Wurzelrechnung: Übersicht über die Rechengesetze
Es gibt viele Gesetzmäßigkeiten, die dir das Rechnen mit Wurzeln erleichtern. Wurzeln können addiert, miteinander multipliziert, voneinander subtrahiert, durcheinander dividiert, potenziert und selbst radiziert werden. Um bei all diesen mathematischen Operationen den Überblick zu behalten, fassen wir in diesem Lerntext alle Rechengesetze der Wurzelrechnung nochmal zusammen.
Wurzeln addieren
Wurzeln können nur unter ganz bestimmten Bedingungen addiert werden. Zum einen müssen sie gleichnamig sein, das heißt, sie müssen denselben Wurzelexponenten besitzen. Zum anderen müssen sie auch denselben Radikanden besitzen, das heißt, auch die Zahl unter der Wurzel muss dieselbe sein. Die eigentliche Addition findet zwischen den beiden Koeffizienten der Wurzeln statt.
Merke
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Zwei Wurzeln werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.
$\textcolor{red}{b} \cdot \sqrt[n]{a} + \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt[n]{a} = \textcolor{red}{(b + c)} \cdot \sqrt[n]{a}$
Wurzeln subtrahieren
Ähnlich wie bei der Addition können Wurzeln auch nur dann voneinander subtrahiert werden, wenn sie denselben Wurzelexponenten und denselben Radikanden besitzen. Die eigentliche Subtraktion findet dann auch hier wieder zwischen den beiden Koeffizienten der Wurzeln statt.
Merke
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Zwei Wurzeln werden subtrahiert, indem man ihre Koeffizienten subtrahiert und den Wurzelexponenten und den Radikanden beibehält.
$\textcolor{red}{b} \cdot \sqrt[n]{a} - \textcolor{red}{c} \cdot \sqrt[n]{a} = \textcolor{red}{(b - c)} \cdot \sqrt[n]{a}$
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Wurzeln multiplizieren
Wurzeln müssen gleichnamig sein, um miteinander multipliziert werden zu können. Mit Hilfe der Erweiterung des Wurzelexponenten können wir aus ungleichnamigen Wurzeln gleichnamige machen. Die Zahlen unterhalb der Wurzeln (die Radikanden) können unterschiedlich oder gleich sein.
Merke
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Gleichnamige Wurzeln werden multipliziert, indem die Radikanden miteinander multipliziert werden und zusammen unter eine Wurzel geschrieben werden.
$\sqrt[n]{\textcolor{blue}{a}} \cdot \sqrt[n]{\textcolor{red}{b}} = \sqrt[n]{\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{red}{b}}$
Ungleichnamige Wurzeln werden multipliziert, indem sie zunächst durch die Erweiterung des Wurzelexponenten gleichnamig gemacht werden.
Wurzeln dividieren
Ähnlich wie bei der Multiplikation funktioniert auch die Division von Wurzeln nur bei gleichnamigen Wurzeln. Sind die Wurzeln ungleichnamig, müssen sie zunächst gleichnamig gemacht werden, mit Hilfe der Erweiterung des Wurzelexponenten. Die Zahlen unterhalb der Wurzel (die Radikanden) können unterschiedlich oder gleich sein.
Merke
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Gleichnamige Wurzeln werden dividiert, indem die Radikanden durch einander dividiert werden und zusammen unter eine Wurzel geschrieben werden.
$\frac{\sqrt[n]{\textcolor{blue}{a}}}{\sqrt[n]{\textcolor{red}{b}}} = \sqrt[n]{\frac{\textcolor{blue}{a}}{\textcolor{red}{b}}}$
Ungleichnamige Wurzeln werden dividiert, indem sie zunächst durch die Erweiterung des Wurzelexponenten gleichnamig gemacht werden.
Wurzeln potenzieren
Das Potenzieren von Wurzeln funktioniert bei jeder Art von Wurzel und ist an keine mathematischen Bedingungen geknüpft. Neben dieser Regel können potenzierte Wurzeln auch mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfacht werden.
Merke
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Eine Wurzel wird mit einem Exponenten potenziert, indem man den Radikanden mit dem Exponenten potenziert.
$(\sqrt[m]{x})^\textcolor{red}{n} = \sqrt[m]{x^\textcolor{red}{n}}$
Wurzeln radizieren
Auch wenn es ungewöhnlich aussieht, kann auch von Wurzeln eine Wurzel gezogen werden. Die Wurzel wird also nochmal radiziert. Diese Doppelwurzeln lassen sich sehr leicht vereinfachen. In den meisten Fällen wird diese Regel rückwärts angewandt, um Wurzeln teilweise ausrechnen zu können.
Merke
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Wurzeln werden radiziert, indem die Wurzelexponenten multipliziert werden und der Radikand beibehalten wird.
$\sqrt[\textcolor{red}{m}]{\sqrt[\textcolor{red}{n}]{x}} = \sqrt[\textcolor{red}{m} \cdot \textcolor{red}{n}]{x}$
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Wie lässt sich diese Wurzel vereinfachen?
$\sqrt[4]{\sqrt{85}}$
Wie lässt sich diese Wurzel vereinfachen?
$(\sqrt[5]{32})^2$
Wie lassen sich diese Wurzeln miteinander verrechnen?
$\sqrt{100}\cdot \sqrt{2}$
Wie lassen sich die Wurzeln miteinander verrechnen?
$2 \cdot \sqrt[3]{50} + 3 \cdot \sqrt[3]{50}$
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