Quadratische Funktionen bestimmen leicht gemacht
In diesem Lerntext zeigen wir dir, wie du mithilfe von drei Punkten eine Gleichung für die quadratische Funktion ermittelst, auf deren Graphen die Punkte liegen. Grundvoraussetzung ist, dass die drei Punkte nicht sämtlich auf derselben Geraden liegen. Durch drei Punkte, die auf einer Geraden liegen, kann man keine eindeutig bestimmbare Parabel legen.
Anzahl der Variablen
Bei einer linearen Funktion - Funktion 1. Grades - gibt es zwei Variablen $f(x) = mx+n$. Hierbei müssen $m$, die Steigung, und $n$, der y-Achsen-Abschnitt, bestimmt werden. Da zwei Variablen gesucht sind, brauchen wir zwei Punkte, um Gleichungen zu bestimmen.
Um eine Funktion 2. Grades, also eine quadratische Funktion zu bestimmen, benötigen wir drei Punkte, die nicht sämtlich auf einer Geraden liegen dürfen. Dies liegt daran, dass drei Variablen bestimmt werden müssen.
$f(x) = ax^2+bx+c$ $\rightarrow$ Die Variablen $ a, b$ und $c$ müssen bestimmt werden.
Zur Bestimmung der Gleichung einer Funktion dritten Grades benötigen wir vier Angaben. Das können die Koordinaten von vier Punkten sein. Entsprechend geht es weiter.
Wir benötigen, um die quadratische Gleichung bestimmen zu können, also drei Punkte.
Merke
$f(x)= \textcolor{green}{a}x^2+\textcolor{green}{b}x+\textcolor{green}{c}$
$\textcolor{green}{a, b ~und~ c}$ müssen bestimmt werden.
$P (\textcolor{red}{x}/\textcolor{blue}{y})$. Der $\textcolor{red}{x-Wert}$ steht immer vorne in der Klammer und der $\textcolor{blue}{y-Wert}$ hinten.
Vorgehensweise
Methode
1. y-Achsenabschnitt bestimmen. Dafür benötigen wir den Punkt, bei dem $x=0$ ist. Damit haben wir schon die erste Stelle, das $c$, bestimmt.
2. Einen beliebigen zweiten Punkt in die Gleichung einsetzen und zu einer Variablen umformen.
3. Die im zweiten Schritt erhaltene Variable in den übrig gebliebenen Punkt einsetzen und ausrechnen. In diesem Schritt haben wir schon die zweite Variable bestimmt.
4. Nun müssen wir nur noch die letzte Variable bestimmen, indem ein beliebiger Punkt eingesetzt und ausrechnet wird.
5. Die Werte von $a, b$ und $c$ müssen jetzt nur noch eingesetzt werden.
6. Wenn noch genügend Zeit ist, kannst du die erhaltene Gleichung mit einem Punkt, der auf der Funktion liegt, noch einmal überprüfen. Setze dafür einen x-Wert ein und schaue, ob der dazugehörige y-Wert herauskommt.
Um die Vorgehensweise zu veranschaulichen, schauen wir uns ein Beispiel an:
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Beispielaufgabe Funktionsgleichung bestimmen
Gegeben sind die Punkte:
$P(-1/1,5)$
$Q(0/4)$
$R(2/12)$
1. y-Achsenabschnitt bestimmen:
Als erstes nehmen wir den Punkt, an dem der x-Wert null ist. Damit können wir den Wert von $c$ direkt ablesen.
$f(0) = a\cdot0^2+b\cdot0+c=y$ $\rightarrow f(0)=c=y$
Also nehmen wir als erstes den Punkt $Q(0/4)$ und setzen den x und y-Wert in die Funktion ein.
$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c = y$
$f(0)=a\cdot 0^2+b\cdot 0+c=4$ $\rightarrow\textcolor{red}{ c=4}$
2. Punkt einsetzen und zu einer Variablen umformen:
Wir nehmen nun einen der beiden Punkte und setzen die x- und y-Werte in die Funktion ein. Der herausgefundene Wert für $c$ wird auch eingesetzt und es ergibt sich mit anschließendem Umformen:
$P(-1/1,5)$
$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
$f(-1)=a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+4=1,5$
$a\cdot 1-b+4=1,5$ $|-4$
$a-b=-2,5$ $|+b$
$\textcolor{orange}{a=-2,5+b}$
3. Umgeformte Variable in anderen Punkt einsetzen:
Die Variable, die wir oben ausgerechnet haben ($\textcolor{orange}{a=-2,5+b}$), setzen wir nun in die Normalform ein. Für den x- und y-Wert nehmen wir den nächsten Punkt, hier $R$.
$R(2/12)$
$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
$f(2)=a\cdot (2)^2+b\cdot 2+4=12$
$\textcolor{orange}{a}\cdot 4+2\cdot b+4=12$
$(\textcolor{orange}{-2,5+b})\cdot 4+2\cdot b+4=12$
Wir haben für die Variable $a$ unsere vorher herausgefundene Gleichung eingesetzt und lösen jetzt so auf, dass wir den Wert für die Variable $b$ bekommen. Es folgt:
$-10+4b+2b+4=12$
$6b-6=12$ $|+6$
$6b=18$ $|:6$
$\textcolor{red}{b=3}$
4. Ausgerechnete Variable einsetzen:
Den Wert von $b$ haben wir nun berechnet. Mit ihm berechnen wir den Wert von $a$.
$\textcolor{orange}{a=-2,5+b}$
$a=-2,5+3$
$\textcolor{red}{a=0,5}$
5. Alle Punkte in die Formel einsetzen:
$\textcolor{red}{ c=4}$
$\textcolor{red}{b=3}$
$\textcolor{red}{a=0,5}$
$f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x + c$
$f(x) = 0,5x^2+3x+4$
6. Probe:
Du solltest wenn möglich immer eine Probe machen. Dafür nimmst du einen Punkt, der auf der Funktion liegt (du kannst auch die gegebenen dafür nehmen) und setzt ihn in die Gleichung ein. Prüfe so, ob zu dem x-Wert der passende y-Wert herauskommt.
$P(-1/1,5)$
$f(-1)=0,5(-1)^2+3(-1)+4=1,5$
Abbildung Graph der Funktion
Die Punkte $A, B$ und $C$ laufen durch den von uns ermittelten Graphen.
Es kann auch sein, dass in einer Aufgabe kein Punkt gegeben ist, an dem der x-Wert gleich null ist. Dann können wir leider nicht direkt den y-Achsenabschnitt bestimmen, sondern müssen ein lineares Gleichungssystem dazu aufstellen.
Eine weitere Möglichkeit ist, dass der Scheitelpunkt gegeben ist. Dann musst du diesen einfach in die Scheitelpunktform einsetzen und gegebenenfalls umformen. Wenn du dies zweimal an einem Beispiel geübt hast, wirst du sehen, dass es gar nicht so schwer ist. Hierbei helfen dir die Übungsaufgaben.
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Lektor: Frank Kreuzinger
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