Wurzeln gleichnamig machen: Wurzelexponent erweitern
Wurzeln können anhand ihres Wurzelexponenten miteinander verglichen werden und in gleichnamige und ungleichnamige Wurzeln unterteilt werden. Für viele Rechnungen, wie etwa das Multiplizieren oder Dividieren von Wurzeln, benötigt man gleichnamige Wurzeln. Es ist daher wichtig, dass du weißt, wie man ungleichnamige Wurzeln in gleichnamige Wurzeln umformt. Dies macht man, indem man den Wurzelexponenten erweitert. Doch schauen wir uns zunächst an, was überhaupt gleichnamige und ungleichnamige Wurzeln sind.
Gleichnamige und ungleichnamige Wurzeln
Ob Wurzeln gleichnamig oder ungleichnamig sind, hängt vom Wurzelexponenten ab, das heißt von der Zahl, die auf der Wurzel steht. So gelten zwei Wurzeln als gleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten besitzen und als ungleichnamig, wenn sie unterschiedliche Wurzelexponenten besitzen.
Merke
Wurzeln sind gleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten besitzen:
$\sqrt[\textcolor{red}{n}]{a}$ und $\sqrt[\textcolor{red}{n}]{b}$
Wurzeln sind ungleichnamig, wenn sie unterschiedliche Wurzelexponenten besitzen:
$\sqrt[\textcolor{red}{n}]{a}$ und $\sqrt[\textcolor{red}{m}]{b}$
Das heißt natürlich auch, dass du immer zwei Wurzeln benötigst, um die Begriffe gleichnamig und ungleichnamig anwenden zu können, da du immer zwei Wurzelexponenten miteinander vergleichst. Der Wert unterhalb der Wurzel, den man auch Radikand nennt, spielt dabei keine Rolle. Die Radikanden der beiden Wurzeln können also gleich oder auch ungleich sein.
Beispiel
Ungleichnamige Wurzeln
$\sqrt{24}$ und $\sqrt[3]{56}$
$\sqrt[3]{90}$ und $\sqrt[5]{90}$
Gleichnamige Wurzeln
$\sqrt{54}$ und $\sqrt{9}$
$\sqrt[4]{543}$ und $\sqrt[4]{670}$
$\sqrt[3]{27}$ und $\sqrt[3]{27}$
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Den Wurzelexponenten erweitern: aus ungleichnamig wird gleichnamig
Ungleichnamige Wurzeln stellen dich häufig vor ein Problem, so kannst du beispielsweise nur gleichnamige Wurzeln multiplizieren oder dividieren. Umso wichtiger ist es, dass du weißt, wie man aus ungleichnamigen Wurzeln gleichnamige Wurzeln macht. Die Methode, die du dafür anwenden musst, nennt sich Erweiterung des Wurzelexponenten.
Betrachten wir folgendes Beispiel zweier ungleichnamiger Wurzeln:
$\sqrt[2]{24}$ und $\sqrt[3]{56}$
In einem ersten Schritt musst du das sogenannte kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Wurzelexponenten herausfinden.
Methode
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen ist die kleinste Zahl, die sowohl ein Vielfaches der einen Zahl als auch ein Vielfaches der anderen Zahl ist.
Beispiel: Das kgV der Zahlen $4$ und $22$ ist $44$, weil
$4 \cdot 11 = 44$ und
$22 \cdot 2 = 44$.
$44$ ist ein Vielfaches von $4$ und $22$.
Im Beispiel sind die Wurzelexponenten $2$ und $3$. Das kgV der Wurzelexponenten ist also $6$.
kgV($2, 3$) $= \textcolor{red}{6}$
Im zweiten Schritt multiplizierst du nun den Wurzelexponenten mit der Zahl, mit der er $\textcolor{red}{6}$ ergibt. Um den mathematischen Ausdruck nicht zu verändern, musst du außerdem den Exponenten der Zahl unterhalb der Wurzel mit dieser Zahl multiplizieren. In unserem Beispiel ist der Exponent der Zahl unterhalb der Wurzel beide Male $1$.
$\sqrt[2]{24} \rightarrow \sqrt[2 \cdot \textcolor{red}{3}]{24^{1 \cdot \textcolor{red}{3}}} = \sqrt[\textcolor{red}{6}]{24^3} = \sqrt[\textcolor{red}{6}]{13.824}$
$\sqrt[3]{56} \rightarrow \sqrt[3 \cdot \textcolor{red}{2}]{56^{1 \cdot \textcolor{red}{2}}} = \sqrt[\textcolor{red}{6}]{56^2} = \sqrt[\textcolor{red}{6}]{3.136}$
Durch die Erweiterung des Wurzelexponenten erhalten wir zwei gleichnamige Wurzeln, die gut miteinander verrechnet werden können.
Merke
Wurzeln gleichnamig machen:
1. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) der Wurzelexponenten bestimmen.
2. Wurzelexponenten auf kleinstes gemeinsames Vielfaches erweitern:
$\sqrt[n]{a^b} \rightarrow \sqrt[n \cdot \textcolor{red}{m}]{a^{b \cdot \textcolor{red}{m}}}$
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