Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden
Merke
Merke
$f(x)=g(x)+k(x)$
$f'(x)= g'(x)+k'(x)$
Für dieses Kapitel ist die Potenzregel, also das einfache Ableiten, eine Grundvoraussetzung. Wenn du dir nicht mehr sicher bist, ob du die Potenzregel kennst und anwenden kannst, schau noch einmal auf unserer Seite über die Potenzregel nach.
Die Summenregel ist eine der wichtigsten Ableitungsregeln. Denn häufig treffen wir auf komplexe Funktionen mit mehreren Summanden, wie etwa $f(x)=2x^3+4x^2+2$. Wir widmen uns nun zunächst der etwas theoretischen Herleitung der Summenregel und dann der eigentlich relativ einfachen Anwendung der Summenregel.
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Herleitung der Summenregel
Wir nutzen die allgemeine Ableitungsregel, mehr dazu im Kapitel Potenzregel:
$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$
Wir haben aber nicht nur $f(x)$ gegeben, sondern unsere Funktion besteht aus zwei Teilen, die wir $g(x)$ und $k(x)$ nennen. Das heißt, unsere Funktion $f(x)$ ist die Summe aus $g(x)$ und $k(x)$. Das bedeutet:
$f(x)= g(x)+k(x)$
Wir ersetzen also auch in der Ableitungsformel jedes $f(x)$ durch den Ausdruck $g(x)+k(x)$ und erhalten somit:
$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{(\textcolor{green}{g(x+h)+k(x+h)})-(\textcolor{blue}{g(x)+k(x)})}{h}}$ bzw.
$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{\textcolor{green}{g(x+h)+k(x+h)}-\textcolor{blue}{g(x)-k(x)}}{h}}$
Wenn wir jetzt die $g(x)$-Funktionen auf die eine und die $k(x)$-Funktionen auf die andere Seite schreiben, sieht es übersichtlicher aus und wir erhalten:
$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{\textcolor{green}{g(x+h)-g(x)}+\textcolor{blue}{k(x+h)-k(x)}}{h}}$
Wir erkennen, dass der Ausdruck nun sehr ähnlich der Ausgangsfunktion ist. Wenn wir noch einen Schritt weiter gehen und die Funktionsteile auf zwei Brüche schreiben, fällt uns auf, dass die Funktionsteile einzeln abgeleitet werden können:
$\underbrace{\large{\lim\limits_{h \to 0}\textcolor{green}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}_{=g'(x)} + \underbrace{\large{\lim\limits_{h \to 0}\textcolor{blue}{\frac{k(x+h)-k(x)}{h}}}}_{=k'(x)}$
Die Funktionen können einzeln nach der Potenzregel abgeleitet werden. Die Ableitung nach der Summenregel ist also nichts anderes als die Ableitung der einzelnen Summanden nach der Potenzregel.
Merke
Merke
Die Summenregel besagt:
Die Ableitung einer Funktion $f(x)= g(x) + k(x)$ ist
$f'(x)= g'(x)+k'(x)$
Die Summenregel gilt für beliebige Funktionen $g$ und $k$.
Anwendung der Summenregel: Beispiel
Schauen wir uns die Regel einmal an einem Zahlenbeispiel an. Wir haben die Funktion $f(x)= 6 \cdot x^4+2 \cdot x^3$ gegeben. Die Summenregel besagt, dass wir die Summanden einzeln ableiten können.
Regel: $f(x)= \textcolor{green}{g(x)} + \textcolor{blue}{k(x)}$ $\rightarrow$ $f'(x)= \textcolor{green}{g'(x)} + \textcolor{blue}{k'(x)}$
Also ist die Ableitung der Funktion $f(x)= \textcolor{green}{6 \cdot x^4}+\textcolor{blue}{2 \cdot x^3}$ die Funktion
$f'(x)= \textcolor{green}{6 \cdot 4 \cdot x^3}+\textcolor{blue}{2 \cdot 3 \cdot x^2}$,
vereinfacht: $f'(x)= \textcolor{green}{24} \cdot x^3+\textcolor{blue}{6} \cdot x^2$
Wir haben also die Ableitung gebildet, indem wir die zwei Summanden separat abgeleitet haben (jeweils nach der Potenzregel).
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
In den Probestunden kann Ihr Kind uns testen und die Nachhilfe im Studienkreis kennenlernen.
In einem unverbindlichen Beratungsgespräch mit Ihnen, finden wir gemeinsam die optimale Förderung für Ihr Kind.
Finden Sie den Studienkreis in Ihrer Nähe!
Geben Sie hier Ihre PLZ oder Ihren Ort ein.
Füllen Sie einfach das Formular aus. Den Gutschein sowie die Kontaktdaten des Studienkreises in Ihrer Nähe erhalten Sie per E-Mail. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis setzt sich mit Ihnen in Verbindung und berät Sie gerne!
Vielen Dank für Ihr Interesse!
Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.