Wurzeln addieren und subtrahieren
Ähnlich wie beim Potenzieren musst du auch bei der Wurzelrechnung bestimmte Rechengesetze beachten. In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Addition und Subtraktion von Wurzeln. Dabei geht es meist darum, einen Term aus Wurzeln zu vereinfachen, also so weit wie möglich zusammenzufassen.
Zunächst ein wichtiger Hinweis: Wurzeln können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie
- den gleichen Radikanden (der Wert unter der Wurzel) und
- den gleichen Wurzelexponenten (der Wert auf der Wurzel)
besitzen.
Außerdem müssen sie eine solche Form haben: $a \cdot \sqrt{b} $
Wurzeln addieren
Zwei Wurzeln werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.
$\textcolor{red}{6} \cdot \sqrt[2]{3} + \textcolor{red}{4} \cdot \sqrt[2]{3} = \textcolor{red}{(6 + 4)} \cdot \sqrt[2]{3} = \textcolor{red}{10} \cdot \sqrt[2]{3}$
Ist der Koeffizient $1$, wird er meist nicht mit aufgeschrieben.
$\sqrt[7]{6} + 3 \cdot \sqrt[7]{6} = (1 + 3) \cdot \sqrt[7]{6} = 4 \cdot \sqrt[7]{6}$
Beispiel
$7 \cdot \sqrt[5]{3} + 2 \cdot \sqrt[5]{3} = 9 \cdot \sqrt[5]{3}$
$12 \cdot \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} = 17 \cdot \sqrt{5}$
$\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} = 2 \cdot \sqrt[3]{3}$
Merke
Zwei Wurzeln werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.
$\textcolor{red}{b} \cdot \sqrt[n]{a} + \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt[n]{a} = \textcolor{red}{(b + c)} \cdot \sqrt[n]{a}$
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Wurzeln subtrahieren
Das Subtrahieren von Wurzeln funktioniert ganz ähnlich wie das Addieren. Zwei Wurzeln werden subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten subtrahiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.
$\textcolor{red}{6} \cdot \sqrt[2]{3} - \textcolor{red}{4} \cdot \sqrt[2]{3} = \textcolor{red}{(6 - 4)} \cdot \sqrt[2]{3} = \textcolor{red}{2} \cdot \sqrt[2]{3}$
Beispiel
$10 \cdot \sqrt[4]{24} - 2 \cdot \sqrt[4]{24} = 8 \cdot \sqrt[4]{24}$
$5 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{3}$
$3 \cdot \sqrt[2]{3} - \sqrt[2]{3} = 2 \cdot \sqrt[2]{3}$
Merke
Zwei Wurzeln werden subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten subtrahiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.
$\textcolor{red}{b} \cdot \sqrt[n]{a} - \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt[n]{a} = \textcolor{red}{(b - c)} \cdot \sqrt[n]{a}$
Methode
Achtung!
Sehr oft werden Wurzeln fälschlicherweise auf dieselbe Weise addiert bzw. subtrahiert, wie sie multipliziert werden:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5}~~~~~~~~\textcolor{green}{RICHTIG}$
$\sqrt{4} \pm \sqrt{5} = \sqrt{4 \pm 5}~~~~\textcolor{red}{FALSCH}$
Wann können Wurzeln nicht addiert oder subtrahiert werden?
Das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln ist an viele Bedingungen geknüpft. Oft werden nicht alle diese Bedingungen erfüllt und du kannst die Wurzeln gar nicht miteinander verrechnen. Schauen wir uns an auf welche Probleme du treffen kannst:
1. Unterschiedliche Wurzelexponenten
Ist der Wurzelexponent nicht gleich, können Wurzeln nicht durch Addieren oder Subtrahieren zusammengefasst werden.
$\sqrt[\textcolor{red}{n}]{a} \pm \sqrt[\textcolor{red}{m}]{a} = / $
Beispiel
$\sqrt[\textcolor{red}{2}]{16} \pm \sqrt[\textcolor{red}{3}]{16}$
$\sqrt[\textcolor{red}{4}]{256} \pm \sqrt[\textcolor{red}{2}]{256}$
2. Unterschiedliche Radikanden
Du kannst auch keine Wurzeln durch Addieren oder Subtrahieren zusammenfassen, wenn sich unterhalb der Wurzel unterschiedliche Zahlen befinden.
$\sqrt[n]{\textcolor{red}{a}} \pm \sqrt[n]{\textcolor{red}{b}} = /$
Beispiel
$\sqrt{\textcolor{red}{5}} \pm \sqrt{\textcolor{red}{16}}$
$\sqrt[4]{\textcolor{red}{310}} \pm \sqrt[4]{\textcolor{red}{28}}$
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