Summenregel: Ableitungen von Funktionen bilden
Merke
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$f(x)=g(x)+k(x)$
$f'(x)= g'(x)+k'(x)$
Für dieses Kapitel ist die Potenzregel, also das einfache Ableiten, eine Grundvoraussetzung. Wenn du dir nicht mehr sicher bist, ob du die Potenzregel kennst und anwenden kannst, schau noch einmal auf unserer Seite über die Potenzregel nach.
Die Summenregel ist eine der wichtigsten Ableitungsregeln. Denn häufig treffen wir auf komplexe Funktionen mit mehreren Summanden, wie etwa $f(x)=2x^3+4x^2+2$. Wir widmen uns nun zunächst der etwas theoretischen Herleitung der Summenregel und dann der eigentlich relativ einfachen Anwendung der Summenregel.
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Herleitung der Summenregel
Wir nutzen die allgemeine Ableitungsregel, mehr dazu im Kapitel Potenzregel:
$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}$
Wir haben aber nicht nur $f(x)$ gegeben, sondern unsere Funktion besteht aus zwei Teilen, die wir $g(x)$ und $k(x)$ nennen. Das heißt, unsere Funktion $f(x)$ ist die Summe aus $g(x)$ und $k(x)$. Das bedeutet:
$f(x)= g(x)+k(x)$
Wir ersetzen also auch in der Ableitungsformel jedes $f(x)$ durch den Ausdruck $g(x)+k(x)$ und erhalten somit:
$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{(\textcolor{green}{g(x+h)+k(x+h)})-(\textcolor{blue}{g(x)+k(x)})}{h}}$ bzw.
$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{\textcolor{green}{g(x+h)+k(x+h)}-\textcolor{blue}{g(x)-k(x)}}{h}}$
Wenn wir jetzt die $g(x)$-Funktionen auf die eine und die $k(x)$-Funktionen auf die andere Seite schreiben, sieht es übersichtlicher aus und wir erhalten:
$\large{\lim\limits_{h \to 0}\frac{\textcolor{green}{g(x+h)-g(x)}+\textcolor{blue}{k(x+h)-k(x)}}{h}}$
Wir erkennen, dass der Ausdruck nun sehr ähnlich der Ausgangsfunktion ist. Wenn wir noch einen Schritt weiter gehen und die Funktionsteile auf zwei Brüche schreiben, fällt uns auf, dass die Funktionsteile einzeln abgeleitet werden können:
$\underbrace{\large{\lim\limits_{h \to 0}\textcolor{green}{\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}}}_{=g'(x)} + \underbrace{\large{\lim\limits_{h \to 0}\textcolor{blue}{\frac{k(x+h)-k(x)}{h}}}}_{=k'(x)}$
Die Funktionen können einzeln nach der Potenzregel abgeleitet werden. Die Ableitung nach der Summenregel ist also nichts anderes als die Ableitung der einzelnen Summanden nach der Potenzregel.
Merke
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Die Summenregel besagt:
Die Ableitung einer Funktion $f(x)= g(x) + k(x)$ ist
$f'(x)= g'(x)+k'(x)$
Die Summenregel gilt für beliebige Funktionen $g$ und $k$.
Anwendung der Summenregel: Beispiel
Schauen wir uns die Regel einmal an einem Zahlenbeispiel an. Wir haben die Funktion $f(x)= 6 \cdot x^4+2 \cdot x^3$ gegeben. Die Summenregel besagt, dass wir die Summanden einzeln ableiten können.
Regel: $f(x)= \textcolor{green}{g(x)} + \textcolor{blue}{k(x)}$ $\rightarrow$ $f'(x)= \textcolor{green}{g'(x)} + \textcolor{blue}{k'(x)}$
Also ist die Ableitung der Funktion $f(x)= \textcolor{green}{6 \cdot x^4}+\textcolor{blue}{2 \cdot x^3}$ die Funktion
$f'(x)= \textcolor{green}{6 \cdot 4 \cdot x^3}+\textcolor{blue}{2 \cdot 3 \cdot x^2}$,
vereinfacht: $f'(x)= \textcolor{green}{24} \cdot x^3+\textcolor{blue}{6} \cdot x^2$
Wir haben also die Ableitung gebildet, indem wir die zwei Summanden separat abgeleitet haben (jeweils nach der Potenzregel).
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!
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Bilde die Ableitung der folgenden Funktion:
$f(x)=3 \cdot x^{3}+ 5 \cdot x^{-3}$
Achtung! Aufgabe für Tüftler!
Bilde die Ableitung:
$f(x)= 7 \cdot x^9 + 3 \cdot x^5$
Bilde die Ableitung folgender Funktion:
$m(x)=45 \cdot x^{50} - 20 \cdot x^{50}$
Wie lautet die Ableitung der Funktion?
$f(x)=g(x)+h(x)$
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