Mathematik > Funktionen

Funktionen mit der Potenzregel ableiten

Inhaltsverzeichnis:

Du hast bereits lineare Funktionen und andere Funktionen kennengelernt. Nun wirst du eine weitere wichtige Eigenschaft dieser Funktionen erlernen: Sie sind ableitbar.

Mit Hilfe der Ableitung kannst du berechnen, wie groß die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle ist. Das ist zum Beispiel wichtig, wenn man wissen muss, wie schnell etwas zu einem gewissen Zeitpunkt passiert.

Die Potenzregel ist eine von mehreren Regeln für das Ableiten von Funktionen. Eine Funktion wird als $f(x)$ bezeichnet, die Ableitungsfunktion mit einem $\textcolor{red}{Strich}$ versehen, um sie als Ableitung zu markieren: $f\textcolor{red}{'}(x)$

Um die Ableitung einer Funktion der Form $f(x)=x^n$ zu bilden, wird $\textcolor{blue}{n~vor~das~x~geschrieben}$ und gleichzeitig der $\textcolor{green}{Exponent \; n}$ um $1$ reduziert.

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Die allgemeine Form der Potenzregel sieht wie folgt aus:

Funktion: $\large{f(x) = x^n}$

Ableitung: $\large{f\textcolor{red}{'}(x) = \textcolor{blue}{n} \cdot x^{\textcolor{green}{n-1}}}$

 

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Ableitung einer linearen Funktion

Es sei die lineare Funktion f(x)= 2x gegeben. Wendest du nun die Formel aus der MERKE-Box an, lässt sich die Ableitung $f'(x)$ wie folgt bilden: 

$f(x)= 2x= 2x^1$ 

Der Exponent der Funktion ist nicht sichtbar, da keine Zahl rechts über dem x steht. In diesem Fall ist der Exponent immer $1$. Die Ableitung $f'(x)$ berechnet sich daher wie folgt:

$f'(x)= 2 \cdot 1x^{1-1}= 2x^{0} = 2$

Die Ableitung der Funktion $f(x)=2x$ ist immer $2$, da der Anstieg dieser linearen Funktion konstant $2$ ist. Wie am Anfang schon erwähnt, gibt die Ableitung $f'(x)$ die Steigung der Funktion $f(x)$ an. Mithilfe der Ableitung kannst du die Steigung der Funktion an einem beliebigen Punkt berechnen. Du musst einfach den x-Wert des Punktes in die Ableitung einsetzen, also z. B.:

$f'(1)=2$

$f'(2)=2$

$f'(10)=2$

Wie du siehst, hat unsere Funktion immer eine Steigung von $2$, egal welchen x-Wert du einsetzt. Dies liegt daran, dass in der Ableitung kein x mehr vorkommt ($f'(x)=2$). Der Graph einer linearen Funktion besitzt also an jeder Stelle dieselbe Steigung. Dies erkennt man auch gut, wenn man den Graphen einer linearen Funktion zeichnet: Es ist eine Gerade und eine Gerade ist an jeder Stelle gleich steil, besitzt also an jeder Stelle dieselbe Steigung.

 

Wenn du die Funktion f(x) = 2x + 3 gegeben hast, das heißt, dass die lineare Funktion $f(x)=2x$ um $3$ Einheiten entlang der y-Achse nach oben verschoben wurde, ergibt sich für die Ableitung folgendes:

$f(x)= 2x +3= 2x^{1}+3$ 

$f'(x)= 2 \cdot 1x^{1-1}= 2x^{0} = 2$

Wie du siehst, ist die Ableitung der Funktion $f(x)=2x+3$ erneut $2$. Um nun die Steigung der Funktion $f(x)$ an einem bestimmten Punkt, der auf dem Graphen liegt, zu berechnen, musst du wieder, wie oben, für x die x-Koordinate des Punktes einsetzen, also z. B.:

$f'(1)=2$

$f'(2)=2$

$f'(10)=2$

Wie du siehst, hat die Funktion immer eine Steigung von $2$, egal welchen x-Wert du in die Ableitung einsetzt. Dies liegt wieder daran, dass in der Ableitung kein x mehr steht ($f'(x)=2$).

Ableitung einer allgemeinen Potenzfunktion

Wir können wieder die allgemeine Formel der Potenzregel anwenden:

$\large{f(x) = x^n}$

$\large{f\textcolor{red}{'}(x) = \textcolor{blue}{n} \cdot x^{\textcolor{green}{n-1}}}$

Potenzfunktion mit positivem Exponenten

Diesmal sei die Funktion $f(x) =3x^4$ gegeben. Wendest du nun die Formel der Potenzregel an, ergibt sich für die Ableitung folgendes:

$f(x)= 3 x^4$

$f\textcolor{red}{'}(x) = 3\cdot \textcolor{blue}{4} \cdot x^{\textcolor{green}{4-1}} = \textcolor{blue}{12} \cdot x^{\textcolor{green}{3}}$

Wenn wir jetzt die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt suchen, setzen wir einfach die x-Koordinate des Punktes in die Ableitungsfunktion $f'(x)$ ein und erhalten dann als Ergebnis (Funktionswert) die Steigung der Funktion an diesem Punkt.

Um die Steigung im Punkt $P_1(2|8)$ der Funktion $f(x)=3x^4$ herauszufinden, setzen wir einfach die x-Koordinate $2$ in die Ableitung $f'(x)=12 \cdot x^3$ ein.

Wir erhalten: $f'(2)=12 \cdot 2^3 = 96$

Die Funktion besitzt im Punkt $2$ eine Steigung von $96$.

Potenzfunktion mit negativem Exponenten

Es sei die Funktion $f(x) = 2x^{-6}$ gegeben. Wendest du nun die allgemeine Formel der Potenzregel an, ergibt sich für die Ableitung folgendes:

$f(x)= 2x^{-6}$

$f\textcolor{red}{'}(x) = 2\cdot \textcolor{blue}{-6} \cdot x^{\textcolor{green}{-6-1}} = \textcolor{blue}{-12} \cdot x^{\textcolor{green}{-7}}$

Wie du siehst, musst du hier besonders aufpassen!

Das Ableiten von Funktionen mit einem negativen Exponenten ist nicht schwer. Du musst jedoch darauf achten, dass du den Exponenten wirklich um eins reduzierst (Bsp.: -6-1=-7).

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Berechne die Ableitung der Funktion: $f(x)=-3x^{-4}$

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Markiere die richtigen Ableitungen der folgenden Funktionen:
$f(x)= x^5$
$k(a)= a^{1234}$

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Markiere die richtigen Ableitungen der beiden Funktionen:
$f(a)= 2x$
$g(b)= 2b$

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Was genau errechnet man mit der Ableitung einer Funktion?

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