Zweites Logarithmusgesetz: Logarithmus eines Quotienten
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Herleitung und der Anwendung des zweiten Logarithmusgesetzes.
Merke
2. Logarithmusgesetz:
Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$
Beispiele für das zweite Logarithmusgesetz
Beispiel
(1) $\log_{4}(\frac{1}{16}) = \log_{4}(1) - \log_{4}(16) = 0 - 2 = -2$
(2) $\log_{6}(\frac{1}{216}) = \log_{6}(1) - \log_{6}(216) = 0 - 3 = -3$
(3) $\log_{2}(\frac{32}{1024}) = \log_{2}(32) - \log_{2}(1024) = 5 - 10 = -5$
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Herleitung des zweiten Logarithmusgesetzes
Um auf das entsprechende Gesetz zu kommen betrachten wir zunächst folgende Gleichung:
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = z $
Unser Ziel ist es, eine alternative Schreibweise für $z$ zu finden, um $x$ und $y$ getrennt voneinander zu behandeln. Dabei beginnen wir analog zur Herleitung des ersten Logarithmusgesetzes mit dem Aufstellen der einzelnen Logarithmen:
Methode
Beide Logarithmen lassen sich unabhängig voneinander aufschreiben und ergeben jeweils ein anderes Ergebnis (m und n).
$\log_{a}(x) = m a^m = x$
$\log_{a}(y) = n a^n = y$
Durch die Potenzschreibweise kann ich den Quotienten auch anders darstellen, indem ich $x$ und $y$ durch $a^m$ und $a^n$ ersetze.
$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n}$
Wir haben es nun mit zwei Potenzen gleicher Basis zu tun, die durch einander geteilt werden. Wendet man das entsprechende Potenzgesetz an, ergibt sich:
$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Wir können also $a^{m-n}$ für $\frac{x}{y}$ in die Ausgangsgleichung einsetzen:
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(a^{m-n})$
Fassen wir diesen Schritt nochmal in Worte: Nach dem Einsetzen erhalten wir den Logarithmus von $a^{m-n}$ zur Basis $a$. Anders ausgedrückt: Mit was muss ich $a$ hoch nehmen um $a^{m-n}$ zu erhalten? Das Ergebnis liegt auf der Hand:
$\log_{a}(a^{m-n}) = m - n$
Kommen wir also wieder zurück zur Ausgangsgleichung. Durch Logarithmieren ergibt sich:
$\frac{x}{y} = a^{m-n} \log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n$
Jetzt müssen wir nur noch die Variablen m und n ersetzen. Um herauszufinden, für was $m$ und $n$ stehen, schaue nochmal oben im grünen Kasten nach.
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n \log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$
Merke
2. Logarithmusgesetz:
Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$
Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, einer Potenz oder einer Wurzel.
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