Primzahlen: Besondere Zahlen

Primzahlen: Was ist eine Primzahl?

Alle Primzahlen lassen sich also nur durch sich selbst oder durch die Zahl $1$ dividieren. Schauen wir uns das einmal an:

Wir haben die Zahlen $\textcolor{green}{15}$ und $\textcolor{blue}{11}$.

Durch welche Zahlen können wir diese beiden Zahlen teilen, ohne dass eine Nachkommastelle entsteht?

$\textcolor{green}{15} : 1 = 15$

$\textcolor{green}{15} : 3 = 5$

Wir stellen schon hier fest, dass sich die $15$ durch die $3$ teilen lässt, ohne dass eine Nachkommastelle bei der Division entsteht. Somit ist die Zahl $15$ keine Primzahl. Bei der Zahl $11$ sieht es wie folgt aus:

$\textcolor{blue}{11}:1= 11$

$\textcolor{blue}{11}:11=1$

Die Zahl $11$ ist eine Primzahl, weil sie nur durch sich selbst und durch die Zahl $1$ teilbar ist, ohne eine Nachkommastelle zu ergeben.

Alle Primzahlen sind besonders wichtig, wenn es um die Vereinfachung von Brüchen geht. Hierbei wird versucht, die Zahlen im Nenner und im Zähler soweit wie möglich zu vereinfachen. Dies geschieht mithilfe der Primfaktorzerlegung.

Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung (oder auch Primzahlenzerlegung genannt) ist die Zerlegung einer Zahl in eine Multiplikation aus Primzahlen. Schauen wir uns das an einem Beispiel an:

Die Primfaktorzerlegung ist die Zerlegung der Zahlen in die kleinsten möglichen Primzahlen. Die Primfaktorzerlegung kann dir auch beim Kürzen von Brüchen helfen:

$\Large{\frac{120}{300}= \frac{2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 5 \cdot 5}}$

Wenn du zum Kürzen noch die gleichen Primzahlen in Nenner und Zähler wegstreichst, ergibt sich:

$\Large{\frac{\not{2} \cdot \textcolor{blue}{2}\cdot \not{2} \cdot \not{3} \cdot \not{5}}{\not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{3}\cdot \not{5} \cdot \textcolor{blue}{5}}= \textcolor{blue}{\frac{2}{5}}}$

Die Frage: "Was ist eine Primzahl?" oder "Wie erkenne ich Primzahlen?", kannst du dir nun beantworten. Zur Vertiefung des Themas schau auch noch einmal in die Aufgaben zur Primzahlenzerlegung! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!