Potenzen - Definition und Beispiele
Potenz, Potenzial, Potenzieren - all diese Begriffe sind dir sicherlich schon einmal untergekommen. Doch was soll daran mathematisch sein? Wir werden uns jetzt mit dem Potenzieren von Zahlen beschäftigen und werden verstehen, wofür eine Potenz steht, was eine Basis oder ein Exponent ist und was du bei negativen Zahlen beachten musst.
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Definition einer Potenz
Eine Potenz steht für eine bestimmte Rechenoperation - sie ist sozusagen eine Art mathematische Abkürzung. Und wir können sogar noch genauer werden: eine Potenz beschreibt eine Multiplikation.
Merke
Die Potenz beschreibt einen mathematischen Ausdruck, bei dem eine Zahl mehrmals mit sich selber multipliziert (malgenommen) wird.
Eine Potenz besteht aus einer Basis, einem Exponenten, der oben rechts an die Basis geschrieben wird, und dem Ergebnis, das man auch Potenzwert nennt. Welche Funktion haben diese Zahlen? Um das zu verstehen lohnt es sich, die Multiplikation, die eine Potenz beschreibt, einfach einmal auszuschreiben.
Was ist denn nun passiert? Vergleichst du die Potenz mit der ausgeschriebenen Multiplikation, sollte dir etwas auffallen. Eine Potenz besteht, wie bereits gesagt, aus Basis, Exponent und Ergebnis - doch was davon findet sich in der ausgeschriebenen Variante wieder? Tatsächlich finden wir nur die Basis (2) und das Ergebnis (8). Wo ist der Exponent hin?
Der Exponent als Zahl ist nicht direkt Bestandteil der Rechnung, sondern steht lediglich für die Anzahl der Multiplikationen der Basis mit sich selbst. Wenden wir dies auf unser Beispiel an: Die drei taucht als Zahl nicht in der Rechnung auf - zählt man jedoch die Anzahl an Zweien (also der Basis), erhält man wieder die drei (den Exponenten).
Alles, was wir bis jetzt gelernt haben, lässt sich auch noch einmal in einer allgemeinen Form schreiben:
Sowohl $a$ als auch $n$ können dabei negative oder positive Werte annehmen. Im Moment gehen wir aber zunächst von positiven Exponenten ($n$) aus.
Merke
Ist der Exponent $null$, ergibt sich als Potenzwert definitionsgemäß $eins$, unabhängig vom Wert der Basis.
Es gilt also: $a^0 = 1$
Beispiele für Potenzen
Beispiel
(1) $ 3^3 = 3\cdot 3\cdot 3 = 27 $
(2) $ 4^4 = 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4 = 256 $
(3) $ 4^6 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4096 $
(4) $ 9^5 = 9\cdot 9\cdot 9\cdot 9 \cdot 9 = 59049 $
Besonderheiten beim Potenzieren: negative Zahlen als Basis
Viele Schüler haben Probleme bei der Auflösung von Potenzen, bei denen die Basis negativ ist:
$ (-2)^3 = (-2)\cdot (-2)\cdot (-2) = -8 $
$ (-2)^4 = (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2) = 16 $
An dieser Stelle müssen wir auf dein mathematisches Vorwissen zurückgreifen. Du erinnerst dich vielleicht an folgende Regeln: Bei der Multiplikation zweier Zahlen mit gleichem Vorzeichen ($+$,$+$ oder $-$,$-$) erhält man eine positive Zahl, bei der Multiplikation zweier Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen ($+$,$-$ oder $-$,$+$) erhält man eine negative Zahl.
Für Potenzen lassen sich demnach zwei einfache Regeln ableiten:
- Handelt es sich bei der Basis um eine negative Zahl und ist der Exponent ungerade, ergibt sich als Ergebnis eine negative Zahl.
- Handelt es sich bei der Basis um eine negative Zahl und ist der Exponent gerade, ergibt sich als Ergebnis eine positive Zahl.
Merke
- Handelt es sich bei der Basis um eine negative Zahl und ist der Exponent ungerade, ergibt sich als Ergebnis eine negative Zahl.
- Handelt es sich bei der Basis um eine negative Zahl und ist der Exponent gerade, ergibt sich als Ergebnis eine positive Zahl.
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Welchen Wert darf der Exponent $n$ maximal annehmen, wenn der Potenzwert kleiner als 2500 sein muss? (Du kannst, im Notfall, auch deinen Taschenrechner zu Hilfe nehmen.)
$3^n < 2500$
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