Online Lernen | Mathematik Aufgaben | Zahlenlehre und Rechengesetze Wurzelrechnung Wurzelrechnung: Übersicht über die Rechengesetze

Wurzelrechnung: Übersicht über die Rechengesetze

Es gibt viele Gesetzmäßigkeiten, die dir das Rechnen mit Wurzeln erleichtern. Wurzeln können addiert, miteinander multipliziert, voneinander subtrahiert, durcheinander dividiert, potenziert und selbst radiziert werden. Um bei all diesen mathematischen Operationen den Überblick zu behalten, fassen wir in diesem Lerntext alle Rechengesetze der Wurzelrechnung nochmal zusammen.

Wurzeln addieren

Wurzeln können nur unter ganz bestimmten Bedingungen addiert werden. Zum einen müssen sie gleichnamig sein, das heißt, sie müssen denselben Wurzelexponenten besitzen. Zum anderen müssen sie auch denselben Radikanden besitzen, das heißt, auch die Zahl unter der Wurzel muss dieselbe sein. Die eigentliche Addition findet zwischen den beiden Koeffizienten der Wurzeln statt.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Zwei Wurzeln werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.

$\textcolor{red}{b} \cdot \sqrt[n]{a} + \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt[n]{a} = \textcolor{red}{(b + c)} \cdot \sqrt[n]{a}$

Wurzeln subtrahieren

Ähnlich wie bei der Addition können Wurzeln auch nur dann voneinander subtrahiert werden, wenn sie denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden besitzen. Die eigentliche Subtraktion findet dann auch hier wieder zwischen den beiden Koeffizienten der Wurzeln statt.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Zwei Wurzeln werden subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten subtrahiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.

$\textcolor{red}{b} \cdot \sqrt[n]{a} - \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt[n]{a} = \textcolor{red}{(b - c)} \cdot \sqrt[n]{a}$

Wurzeln multiplizieren

Wurzeln müssen gleichnamig sein, um miteinander multipliziert werden zu können. Mit Hilfe der Erweiterung des Wurzelexponenten können wir aus ungleichnamigen Wurzeln gleichnamige machen. Die Zahlen unterhalb der Wurzeln (die Radikanden) können unterschiedlich oder gleich sein.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Gleichnamige Wurzeln werden multipliziert, indem die Radikanden miteinander multipliziert werden und zusammen unter eine Wurzel geschrieben werden.

$\sqrt[n]{\textcolor{blue}{a}} \cdot \sqrt[n]{\textcolor{red}{b}} = \sqrt[n]{\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}}$

Ungleichnamige Wurzeln werden multipliziert, indem sie zunächst durch die Erweiterung des Wurzelexponenten gleichnamig gemacht werden. 

Wurzeln dividieren

Ähnlich wie bei der Multiplikation funktioniert auch die Division von Wurzeln nur bei gleichnamigen Wurzeln. Sind die Wurzeln ungleichnamig, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden, mit Hilfe der Erweiterung des Wurzelexponenten. Die Zahlen unterhalb der Wurzel (die Radikanden) können unterschiedlich oder gleich sein.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Gleichnamige Wurzeln werden dividiert, indem die Radikanden durch einander dividiert werden und zusammen unter eine Wurzel geschrieben werden.

$\frac{\sqrt[n]{\textcolor{blue}{a}}}{\sqrt[n]{\textcolor{red}{b}}} = \sqrt[n]{\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}}}$

Ungleichnamige Wurzeln werden dividiert, indem sie zunächst durch die Erweiterung des Wurzelexponenten gleichnamig gemacht werden. 

Wurzeln potenzieren

Das Potenzieren von Wurzeln funktioniert bei jeder Art von Wurzel und ist an keine mathematischen Bedingungen geknüpft. Neben dieser Regel können potenzierte Wurzeln auch mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfacht werden.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Eine Wurzel wird mit einem Exponenten potenziert, indem man den Radikanden mit dem Exponenten potenziert.

$(\sqrt[m]{x})^\textcolor{red}{n} = \sqrt[m]{x^\textcolor{red}{n}}$

Wurzeln radizieren

Auch wenn es ungewöhnlich aussieht, kann auch von Wurzeln eine Wurzel gezogen werden. Die Wurzel wird also nochmal radiziert. Diese Doppelwurzeln lassen sich sehr leicht vereinfachen. In den meisten Fällen wird diese Regel rückwärts angewandt, um Wurzeln teilweise ausrechnen zu können.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Wurzeln werden radiziert, indem die Wurzelexponenten multipliziert werden und der Radikand beibehalten wird.

$\sqrt[\textcolor{red}{m}]{\sqrt[\textcolor{red}{n}]{x}} = \sqrt[\textcolor{red}{m} \cdot \textcolor{red}{n}]{x}$

Teste dein neu erlerntes Wissen jetzt mit unseren Übungsaufgaben! Viel Erfolg dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Du brauchst Hilfe? Frag einen Lehrer!

Lehrer jetzt sofort fragen

Wende dich direkt online ohne Termin per Video-Chat an einen unserer Lehrer der Mathematik-Hausaufgabenhilfe, täglich zwischen 14-21 Uhr.

Jetzt kostenlos fragen

Lehrer zum Wunschtermin fragen

Vereinbare einen Termin bei einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe-Online

Gratis Probestunde online

Du möchtest lieber einen Lehrer in einer unserer Nachhilfe-Schulen fragen? Dann wähle hier deine nächstgelegene Mathematik-Nachhilfe-Schule aus.

Gratis Probestunde vor Ort
TESTE KOSTENLOS UNSER SELBST-LERN-PORTAL:
  • Über 600 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
Diese Website verwendet Cookies für Analysen, personalisierte Inhalte und interessenbezogene Anzeigen. Indem Sie diese Website weiter nutzen, erklären Sie sich mit dieser Verwendung einverstanden. Weitere Informationen
7983