Zweites Logarithmusgesetz: Logarithmus eines Quotienten
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Herleitung und der Anwendung des zweiten Logarithmusgesetzes.
Merke
Merke
2. Logarithmusgesetz:
Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$
Beispiele für das zweite Logarithmusgesetz
Beispiel
Beispiel
(1) $\log_{4}(\frac{1}{16}) = \log_{4}(1) - \log_{4}(16) = 0 - 2 = -2$
(2) $\log_{6}(\frac{1}{216}) = \log_{6}(1) - \log_{6}(216) = 0 - 3 = -3$
(3) $\log_{2}(\frac{32}{1024}) = \log_{2}(32) - \log_{2}(1024) = 5 - 10 = -5$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Herleitung des zweiten Logarithmusgesetzes
Um auf das entsprechende Gesetz zu kommen betrachten wir zunächst folgende Gleichung:
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = z $
Unser Ziel ist es, eine alternative Schreibweise für $z$ zu finden, um $x$ und $y$ getrennt voneinander zu behandeln. Dabei beginnen wir analog zur Herleitung des ersten Logarithmusgesetzes mit dem Aufstellen der einzelnen Logarithmen:
Methode
Methode
Beide Logarithmen lassen sich unabhängig voneinander aufschreiben und ergeben jeweils ein anderes Ergebnis (m und n).
$\log_{a}(x) = m a^m = x$
$\log_{a}(y) = n a^n = y$
Durch die Potenzschreibweise kann ich den Quotienten auch anders darstellen, indem ich $x$ und $y$ durch $a^m$ und $a^n$ ersetze.
$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n}$
Wir haben es nun mit zwei Potenzen gleicher Basis zu tun, die durch einander geteilt werden. Wendet man das entsprechende Potenzgesetz an, ergibt sich:
$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Wir können also $a^{m-n}$ für $\frac{x}{y}$ in die Ausgangsgleichung einsetzen:
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(a^{m-n})$
Fassen wir diesen Schritt nochmal in Worte: Nach dem Einsetzen erhalten wir den Logarithmus von $a^{m-n}$ zur Basis $a$. Anders ausgedrückt: Mit was muss ich $a$ hoch nehmen um $a^{m-n}$ zu erhalten? Das Ergebnis liegt auf der Hand:
$\log_{a}(a^{m-n}) = m - n$
Kommen wir also wieder zurück zur Ausgangsgleichung. Durch Logarithmieren ergibt sich:
$\frac{x}{y} = a^{m-n} \log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n$
Jetzt müssen wir nur noch die Variablen m und n ersetzen. Um herauszufinden, für was $m$ und $n$ stehen, schaue nochmal oben im grünen Kasten nach.
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n \log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$
Merke
Merke
2. Logarithmusgesetz:
Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$
Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, einer Potenz oder einer Wurzel.
Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun an unseren Aufgaben testen. Viel Erfolg dabei!
Teste dein Wissen!
Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?
$\log_{4}(4) - \log_{4}(5)$
Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?
$\log_{x}(1)$
Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?
$\log_{12}(\frac{4}{9}) $
Wende das zweite Logarithmusgesetz an und berechne im zweiten Schritt. (Runde auf eine Nachkommastelle)
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema































Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
Schon registriert? Hier einloggen

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Schon registriert? Hier einloggen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Bereits registriert? Hier einloggen