Wie löse ich Exponentialgleichungen?
Exponentialgleichungen zeichnen sich durch eine unbekannte Variable im Exponenten aus:
$a = b^x + c~~~~~~~15 = 3^x + 9$
Dein Ziel bei solchen Aufgaben wird immer sein, $x$ zu isolieren und auszurechnen. Dein wichtigstes Werkzeug ist dabei das dritte Logarithmusgesetz .
Schauen wir uns verschiedene Herangehensweisen zum Lösen einer Exponentialgleichung an:
1. Fall: Anwendung des dritten Logarithmusgesetzes
Betrachten wir folgende Gleichung: $1000 = 2^x$
Logarithmieren wir die Gleichung zunächst. Dabei benutzen wir 10 als Basis: $\log_{10}()$ oder auch $\lg_{}()$
$1000 = 2^x$
$ \lg_{}(1000) = \lg_{}(2^x)$
Mit Hilfe des dritten Logarithmusgesetztes kannst du den rechten Term umformen:
$ \lg_{}(1000) = x \cdot \lg_{}(2)$
Um $x$ zu isolieren, teilen wir durch $\lg_{}(2)$ und erhalten:
$\frac{\lg_{}(1000)}{\lg_{}(2)} = x$
Jetzt kannst du die beiden Logarithmen mit Hilfe des Taschenrechners teilen und erhältst für $x$ einen Wert, den du in der Regel auf zwei Nachkommastellen rundest:
$ x = 9,96$
2. Fall: Isolierung der Variable und Anwendung des dritten Logarithmusgesetz
Nun versuchen wir unser anfängliches Beispiel zu lösen:
$15 = 3^x + 9$
In diesem Fall müssen wir erst die $9$ und die $15$ auf eine Seite bringen. Dies funktioniert sehr gut, wenn du von beiden Seiten $9$ subtrahierst.
$15 = 3^x + 9~~~~~|-9$
$15 - 9 = 3^x$
$6 = 3^x$
Von nun an verfährst du wie oben: Du logarithmierst, isolierst $x$ nach den Regeln des dritten Logarithmusgesetztes und rechnest es aus:
$ \lg_{}(6) = \lg_{}(3^x)$
$ \lg_{}(6) = x \cdot \lg_{}(3)$
$\frac{\lg_{}(6)}{\lg_{}(3)} = x$
$ x = 1,63$
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3. Fall: Brüche in Exponentialfunktionen
Leider bleiben die Aufgaben nicht immer so einfach. Um folgende Aufgabe zu lösen, brauchst du mehr Übung:
$\frac{4}{3^{2x}} - \frac{2}{3^x} = 0$
Die Variablen müssen zunächst voneinander getrennt werden, indem man $\frac{2}{3^x}$ auf beiden Seiten addiert:
$\frac{4}{3^{2x}} - \frac{2}{3^x} = 0~~~~~| +\frac{2}{3^x}$
$\frac{4}{3^{2x}} = \frac{2}{3^x}$
Die unbekannte Variable befindet sich in diesem Beispiel nicht nur im Exponenten, sondern auch noch im Nenner eines Bruches, was die Isolierung deutlich schwieriger macht. Als erstes muss der Exponent also aus dem Bruch herausgeholt werden. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit dem Hauptnenner $3^{2x}$
Gut zu wissen
Hinweis
Hauptnenner: Kleinstes gemeinsames Vielfaches der Nenner mehrerer Brüche.
$\frac{4}{3^{2x}} = \frac{2}{3^x}$ | $\cdot 3^{2x}$
$\frac{4\cdot 3^{2x}}{3^{2x}} = \frac{2\cdot 3^{2x} }{3^x}$
Wir haben gelernt, dass man diese Potenz $3^{2x}$ auch so schreiben kann:$3^x \cdot 3^x$. Setzt man diese alternative Schreibweise nun in unsere Gleichung ein, lässt sich der Bruch kürzen:
$\frac{4\cdot 3^{2x}}{3^{2x}} = \frac{2\cdot 3^x \cdot 3^x }{3^x}$
$4 = 2\cdot 3^x $
Jetzt kannst du so verfahren, wie schon bei den anderen beiden Aufgaben: Variablen separieren, logarithmieren, drittes Logarithmusgesetz anwenden und ausrechnen:
$4 = 2\cdot 3^x $ | $:2$
$\frac{4}{2} = 3^x$ |$lg$
$\lg_{}(\frac{4}{2}) = \lg_{}(3^x)$ |$3. LG$
$\lg_{}(\frac{4}{2}) = x\cdot \lg_{}(3)$ |$: \lg_{}(3)$
$\frac{\lg_{}(\frac{4}{2})}{\lg_{}(3)} = x$
$x \approx 0,63$
Regeln zum Lösen von Exponentialgleichungen
Wie du siehst, können die Aufgaben auch sehr schwierig werden. Dabei bleiben die Grundschritte aber immer dieselben. Zunächst muss die unbekannte Variable auf eine Seite gebracht werden. Dieser Schritt kann mal einfacher oder mal schwieriger sein. Danach wird die unbekannte Variable isoliert, logarithmiert und das dritte Logarithmusgesetz angewendet. Du stößt beim Lösen einer Exponentialgleichung immer wieder auf einen solchen Ausdruck: $\frac{\lg_{}(a)}{\lg _{}(b)} = x$
Bist du an dieser Stelle erst einmal angekommen, musst du nur noch das Ergebnis mit Hilfe des Taschenrechners ausrechnen.
Merke
Merke
- Variable auf eine Seite der Gleichung bringen.
- Isolierung der Variable.
- Logarithmieren.
- Anwendung des 3. Logarithmusgesetzes.
Nun weißt du, wie man Exponentialgleichungen mithilfe von Logarithmusgesetzen lösen kann. Vertiefe dein neues Wissen in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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