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Lineare Gleichungssysteme lösen - Einsetzungsverfahren

Lineare Gleichungssysteme lassen sich auf viele Arten lösen. Für den Fall, dass wir ein Gleichungssystem betrachten, das aus zwei Gleichungen besteht, bietet sich das sogenannte Einsetzverfahren an. Bei Gleichungssystemen mit mehr Gleichungen und Variablen ist diese Methode meist zu aufwendig.

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Beim Einsetzverfahren löst man eine der beiden Gleichungen nach einer Variablen auf und setzt diese in die andere Gleichung ein.

Beispiel

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Betrachten wir dieses lineare Gleichungssystem:

$|6\cdot x + 12 \cdot y = 30|$

$|3 \cdot x + 3\cdot y = 9|$

1. Schritt: Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen

Für den ersten Schritt musst du zunächst eine Entscheidung treffen: Welche Gleichung willst du nach welcher Variablen umformen? Theoretisch ist es egal wofür du dich entscheidest, da alles zum selben Ergebnis führt. Du wirst später aber auch auf Aufgaben stoßen, bei der ein Weg durchaus schwerer sein kann als der andere. Manchmal muss man also einfach ausprobieren, welcher Weg sich als der bessere erweist.

In unserem Beispiel beginnen wir mit der oberen Gleichung und stellen nach der Variablen $x$ um. Diese Umformung folgt den Regeln zum Lösen von Gleichungen. Dein wichtigstes Werkzeug ist also die Äquivalenzumformung.

$6\cdot x + 12 \cdot y = 30~~~~| -12\cdot y$

$6 \cdot x = 30 - 12\cdot y~~~~| : 6$

$x = 5 - 2 \cdot y$

2. Schritt: Ausdruck der Variable in die andere Gleichung einsetzen

Den Ausdruck, den wir für $x$ erhalten haben, können wir nun in die zweite Gleichung einsetzen.

$3 \cdot x + 3\cdot y = 9~~~~| $x einsetzen

$3 \cdot (5 - 2\cdot y) + 3\cdot y = 9$

Durch das Einsetzen von $x$ erhalten wir eine Gleichung, die nur eine Variable, in diesem Fall $y$, enthält. Durch Umformen erhalten wir einen exakten Wert für $y$:

$3 \cdot (5 - 2\cdot y) + 3\cdot y = 9~~~~| $Klammer ausmultiplizieren

$15 - 6\cdot y + 3\cdot y = 9~~~~|$zusammenfassen

$15 - 3\cdot y = 9~~~~| -15$

$- 3\cdot y = - 6~~~~| : (-3)$

$y = 2$

3. Schritt: Ausgerechnete Variable einsetzen

Wir haben einen Wert für $y$. Nun müssen wir diesen Wert noch in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen, die ja sowohl die Variable $x$ als auch die Variable $y$ enthalten. Welche Gleichung du nimmst ist egal.

Wir setzen den errechneten Wert für $y$ in die erste Gleichung ein.

$6\cdot x + 12 \cdot y = 30~~~~| $y einsetzen

$6\cdot x + 12 \cdot 2 = 30~~~~| $umformen

$6 \cdot x + 24 = 30~~~~| - 24$

$6 \cdot x =6~~~~|:6$

$x = 1$

Wir erhalten als Lösung also $x = 1$ und $y = 2$.

4. Probe der Ergebnisse

Um sicher zu gehen, dass die Ergebnisse korrekt sind, setzen wir zum Schluss noch die errechneten Werte für $x$ und $y$ in die beiden Gleichungen ein.

$6\cdot 1 + 12 \cdot 2 = 30~~~~~~~~~~3\cdot 1 + 3\cdot 2 = 9$

$30 = 30~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~9 = 9$

Der mathematische Ausdruck ist korrekt, somit ist unsere Lösung richtig.

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Lösen von linearen Gleichungen mit Hilfe des Einsetzverfahrens

1. Eine Gleichung nach einer Variablen auflösen.

2. Ausdruck der Variable in die andere Gleichung einsetzen.

3. Ausgerechnete Variable einsetzen.

4. Probe der Ergebnisse mit Hilfe der Ausgangsgleichungen.

Jetzt hast du einen detaillierten Überblick über die Anwendung des Einsetzungsverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen bekommen. Ob du alles verstanden hast, kannst du nun anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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