Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
In diesem Text schauen wir uns ein Beispiel einer typischen Kurvendiskussion an. Wir gehen mit dir Schritt für Schritt die zu bearbeitenden Punkte durch.
Gerne kannst du dir vorher nochmal eine Übersicht über die Kurvendiskussion verschaffen.
Kurvendiskussion - Beispielaufgabe mit Lösung
In unserem Beispiel zur Kurvendiskussion wird die Funktion $f(x) = x^2-3x+2$ behandelt.
1. Definitionsmenge
Die Definitionsmenge der obigen Aufgabe zur Kurvendiskussion besteht aus allen Zahlen, die für die Variable $x$ eingesetzt werden dürfen.
$f(x) = x^2-3x+2$
Welche Werte dürfen für $x$ eingesetzt werden? Es darf jede beliebige Zahl eingesetzt werden. $\rightarrow D_f= \mathbb{R} $
Der Definitionsbereich besteht aus reellen Zahlen.
2. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
1. Nullstellen
Um die Nullstellen der Funktion zu berechnen, müssen wir den Funktionsterm gleich null setzen.
$f(x) = 0$
$f(x)=x^{2}-3x+2=0$
Anschließend verwenden wir die p-q-Formel, um die Nullstellen zu berechnen:
$p=-3$ und $q=2$
$x_{1/2} = \frac{- p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2- q}$
$= -\frac{- 3}{2}\pm \sqrt{(\frac{- 3}{2})^2- 2}$
$= +\frac{ 3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}- \frac{2}{1}}$
$= \frac{ 3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}- \frac{8}{4}}$
$= \frac{ 3}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$
$= \frac{ 3}{2}\pm \frac{1}{2}$
$x_{1} = \frac{ 3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$x_{1} = \frac{ 3}{2} - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_1 = 1~~~~\wedge~~~~x_2 = 2$
Die Funktion schneidet die x-Achse an den Stellen $N_1(1/0)$ und $N_2(2/0)$.
2. Schnittpunkte mit der y-Achse
Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, müssen wir $x=0$ einsetzen.
$x=0$
$f(0)=0^{2}-3\cdot 0+2=2$
Die Funktion schneidet die y-Achse an der Stelle $S_y(0/2)$.
3. Symmetrieverhalten
Der folgende Schritt in unserem Beispiel behandelt in der Kurvendiskussion die Symmetrie von Funktionen. Die Symmetrie innerhalb einer Kurvendiskussion lässt sich ohne großen Rechenaufwand bestimmen.
Methode
Methode
- $f(-x) = f(x)$: achsensymmetrisch
- $f(-x) = -f(x)$: punktsymmetrisch
Achsensymmetrisch:
$f(-x)=(-x)^{2}-3\cdot -x+2 = x^2\textcolor{red}{+}3+2 \neq f(x) = x^2-3x+2$
Die Funktion ist nicht achsensymmetrisch.
Punktsymmetrisch:
$f(-x)=(-x)^{2}-3\cdot (-x)+2 = x^2+3x+2 \neq - (x^2-3x+2)$
Die Funktion ist auch nicht punktsymmetrisch.
4. Verhalten im Unendlichen
Je größer $x$ wird, desto größer wird die Funktion. Das bedeutet, dass die Funktion gegen positiv unendlich läuft.
$\lim_{n \to \infty}x^2-3x+2=\infty $
Je kleiner $x$ wird, desto größer wird der Funktionswert.
$\lim_{n \to -\infty}x^2-3x+2=\infty $
5. Monotonie und Extremwerte
Um einen Extrempunkt zu bestimmen, müssen wir die erste Ableitung bilden und diese gleich null setzen.
$f(x) = x^2-3x+2$
$f'(x) = 2x-3$
$f'(x) = 0$
$0 = 2x-3~~~~~|+3$
$3= 2x~~~~~~|:2$
$1,5 = x$
An dem x-Wert $1,5$ befindet sich ein Extrempunkt. Um zu bestimmen, ob dies ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist, muss die zweite Ableitung gebildet werden:
$f'(x) = 2x-3$
$f''(x) = 2 $
Nun muss der x-Wert eingesetzt werden.
Methode
Methode
Ist das Ergebnis größer null, liegt ein Tiefpunkt vor. Ist das Ergebnis kleiner null, liegt ein Hochpunkt vor.
$f''(1,5) = 2 \rightarrow $ Tiefpunkt.
Nun muss noch der dazugehörige Funktionswert ermittelt werden:
$f(1,5) = 1,5^2-3\cdot 1,5+2 =- 0,25$
An dem Punkt $T(1,5/-0,25)$ befindet sich ein Tiefpunkt.
Damit ist die Funktion vor dem Tiefpunkt monoton fallend und nach ihm monoton steigend:
$x
$x>1,5 \rightarrow f(x) $ ist monoton steigend.
6. Krümmung und Wendepunkte
Um den Wendepunkt zu bestimmen, muss die zweite Ableitung gleich null gesetzt werden.
$f''(x) = 2 $
Die Funktion ist eine Konstante für den y-Wert zwei und verläuft parallel zur x-Achse. Damit kann die Funktion nicht gleich null werden. Daraus folgt, dass es keinen Wendepunkt gibt.
Um die Krümmung zu bestimmen, gibt es eine Regel:
Methode
Methode
Wenn $f''(x) > 0$ ist, ist die Funktion linksgekrümmt.
Hier ist $f''(x) = 2 $ und damit ist der Funktionsgraph linksgekrümmt.
7. Wertebereich und Graph
Wir wissen, dass der Tiefpunkt am Punkt $T(1,5/-0,25)$ liegt und dass die Funktion kein weiteres Extremum hat. Daher können die y-Werte, die kleiner als $-0,25$ sind, nicht im Wertebereich liegen.
$W_f =[-0,25;\infty[$
Als letztes wird der Graph skizziert:
Nun haben wir dir die komplette Kurvendiskussion anhand eines Beispiels gezeigt. Teste dein neu erlerntes Wissen zum Thema Kurvendiskussion online mit unseren Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!
Video: Fabian Serwitzki
Text: Chantal Rölle
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