Drittes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Potenz
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit dem dritten Logarithmusgesetz.
Merke
3. Logarithmusgesetz:
Der Logarithmus einer Potenz entspricht dem Exponenten mal dem Logarithmus der Basis der Potenz.
$\log_{a}(x^y) = y\cdot \log_{a}(x)$
Beispiele für das dritte Logarithmusgesetz
Beispiel
(1) $\log_{2}(64^3) = 3\cdot \log_{2}(64) = 3 \cdot 6 = 18$
(2) $\log_{5}(25^9) = 9\cdot \log_{5}(25) = 9 \cdot 2 = 18$
(3) $\log_{7}(343^{12}) = 12 \cdot \log_{7}(343) = 12 \cdot 3 = 36$
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Herleitung des dritten Logarithmusgesetzes
Wann brauchen wir das dritte Logarithmusgesetz? Schauen wir uns folgendes Beispiel an:
$\log_{a}(x^y)$
Wieso soll das ein Problem sein? Man kann die Potenz doch einfach ausrechnen und hat eine ganz normale Dezimalzahl im Logarithmus: $\log_{2}(5^2) = \log_{2}(25) = 0,215$
Doch was machen wir, wenn der Exponent im Logarithmus unbekannt ist: $\log_{2}(5^x)$
Um dieses mathematische Problem zu lösen, müssen wir $x$ isolieren. Wie wir einen unbekannten Exponenten isolieren, ist dir natürlich klar: Wir wenden den Logarithmus an. Aber was, wenn dieser unbekannte Exponent selber schon im Logarithmus steht? Soll man etwa doppelt logarithmieren? Die Antwort ist zum Glück nein, denn es gibt eine viel einfachere Variante. Dazu muss man die Regeln des 3. Logarithmusgesetztes befolgen, welches wir jetzt genauer herleiten wollen.
Um den Gedankengang richtig verstehen zu können, schauen wir uns erstmal ein Beispiel an, bei dem der Exponent bekannt ist. Anschließend erhalten wir eine Gesetzmäßigkeit, mit der sich dann auch unbekannte Exponenten berechnen lassen.
$\log_{3}(3^5)$
Gehen wir dieses Problem so an, wie wir es von den Potenzen her gewöhnt sind. Wir schreiben diese erst einmal aus:
$\log_{3}(3^5) = \log_{3}(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3)$
Wir erhalten einen Logarithmus mit einem Produkt in der Klammer. Und schon kannst du eben Erlerntes anwenden, denn du weißt, wie man Produkte im Logarithmus auch anders schreiben kann. Wenn nicht, gehe noch einmal zurück zum ersten Logarithmusgesetz, laut dem der Logarithmus eines Produktes der Summe der Logarithmen der Faktoren entspricht. Wenden wir diese Regeln an, erhalten wir folgendes:
$\log_{3}(3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3) = \log_{3}(3) + \log_{3}(3) + \log_{3}(3) + \log_{3}(3) + \log_{3}(3)$
Die einzelnen Terme dieser Summe sind gleich, somit kannst du sie zusammenfassen zu:
$\log_{3}(3) + \log_{3}(3) + \log_{3}(3) + \log_{3}(3) + \log_{3}(3) = 5\cdot \log_{3}(3) $
Methode
Achtung: dein Vorwissen ist gefragt!
Summen lassen sich wie folgt zusammenfassen: $ a + a + a = 3\cdot a$
Vergleichen wir die zwei Schreibweisen, sollte dir etwas auffallen:
$\log_{3}(3^5) = 5\cdot \log_{3}(3) $
Wie du siehst wird der Exponent einfach vor den Logarithmus gezogen. Diese Regel lässt sich verallgemeinern und gibt dir eine denkbar einfache Methode einen unbekannten Exponenten zu isolieren.
Merke
3. Logarithmusgesetz:
Der Logarithmus einer Potenz entspricht dem Exponenten mal dem Logarithmus der Basis.
$\log_{a}(x^y) = y\cdot \log_{a}(x)$
Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, eines Quotienten oder einer Wurzel.
Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!
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