Lineare Gleichungssysteme lösen - Einsetzungsverfahren
Lineare Gleichungssysteme lassen sich auf viele Arten lösen. Für den Fall, dass wir ein Gleichungssystem betrachten, das aus zwei Gleichungen besteht, bietet sich das sogenannte Einsetzverfahren an. Bei Gleichungssystemen mit mehr Gleichungen und Variablen ist diese Methode meist zu aufwendig.
Merke
Merke
Beim Einsetzverfahren löst man eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auf und setzt diese in die andere Gleichung ein.
Beispiel
Beispiel
Betrachten wir dieses lineare Gleichungssystem:
$|6\cdot x + 12 \cdot y = 30|$
$|3 \cdot x + 3\cdot y = 9|$
1. Schritt: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen
Für den ersten Schritt musst du zunächst eine Entscheidung treffen: Welche Gleichung willst du nach welcher Variablen umformen? Theoretisch ist es egal wofür du dich entscheidest, da alles zum selben Ergebnis führt. Du wirst später aber auch auf Aufgaben stoßen, bei der ein Weg durchaus schwerer sein kann als der andere. Manchmal muss man also einfach ausprobieren, welcher Weg sich als der bessere erweist.
In unserem Beispiel beginnen wir mit der oberen Gleichung und stellen nach der Variablen $x$ um. Diese Umformung folgt den Regeln zum Lösen von Gleichungen. Dein wichtigstes Werkzeug ist also die Äquivalenzumformung.
$6\cdot x + 12 \cdot y = 30~~~~| -12\cdot y$
$6 \cdot x = 30 - 12\cdot y~~~~| : 6$
$x = 5 - 2 \cdot y$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
2. Schritt: Ausdruck der Variable in die andere Gleichung einsetzen
Den Ausdruck, den wir für $x$ erhalten haben, können wir nun in die zweite Gleichung einsetzen.
$3 \cdot x + 3\cdot y = 9~~~~| $x einsetzen
$3 \cdot (5 - 2\cdot y) + 3\cdot y = 9$
Durch das Einsetzen von $x$ erhalten wir eine Gleichung, die nur eine Variable, in diesem Fall $y$, enthält. Durch Umformen erhalten wir einen exakten Wert für $y$:
$3 \cdot (5 - 2\cdot y) + 3\cdot y = 9~~~~| $Klammer ausmultiplizieren
$15 - 6\cdot y + 3\cdot y = 9~~~~|$zusammenfassen
$15 - 3\cdot y = 9~~~~| -15$
$- 3\cdot y = - 6~~~~| : (-3)$
$y = 2$
3. Schritt: Ausgerechnete Variable einsetzen
Wir haben einen Wert für $y$. Nun müssen wir diesen Wert noch in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen, die ja sowohl die Variable $x$ als auch die Variable $y$ enthalten. Welche Gleichung du nimmst ist egal.
Wir setzen den errechneten Wert für $y$ in die erste Gleichung ein.
$6\cdot x + 12 \cdot y = 30~~~~| $y einsetzen
$6\cdot x + 12 \cdot 2 = 30~~~~| $umformen
$6 \cdot x + 24 = 30~~~~| - 24$
$6 \cdot x =6~~~~|:6$
$x = 1$
Wir erhalten als Lösung also $x = 1$ und $y = 2$.
4. Probe der Ergebnisse
Um sicher zu gehen, dass die Ergebnisse korrekt sind, setzen wir zum Schluss noch die errechneten Werte für $x$ und $y$ in die beiden Gleichungen ein.
$6\cdot 1 + 12 \cdot 2 = 30~~~~~~~~~~3\cdot 1 + 3\cdot 2 = 9$
$30 = 30~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~9 = 9$
Der mathematische Ausdruck ist korrekt, somit ist unsere Lösung richtig.
Merke
Merke
Lösen von linearen Gleichungen mit Hilfe des Einsetzverfahrens
1. Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen.
2. Ausdruck der Variable in die andere Gleichung einsetzen.
3. Ausgerechnete Variable einsetzen.
4. Probe der Ergebnisse mit Hilfe der Ausgangsgleichungen.
Jetzt hast du einen detaillierten Überblick über die Anwendung des Einsetzungsverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen bekommen. Ob du alles verstanden hast, kannst du nun anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Teste dein Wissen!
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
In den Probestunden kann Ihr Kind uns testen und die Nachhilfe im Studienkreis kennenlernen.
In einem unverbindlichen Beratungsgespräch mit Ihnen, finden wir gemeinsam die optimale Förderung für Ihr Kind.
Finden Sie den Studienkreis in Ihrer Nähe!
Geben Sie hier Ihre PLZ oder Ihren Ort ein.
Füllen Sie einfach das Formular aus. Den Gutschein sowie die Kontaktdaten des Studienkreises in Ihrer Nähe erhalten Sie per E-Mail. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis setzt sich mit Ihnen in Verbindung und berät Sie gerne!
Vielen Dank für Ihr Interesse!
Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.