Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Wie löse ich Exponentialgleichungen?

Inhaltsverzeichnis:

 Exponentialgleichungen zeichnen sich durch eine unbekannte Variable im Exponenten aus:

$a = b^x + c~~~~~~~15 = 3^x + 9$

Dein Ziel bei solchen Aufgaben wird immer sein, $x$ zu isolieren und auszurechnen. Dein wichtigstes Werkzeug ist dabei das dritte Logarithmusgesetz

Schauen wir uns verschiedene Herangehensweisen zum Lösen einer Exponentialgleichung an:

1. Fall: Anwendung des dritten Logarithmusgesetzes

Betrachten wir folgende Gleichung: $1000 = 2^x$

Logarithmieren wir die Gleichung zunächst. Dabei benutzen wir 10 als Basis: $\log_{10}()$ oder auch $\lg_{}()$

$1000 = 2^x$

$ \lg_{}(1000) = \lg_{}(2^x)$

Mit Hilfe des dritten Logarithmusgesetztes kannst du den rechten Term umformen:

$ \lg_{}(1000) = x \cdot \lg_{}(2)$

Um $x$ zu isolieren, teilen wir durch $\lg_{}(2)$ und erhalten:

$\frac{\lg_{}(1000)}{\lg_{}(2)} = x$

Jetzt kannst du die beiden Logarithmen mit Hilfe des Taschenrechners teilen und erhältst für $x$ einen Wert, den du in der Regel auf zwei Nachkommastellen rundest:

$ x = 9,96$

2. Fall: Isolierung der Variable und Anwendung des dritten Logarithmusgesetz

Nun versuchen wir unser anfängliches Beispiel zu lösen:

$15 = 3^x + 9$

In diesem Fall müssen wir erst die $9$ und die $15$ auf eine Seite bringen. Dies funktioniert sehr gut, wenn du von beiden Seiten $9$ subtrahierst.

$15 = 3^x + 9~~~~~|-9$

$15 - 9 = 3^x$

$6 = 3^x$

Von nun an verfährst du wie oben: Du logarithmierst, isolierst $x$ nach den Regeln des dritten Logarithmusgesetztes und rechnest es aus:

$ \lg_{}(6) = \lg_{}(3^x)$

$ \lg_{}(6) = x \cdot \lg_{}(3)$

$\frac{\lg_{}(6)}{\lg_{}(3)} = x$

$ x = 1,63$

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

3. Fall: Brüche in Exponentialfunktionen

Leider bleiben die Aufgaben nicht immer so einfach. Um folgende Aufgabe zu lösen, brauchst du mehr Übung:

$\frac{4}{3^{2x}} - \frac{2}{3^x} = 0$

Die Variablen müssen zunächst voneinander getrennt werden, indem man $\frac{2}{3^x}$ auf beiden Seiten addiert:

$\frac{4}{3^{2x}} - \frac{2}{3^x} = 0~~~~~| +\frac{2}{3^x}$

$\frac{4}{3^{2x}} = \frac{2}{3^x}$

Die unbekannte Variable befindet sich in diesem Beispiel nicht nur im Exponenten, sondern auch noch im Nenner eines Bruches, was die Isolierung deutlich schwieriger macht. Als erstes muss der Exponent also aus dem Bruch herausgeholt werden. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit dem Hauptnenner $3^{2x}$

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Hauptnenner: Kleinstes gemeinsames Vielfaches der Nenner mehrerer Brüche.

$\frac{4}{3^{2x}} = \frac{2}{3^x}$   | $\cdot 3^{2x}$

$\frac{4\cdot 3^{2x}}{3^{2x}} = \frac{2\cdot 3^{2x} }{3^x}$

Wir haben gelernt, dass man diese Potenz $3^{2x}$ auch so schreiben kann:$3^x \cdot 3^x$. Setzt man diese alternative Schreibweise nun in unsere Gleichung ein, lässt sich der Bruch kürzen:

$\frac{4\cdot 3^{2x}}{3^{2x}} = \frac{2\cdot 3^x \cdot 3^x }{3^x}$

$4 =  2\cdot 3^x $

Jetzt kannst du so verfahren, wie schon bei den anderen beiden Aufgaben: Variablen separieren, logarithmieren, drittes Logarithmusgesetz anwenden und ausrechnen:

$4 =  2\cdot 3^x $   | $:2$

$\frac{4}{2} = 3^x$   |$lg$

$\lg_{}(\frac{4}{2}) = \lg_{}(3^x)$   |$3. LG$

$\lg_{}(\frac{4}{2}) = x\cdot \lg_{}(3)$   |$: \lg_{}(3)$

$\frac{\lg_{}(\frac{4}{2})}{\lg_{}(3)} = x$

$x \approx 0,63$

Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen

Wie du siehst, können die Aufgaben auch sehr schwierig werden. Dabei bleiben die Grundschritte aber immer dieselben. Zunächst muss die unbekannte Variable auf eine Seite gebracht werden. Dieser Schritt kann mal einfacher oder mal schwieriger sein. Danach wird die unbekannte Variable isoliert, logarithmiert und das dritte Logarithmusgesetz angewendet. Du stößt beim Lösen einer Exponentialgleichung immer wieder auf einen solchen Ausdruck: $\frac{\lg_{}(a)}{\lg _{}(b)} = x$

Bist du an dieser Stelle erst einmal angekommen, musst du nur noch das Ergebnis mit Hilfe des Taschenrechners ausrechnen.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen
  1. Variable auf eine Seite der Gleichung bringen.
  2. Isolierung der Variable.
  3. Logarithmieren.
  4. Anwendung des 3. Logarithmusgesetzes.

Nun weißt du, wie man Exponentialgleichungen mithilfe von Logarithmusgesetzen lösen kann. Vertiefe dein neues Wissen in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Welches Logarithmusgesetz hilft dir beim Lösen von Exponentialgleichungen ganz besonders?

Teste dein Wissen!

Wann hilft dir der Logarithmus?

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Der ... ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner mehrerer Brüche.
Was fehlt in der Lücke? Markiere den gesuchten Begriff.

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Löse die Exponentialgleichung $358 = 7^x + 15$ und markiere die richtige Antwort.

Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis!

Selbst-Lernportal Online

Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du in unserem Selbst-Lernportal. Bei Fragen helfen dir unsere Lehrer der online Hausaufgabenhilfe - sofort ohne Termin!

  • Online-Chat 14-20 Uhr
  • 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungsaufgaben

Jetzt kostenlos entdecken

Einzelnachhilfe Online

Du benötigst Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik-Nachhilfe Online. Lehrer zum Wunschtermin online fragen!

Gratis Probestunde

Nachhilfe in deiner Nähe

Du möchtest Hilfe von einem Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt erhalten? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

Gratis Probestunde

Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

23.08.2022
Sehr schnell Nachhilfestunden bekommen und Kind konnte den Lehrer bestimmen mit dem das Kind sich wohl fühlte
16.08.2022
Netter Kontakt, super Nachhilfe Lehrer. Die noten meines Kindes hat sich im halben Jahr super verbessert....
12.08.2022 , von Eva B.
Meine Tochter hätte es ohne die exzellente Nachhilfe beim Studienkreis in Mathe und Physik nicht geschafft, Zensuren zu erreichen, die eine Versetzung erlauben.
Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

Potenzen addieren - so funktioniert's
Allgemeine Betrachtung einer Potenz
Potenzen - Definition und Beispiele
Potenzen mit negativem Exponenten
Potenzen multiplizieren, dividieren, potenzieren - gleiche Basis
Potenzen multiplizieren, dividieren - gleicher Exponent
Potenzen subtrahieren - so funktioniert's
L?ngeneinheiten
Zehnerpotenzen, Einheiten und wissenschaftliche Schreibweise
Übersicht zu allen Potenzgesetzen
Brüche addieren und subtrahieren - So geht's
So werden Brüche dividiert: Regeln und Erklärung
Einhalb und zwei Viertel.
Brüche kürzen und erweitern - so geht's richtig!
Brüche multiplizieren: Erklärung und Übungen
Was ist ein Bruch? - Definition und Beispiele
Bruchrechnung: verschiedene Brucharten
Wie viel Prozent der K?stchen sind gef?rbt?
Brüche umwandeln in Prozente - so geht's richtig!
Brüche vergleichen und ordnen
Logarithmus mit der Basis a und dem Numerus b.
Dekadischer, binärer und natürlicher Logarithmus
Drittes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Potenz
Erstes Logarithmusgesetz: Logarithmus eines Produkts
Wie löse ich Exponentialgleichungen?
Logarithmus mit der Basis a und dem Numerus b.
Kehrwertsätze des Logarithmus
Logarithmus
Was ist ein Logarithmus?
Was ist der Logarithmus?
Logarithmusgleichungen lösen einfach erklärt
Viertes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Wurzel
Zweites Logarithmusgesetz: Logarithmus eines Quotienten
Logarithmusgesetze - Übersicht und Beispiele
Wie funktioniert das Heron-Verfahren?
Was sind Quadrat- und Kubikwurzeln?
Wie funktioniert das teilweise Wurzelziehen?
Wie funktioniert das teilweise Wurzelziehen?
Wurzelrechnung: Übersicht über die Rechengesetze
Wurzeln gleichnamig machen: Wurzelexponent erweitern
Wurzelgleichungen lösen - Beispiele und Übungen
Wurzeln addieren und subtrahieren
Wurzeln multiplizieren und dividieren
Wurzeln potenzieren und radizieren
Wie bestimme ich eine Definitionsmenge?
Mengen und Elemente in der Mathematik
Leere Menge, Teilmenge, Schnittmenge und Vereinigungsmenge
Überblick: Zahlenmengen einfach erklärt
ganze Zahlen
Zahlenmengen: natürliche und ganze Zahlen
Primzahlen: Besondere Zahlen
Zahlenmengen im Vergleich
Zahlenmengen: rationale, irrationale und reelle Zahlen
Was ist ein Intervall?
Zahlenstrahl
Zahlenstrahl, Zahlengerade, Betragsfunktion einfach erklärt
Polynomdivision - so funktioniert's
Polynomdivision - so funktioniert's
Was bedeutet der Rest bei Polynomdivisionen?
Nullstellen berechnen mit Polynomdivision
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen
Verhältnisse berechnen einfach erklärt
Zusammengesetzter Dreisatz - Doppelter Dreisatz
Dreisatz - Aufgaben, Erklärung und Berechnung
Die vier Regeln zur Multiplikation rationaler Zahlen
Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen - so funktioniert's
Was sind rationale Zahlen? Eine einfache Erklärung
Regeln zur Addition rationaler Zahlen
Rechnen mit rationalen Zahlen
Vedische Mathematik - Multiplikation Rechentricks
Kopfrechnen: zweistellige Zahlen multiplizieren
Grundrechenart: so funktioniert die Addition
schriftliche Division Beispiel: 112 : 4
Grundrechenart: so funktioniert die Division
schriftliche Multiplikation
Multiplizieren - Grundrechenart in der Mathematik
Subtraktionsstrahl
Schriftliches Subtrahieren - so geht's richtig!
das kleine Ein-Mal-Eins
Das kleine und das große Einmaleins - Tabelle und Übungen
Schriftliche Multiplikation von 24 mal 2
Schriftliche Multiplikation - Aufgaben und Einführung
Erster Schritt der Beispieldivision
Schriftlich Dividieren mit Komma
Assoziativgesetz - Übungen & Aufgaben
So funktioniert die Punkt- vor Strichrechnung
Distributivgesetz - Übungen, Erklärung & Aufgaben
Kommutativgesetz - Übungen & Aufgaben
Was ist ein Term in der Mathematik?
Termumformungen und Klammern - Übungen
R?mische Zahlensymbole
Römische Zahlen und Ziffern richtig lesen und umrechnen
Zahlenstrahl von 1 bis 10
Zahlen der Größe nach ordnen und vergleichen
Zahlen runden - Mit diesen Regeln geht's richtig
Drei verschiedene Dreiecke
Maßstab umrechnen und berechnen - so geht's richtig!
Bin?rsystem
Zweiersystem/Dualsystem leicht erklärt
Wie berechnet man den größten gemeinsamen Teiler (ggT)?
Division von 472 durch 8
Teilbarkeitsregeln: Endziffernregel
Teilbarkeitsregeln: Quersummenregel
Summen- und Differenzenregel - Teilbarkeit
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) berechnen
Zerlegungstabelle der zahl 60
Primfaktorzerlegung: Primfaktoren berechnen
Teiler und Vielfache einer Zahl
uhr
Zeiteinheiten umrechnen - Tabelle und Übungen
umwandlung_flaeche
Fläche und Volumen - Einheiten umrechnen
umwandlung_von_t_in_mg
Gewichtseinheiten umrechnen - Tabelle
umwandlung_meter
Längeneinheiten umrechnen - Tabelle und Übungen
Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz einfach erklärt
Prozentuale Veränderung, Prozentfaktor und -satz
Promille berechnen und in Prozent umrechnen
Zusammenhang zwischen Prozentangabe und Dezimalzahl.
Wie funktioniert die Prozentrechnung?
Zinseszins: Formel und Erklärung
Zinsrechnung: Formeln und Übungen
Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig

Wir benötigen deine Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um den am besten geeigneten Lehrer zu ermitteln. Deine Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir dir telefonisch stellen könnten:

  • "Für welche Tage und Uhrzeiten wünschst du Nachhilfe?"
  • "In welchem Fach und bei welchen Themen wird Unterstützung benötigt?"
Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 gratis Probestunden & unverbindliche Beratung

In einem unverbindlichen Beratungsgespräch lernen wir uns kennen und Ihr Kind kann unsere Profi-Nachhilfe in 2 Probestunden gratis testen.

1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Finden Sie den Studienkreis in Ihrer Nähe!
Geben Sie hier Ihre PLZ oder Ihren Ort ein.

Füllen Sie einfach das Formular aus. Den Gutschein sowie die Kontaktdaten des Studienkreises in Ihrer Nähe erhalten Sie per E-Mail. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis setzt sich mit Ihnen in Verbindung und berät Sie gerne!

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
7930