Lineare Gleichungssysteme lösen - Einsetzungsverfahren

2. Schritt: Ausdruck der Variable in die andere Gleichung einsetzen

Den Ausdruck, den wir für $x$ erhalten haben, können wir nun in die zweite Gleichung einsetzen.

$3 \cdot x + 3\cdot y = 9~~~~| $x einsetzen

$3 \cdot (5 - 2\cdot y) + 3\cdot y = 9$

Durch das Einsetzen von $x$ erhalten wir eine Gleichung, die nur eine Variable, in diesem Fall $y$, enthält. Durch Umformen erhalten wir einen exakten Wert für $y$:

$3 \cdot (5 - 2\cdot y) + 3\cdot y = 9~~~~| $Klammer ausmultiplizieren

$15 - 6\cdot y + 3\cdot y = 9~~~~|$zusammenfassen

$15 - 3\cdot y = 9~~~~| -15$

$- 3\cdot y = - 6~~~~| : (-3)$

$y = 2$

3. Schritt: Ausgerechnete Variable einsetzen

Wir haben einen Wert für $y$. Nun müssen wir diesen Wert noch in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen, die ja sowohl die Variable $x$ als auch die Variable $y$ enthalten. Welche Gleichung du nimmst ist egal.

Wir setzen den errechneten Wert für $y$ in die erste Gleichung ein.

$6\cdot x + 12 \cdot y = 30~~~~| $y einsetzen

$6\cdot x + 12 \cdot 2 = 30~~~~| $umformen

$6 \cdot x + 24 = 30~~~~| - 24$

$6 \cdot x =6~~~~|:6$

$x = 1$

Wir erhalten als Lösung also $x = 1$ und $y = 2$.

4. Probe der Ergebnisse

Um sicher zu gehen, dass die Ergebnisse korrekt sind, setzen wir zum Schluss noch die errechneten Werte für $x$ und $y$ in die beiden Gleichungen ein.

$6\cdot 1 + 12 \cdot 2 = 30~~~~~~~~~~3\cdot 1 + 3\cdot 2 = 9$

$30 = 30~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~9 = 9$

Der mathematische Ausdruck ist korrekt, somit ist unsere Lösung richtig.

Jetzt hast du einen detaillierten Überblick über die Anwendung des Einsetzungsverfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen bekommen. Ob du alles verstanden hast, kannst du nun anhand unserer Übungen testen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!