Wurzeln addieren und subtrahieren
Ähnlich wie beim Potenzieren musst du auch bei der Wurzelrechnung bestimmte Rechengesetze beachten. In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Addition und Subtraktion von Wurzeln. Dabei geht es meist darum, einen Term aus Wurzeln zu vereinfachen, also so weit wie möglich zusammenzufassen.
Zunächst ein wichtiger Hinweis: Wurzeln können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie
- den gleichen Radikanden (der Wert unter der Wurzel) und
- den gleichen Wurzelexponenten (der Wert auf der Wurzel)
besitzen.
Außerdem müssen sie eine solche Form haben: $a \cdot \sqrt{b} $
Wurzeln addieren
Zwei Wurzeln werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.
$\textcolor{red}{6} \cdot \sqrt[2]{3} + \textcolor{red}{4} \cdot \sqrt[2]{3} = \textcolor{red}{(6 + 4)} \cdot \sqrt[2]{3} = \textcolor{red}{10} \cdot \sqrt[2]{3}$
Ist der Koeffizient $1$, wird er meist nicht mit aufgeschrieben.
$\sqrt[7]{6} + 3 \cdot \sqrt[7]{6} = (1 + 3) \cdot \sqrt[7]{6} = 4 \cdot \sqrt[7]{6}$
Beispiel
Beispiel
$7 \cdot \sqrt[5]{3} + 2 \cdot \sqrt[5]{3} = 9 \cdot \sqrt[5]{3}$
$12 \cdot \sqrt{5} + 5 \cdot \sqrt{5} = 17 \cdot \sqrt{5}$
$\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} = 2 \cdot \sqrt[3]{3}$
Merke
Merke
Zwei Wurzeln werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.
$\textcolor{red}{b} \cdot \sqrt[n]{a} + \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt[n]{a} = \textcolor{red}{(b + c)} \cdot \sqrt[n]{a}$
- Über 700 Lerntexte & Videos
- Über 250.000 Übungen & Lösungen
- Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
- Gratis Nachhilfe-Probestunde
Wurzeln subtrahieren
Das Subtrahieren von Wurzeln funktioniert ganz ähnlich wie das Addieren. Zwei Wurzeln werden subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten subtrahiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.
$\textcolor{red}{6} \cdot \sqrt[2]{3} - \textcolor{red}{4} \cdot \sqrt[2]{3} = \textcolor{red}{(6 - 4)} \cdot \sqrt[2]{3} = \textcolor{red}{2} \cdot \sqrt[2]{3}$
Beispiel
Beispiel
$10 \cdot \sqrt[4]{24} - 2 \cdot \sqrt[4]{24} = 8 \cdot \sqrt[4]{24}$
$5 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} = 4 \cdot \sqrt{3}$
$3 \cdot \sqrt[2]{3} - \sqrt[2]{3} = 2 \cdot \sqrt[2]{3}$
Merke
Merke
Zwei Wurzeln werden subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten subtrahiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.
$\textcolor{red}{b} \cdot \sqrt[n]{a} - \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt[n]{a} = \textcolor{red}{(b - c)} \cdot \sqrt[n]{a}$
Methode
Methode
Achtung!
Sehr oft werden Wurzeln fälschlicherweise auf dieselbe Weise addiert bzw. subtrahiert, wie sie multipliziert werden:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5}~~~~~~~~\textcolor{green}{RICHTIG}$
$\sqrt{4} \pm \sqrt{5} = \sqrt{4 \pm 5}~~~~\textcolor{red}{FALSCH}$
Wann können Wurzeln nicht addiert oder subtrahiert werden?
Das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln ist an viele Bedingungen geknüpft. Oft werden nicht alle diese Bedingungen erfüllt und du kannst die Wurzeln gar nicht miteinander verrechnen. Schauen wir uns an auf welche Probleme du treffen kannst:
1. Unterschiedliche Wurzelexponenten
Ist der Wurzelexponent nicht gleich, können Wurzeln nicht durch Addieren oder Subtrahieren zusammengefasst werden.
$\sqrt[\textcolor{red}{n}]{a} \pm \sqrt[\textcolor{red}{m}]{a} = / $
Beispiel
Beispiel
$\sqrt[\textcolor{red}{2}]{16} \pm \sqrt[\textcolor{red}{3}]{16}$
$\sqrt[\textcolor{red}{4}]{256} \pm \sqrt[\textcolor{red}{2}]{256}$
2. Unterschiedliche Radikanden
Du kannst auch keine Wurzeln durch Addieren oder Subtrahieren zusammenfassen, wenn sich unterhalb der Wurzel unterschiedliche Zahlen befinden.
$\sqrt[n]{\textcolor{red}{a}} \pm \sqrt[n]{\textcolor{red}{b}} = /$
Beispiel
Beispiel
$\sqrt{\textcolor{red}{5}} \pm \sqrt{\textcolor{red}{16}}$
$\sqrt[4]{\textcolor{red}{310}} \pm \sqrt[4]{\textcolor{red}{28}}$
Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben!
Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!
Teste dein Wissen!
Wie lässt sich dieser Term zusammenfassen?
$\sqrt{4} - 3 \cdot \sqrt{4}$
Wie lässt sich dieser Term zusammenfassen?
$3 \cdot \sqrt[3]{66} + 5 \cdot \sqrt[3]{66}$
Welcher Term lässt sich nicht zusammenfassen?
Welche Aussage ist richtig?
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema
Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!
Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.
- Sofort, ohne Termin
- Online-Chat 14 – 21 Uhr
- Erfahrene Mathematik-Lehrer
Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.
- Zum Wunschtermin
- Online-Einzelgespräch
- Geprüfte Nachhilfelehrer
Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.
- Zum Wunschtermin
- In deiner Stadt
- Geprüfte Nachhilfelehrer
- Nachhilfe Berlin
- Nachhilfe München
- Nachhilfe Nürnberg
- Nachhilfe Köln
- Nachhilfe Düsseldorf
- Nachhilfe Dortmund
- Nachhilfe Hamburg
- Nachhilfe Hannover
- Nachhilfe Bremen
- Nachhilfe Leipzig
- Nachhilfe Dresden
Standort nicht gefunden? Rund 1000 Nachhilfe-Standorte bundesweit!
Nachhilfe gesucht
Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.
- Über 250.000 Übungsaufgaben
- 700 Lernvideos
- Original-Abi-Klausuren
Unsere Kunden über den Studienkreis
Wir sind durchgehend für dich erreichbar
Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!
Dein Gratis-Lernpaket:
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
Schon registriert? Hier einloggen
Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Schon registriert? Hier einloggen
Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.
Dein Gratis-Lernpaket:
- Nachhilfe-Probestunden gratis
- Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
- Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
Bereits registriert? Hier einloggen