2(2/0)$.
2. Schnittpunkte mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, müssen wir $x=0$ einsetzen.
$x=0$
$f(0)=0^{2}-3\cdot 0+2=2$
Die Funktion schneidet die y-Achse in dem Punkt $S_y(0/2)$.
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3. Symmetrieverhalten
Der folgende Schritt in unserem Beispiel behandelt in der Kurvendiskussion die Symmetrie von Funktionen. Die Symmetrie innerhalb einer Kurvendiskussion lässt sich ohne großen Rechenaufwand bestimmen.
Methode
Methode
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- $f(-x) = f(x)$: achsensymmetrisch
- $f(-x) = -f(x)$: punktsymmetrisch
Achsensymmetrisch:
Wir untersuchen die Achsensymmetrie. Wir prüfen also, ob $f(-x)$ = $f(x)$ für jede reelle Zahl $x$ gilt.
$f(-x)=(-x)^{2}-3\cdot (-x) + 2 = x^2\textcolor{red}{+3x} +2$
$f(x) = x^2\textcolor{red}{-3x}+2$
Also müsste gelten: $ \textcolor{red}{3x = -3x} $. Das ist aber nur für $x$ = 0 der Fall. Die Funktion ist also nicht achsensymmetrisch.
Punktsymmetrisch:
Wir untersuchen die Punktsymmetrie. Wir prüfen also, ob $f(-x)$ = $- f(x)$ für jede reelle Zahl $x$ gilt.
$f(-x)=(-x)^{2}-3\cdot (-x)+2 = \textcolor{red}{x^2} +3x \textcolor{red}{+2} $
$- f(x)$ = $ -(x^2-3x+2)$ = $ \textcolor{red}{-x^2} + 3x \textcolor{red}{-2} $
4. Verhalten im Unendlichen
Je größer $x$ wird, desto größer werden die Funktionswerte $y$, die gegen Unendlich laufen.
$\lim_{n \to \infty}x^2-3x+2=\infty $
Werden die $x$-Werte immer kleiner, so gehen die Funktionswerte ebenfalls gegen Unendlich. Das Funktionsbild ist eine nach oben offene Parabel.
$\lim_{n \to -\infty}x^2-3x+2=\infty $
5. Monotonie und Extremwerte
Um einen Extrempunkt zu bestimmen, müssen wir die erste Ableitung bilden und diese gleich null setzen.
$f(x) = x^2-3x+2$
$f'(x) = 2x-3$
$f'(x) = 0$
$0 = 2x-3~~~~~|+3$
$3= 2x~~~~~~|:2$
$1,5 = x$
An dem x-Wert $1,5$ befindet sich ein Extrempunkt. Um zu bestimmen, ob dies ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist, muss die zweite Ableitung gebildet werden:
$f'(x) = 2x-3$
$f''(x) = 2 $
Nun muss der x-Wert eingesetzt werden.
Methode
Methode
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Ist das Ergebnis größer null, liegt ein Tiefpunkt vor. Ist das Ergebnis kleiner null, liegt ein Hochpunkt vor.
Da x in der 2. Ableitung nicht auftritt, entfällt hier in unserem Beispiel das Einsetzen des x-Wertes.
$f''(1,5) = 2 \rightarrow $ Tiefpunkt.
Nun muss noch der dazugehörige Funktionswert ermittelt werden:
$f(1,5) = 1,5^2-3\cdot 1,5+2 =- 0,25$
In dem Punkt $T(1,5/-0,25)$ befindet sich ein Tiefpunkt.
Weil der Graph eine nach oben offene quadratische Parabel ist, ist die Funktion links von Tiefpunkt monoton fallend und rechts davon monoton wachsend.
$x<1,5 \rightarrow f(x) $ ist streng monoton fallend.
6. Krümmung und Wendepunkte
Um den Wendepunkt zu bestimmen, muss die zweite Ableitung gleich null gesetzt werden.
$f''(x) = 2 $
Wird die 2=0 gesetzt, ist das eine falsche Aussage. Diese Funktion hat also keinen Wendepunkt.
Um die Krümmung zu bestimmen, gibt es eine Regel:
Methode
Methode
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Wir setzen für $x$ einen Wert ein und wenn gilt:
$f''(x) < 0 $ → f(x) ist an dieser Stelle rechtsgekrümmt,
Hier ist $f''(x) = 2 $ und damit ist der Funktionsgraph immer linksgekrümmt.
7. Wertebereich und Graph
Wir wissen, dass der Tiefpunkt im Punkt $T(1,5/-0,25)$ liegt und dass die Funktion kein weiteres Extremum hat. Daher können die y-Werte, die kleiner als $-0,25$ sind, nicht im Wertebereich liegen.
$W_f =[-0,25;\infty[$
Als letztes wird der Graph skizziert:
Abbildung: Graph skizzieren
Nun haben wir dir die Kurvendiskussion anhand eines Beispiels gezeigt. Teste dein neu erlerntes Wissen zum Thema Kurvendiskussion online mit unseren Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!
Video: Fabian Serwitzki
Text: Chantal Rölle
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Lektor: Frank Kreuzinger
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