Was sind senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten?

Waagerechte Asymptote

Wie Du im folgenden Bild siehst, nähert sich der Funktionsgraph immer mehr der Gerade $y=2$ an. Das ist auch die waagerechte Asymptote. Eine Methode, eine Gleichung für diese Waagerechte zu ermitteln, ist die Grenzwertbildung. Diesen Grenzwert, den wir hier nur angeben, erhält man über sogenannte Nullfolgen. Für den Grenzwert schreibt man folgendermaßen:

$\lim_{x \to \infty}\frac{2x+10}{x-5}=2$

und liest: Limes von $\frac{2x+10}{x--5}$ für x gegen Unendlich gleich $2$.

Die Funktion, die du hier siehst hat ebenfalls eine senkrechte Asymptote bei $x=5$. Das liegt daran, dass du für x nicht 5 einsetzen darfst, denn dann ist der Nenner Null und diese Division ist ja nicht erklärt.
Die Funktion im vorherigen Abschnitt nähert sich der $x$-Achse immer weiter an. Diese Achse ist eine waagerechte Asymptote. Das siehst du in der Abbildung oben.

Schiefe Asymptoten

Wir sehen hier die Funktion ${f(x) =\frac{x^2+1}{x}}$

Wie du siehst, besitzt die Funktion eine schiefe Asymptote. Das ist bei einer gebrochenrationalen Funktion immer dann der Fall, wenn der Grad des Zählerpolynoms um eins höher ist als der Grad des Nennerpolynoms. Das Zählerpolynom ist quadratisch (x kommt quadratisch vor), das Nennerpolynom linear (x kommt linear vor).
Eine Gleichung der schiefen Asymptote erhält man in diesem Falle, indem man den Bruch umschreibt:
${\frac{x^2+1}{x}}={\frac{x^2}{x}}+{\frac{1}{x}}=x+{\frac{1}{x}}$
Das Ergebnis dieser Umformung besteht aus einem linearen Teil $(x)$ und einem Bruch ${\frac{1}{x}}$. Der lineare Teil stellt eine Gleichung der schiefen Asymptote dar. Es ist also: $a(x) =x$.
Die $y$-Achse ist hier ebenfalls eine Asymptote, allerdings eine senkrechte bei $x=0$. Das liegt daran, dass du für $x$ nicht Null einsetzen darfst, denn diese Division ist ja nicht erklärt.

Zusammenfassung:

Für die Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion ${f(x) =\frac{u(x)}{v(x)}}$ gilt:

Es gibt

…eine senkrechte Asymptote an der Stelle x, wenn der Nenner für dieses x Null ist, der Zähler dagegen nicht.
…eine waagerechte Asymptote, wenn das Zählerpolynom vom Grad her höchstens gleich dem des Nennerpolynoms ist.
…eine schiefe Asymptote, wenn das Zählerpolynom vom Grad her um genau Eins größer ist als der Grad des Nennerpolynoms.

Mit den Übungsaufgaben zu Asymptoten kannst du dein Wissen vertiefen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!