Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden

Herleitung der Summenregel

Wir nutzen die allgemeine Ableitungsregel, mehr dazu im Kapitel Potenzregel:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$

Wir haben aber nicht nur $f(x)$ gegeben, sondern unsere Funktion besteht aus zwei Teilen, die wir $g(x)$ und $k(x)$ nennen. Das heißt, unsere Funktion $f(x)$ ist die Summe aus $g(x)$ und $k(x)$. Das bedeutet:

$f(x)= g(x)+k(x)$

Wir ersetzen also auch in der Ableitungsformel jedes $f(x)$ durch den Ausdruck $g(x)+k(x)$ und erhalten somit:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{(\textcolor{green}{g(x+h)+k(x+h)})-(\textcolor{blue}{g(x)+k(x)})}{h}}$   bzw.

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{\textcolor{green}{g(x+h)+k(x+h)}-\textcolor{blue}{g(x)-k(x)}}{h}}$

Wenn wir jetzt die $g(x)$-Funktionen auf die eine und die $k(x)$-Funktionen auf die andere Seite schreiben, sieht es übersichtlicher aus und wir erhalten:

$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{\textcolor{green}{g(x+h)-g(x)}+\textcolor{blue}{k(x+h)-k(x)}}{h}}$

Wir erkennen, dass der Ausdruck nun sehr ähnlich der Ausgangsfunktion ist. Wenn wir noch einen Schritt weiter gehen und die Funktionsteile auf zwei Brüche schreiben, fällt uns auf, dass die Funktionsteile einzeln abgeleitet werden können:

$\underbrace{\large{\lim\limits_{h \to 0}\textcolor{green}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}_{=g'(x)} + \underbrace{\large{\lim\limits_{h \to 0}\textcolor{blue}{\frac{k(x+h)-k(x)}{h}}}}_{=k'(x)}$

Die Funktionen können einzeln nach der Potenzregel abgeleitet werden. Die Ableitung nach der Summenregel ist also nichts anderes als die Ableitung der einzelnen Summanden nach der Potenzregel.

Anwendung der Summenregel: Beispiel

Schauen wir uns die Regel einmal an einem Zahlenbeispiel an. Wir haben die Funktion $f(x)= 6 \cdot x^4+2 \cdot x^3$ gegeben. Die Summenregel besagt, dass wir die Summanden einzeln ableiten können.

Regel: $f(x)= \textcolor{green}{g(x)} +  \textcolor{blue}{k(x)}$     $\rightarrow$     $f'(x)= \textcolor{green}{g'(x)} + \textcolor{blue}{k'(x)}$

Also ist die Ableitung der Funktion $f(x)= \textcolor{green}{6 \cdot x^4}+\textcolor{blue}{2 \cdot x^3}$ die Funktion

$f'(x)= \textcolor{green}{6 \cdot 4 \cdot x^3}+\textcolor{blue}{2 \cdot 3 \cdot x^2}$, 

vereinfacht: $f'(x)= \textcolor{green}{24} \cdot x^3+\textcolor{blue}{6} \cdot x^2$

Wir haben also die Ableitung gebildet, indem wir die zwei Summanden separat abgeleitet haben (jeweils nach der Potenzregel).

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!