Die Definitionsmenge und die Lösungsmenge sind in der Mathematik wichtige Werte, mit denen Funktionen näher bestimmt werden können. In diesem Kapitel werden wir die beiden Begriffe erklären und dazu Beispiele geben. Mit den Übungen zu diesem Kapitel kannst du dein Wissen festigen.
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Definitionsmenge
Die Definitionsmenge oder auch der Definitionsbereich beschreibt den Bereich, in dem eine Funktion definiert ist. Dies ist notwendig, denn in der Schulmathematik gibt es zwei Regeln, die nicht gebrochen werden dürfen:
$\cdot \; Teile\; niemals \;durch \;Null.$
$\cdot \; Aus \;einer\; negativen\; Zahl\; darf \;man \;nicht\; die\; Wurzel \;ziehen.$
Damit diese beiden Regeln auch eingehalten werden, gibt es den Definitionsbereich. Dieser sagt dir, welche Werte x in der Funktion überhaupt annehmen darf. Betrachten wir das Ganze an einem Beispiel:
Beispiel
Gegeben ist der die Funktion $f(x)= \large{\frac{2}{x}}$.
Diese Funktion hat den Definitionsbereich: $\mathbb{D}=\{x ∈ ℝ| x \neq 0 \}$
Die Funktion kann also alle x-Werte annehmen, bis auf den Wert $0$, denn eine $0$ im Nenner macht den Bruch unlösbar. Der Definitionsbereich regelt also, welche Werte nicht eingesetzt werden dürfen.
Genauso sieht es bei einem $x$ unterhalb einer Wurzel aus. Bei der folgenden Funktion darf $x$ nur positive Werte annehmen:
$\sqrt{x}$
Wir schreiben: $\mathbb{D} = \{x ∈ ℝ| x \ge 0\}$ oder $\mathbb{D}=ℝ^{\ge 0}$.
Merke
Der Definitionsbereich ist der Bereich, in dem die Funktion lösbar ist. Er umfasst also alle Werte, die x annehmen darf, der Definitionsbereich regelt, welche Werte nicht eingesetzt werden dürfen.
$D= \{ x ∈ ℝ| x \neq Wert\}$ oder verkürzt $\mathbb{D}=ℝ^{\ge Wert}$.
Lösungsmenge
Die Lösungsmenge bestimmt den oder die Werte, die für $x$ eingesetzt werden, damit man die Funktion lösen kann. Hierbei gibt es drei verschiedene Möglichkeiten für eine Lösungsmenge:
Die Funktion hat keine Lösung
Die Funktion lässt sich nicht lösen, weil etwa ein Wert unter der Wurzel entsteht, der negativ ist. Hierbei gibt es dann keine Lösungsmenge. Man schreibt hierfür die leere Menge: $\mathbb{L}= \{\}$.
Die Funktion hat eine Lösung
Die Funktion hat genau eine Lösung. Hierbei wird der Wert dann in geschweifte Klammern geschrieben, etwa: $\mathbb{L}= \{2\}$.
Die Funktion hat mehrere Lösungen
Die Funktion kann aber auch mehrere Lösungen haben, wenn du etwa eine lösbare Wurzel hast. Hierbei werden dann die beiden Werte angegeben, die möglich sind. Getrennt werden die Werte durch ein Komma, etwa: $\mathbb{L}= \{-3,3\}$.
Merke
Jede Funktion hat eine Lösungsmenge. Diese kann entweder keinen, einen oder mehrere Werte beinhalten, die für die Variable eingesetzt werden können, damit die Funktion lösbar ist. Man schreibt:
$\mathbb{L}= \{\}$. Hierbei wird in die geschweiften Klammern die Lösung eingetragen.
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!
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