Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Primzahlen: Besondere Zahlen

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Text schauen wir uns gemeinsam die Primzahlen und ihre Eigenschaften an und klären die Frage, was eine Primzahl ist.

Die Primzahlen sind eine besondere Zahlenmenge, die komplett im Bereich der natürlichen Zahlen liegen. Sie haben im Vergleich zu allen anderen natürlichen Zahlen, spezielle Eigenschaften, was sie zu einer besonderen Zahlenmenge macht.

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Die natürlichen Zahlen sind alle Zahlen von 1 bis unendlich. Die Schreibweise ist:

$\Large{ℕ = (1,2,3,4,..., \infty)}$, oder

$\Large{ℕ_{+} = (1,2,3,4,..., \infty)}$

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Primzahlen: Was ist eine Primzahl?

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Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch sich selbst oder durch $\; 1 $ geteilt werden kann, ohne dass eine Nachkommastelle entsteht.

Beispiele hierfür sind die Zahlen:

$2,3,5,7,11,13,..$

Alle Primzahlen lassen sich also nur durch sich selbst oder durch die Zahl $1$ dividieren. Schauen wir uns das einmal an:

Wir haben die Zahlen $\textcolor{green}{15}$ und $\textcolor{blue}{11}$.

Durch welche Zahlen können wir diese beiden Zahlen teilen, ohne dass eine Nachkommastelle entsteht?

$\textcolor{green}{15} : 1 = 15$

$\textcolor{green}{15} : 3 = 5$

Wir stellen schon hier fest, dass sich die $15$ durch die $3$ teilen lässt, ohne dass eine Nachkommastelle bei der Division entsteht. Somit ist die Zahl $15$ keine Primzahl. Bei der Zahl $11$ sieht es wie folgt aus:

$\textcolor{blue}{11}:1= 11$

$\textcolor{blue}{11}:11=1$

Die Zahl $11$ ist eine Primzahl, weil sie nur durch sich selbst und durch die Zahl $1$ teilbar ist, ohne eine Nachkommastelle zu ergeben.

Alle Primzahlen sind besonders wichtig, wenn es um die Vereinfachung von Brüchen geht. Hierbei wird versucht, die Zahlen im Nenner und im Zähler soweit wie möglich zu vereinfachen. Dies geschieht mithilfe der Primfaktorzerlegung.

Primfaktorzerlegung

Die Primfaktorzerlegung (oder auch Primzahlenzerlegung genannt) ist die Zerlegung einer Zahl in eine Multiplikation aus Primzahlen. Schauen wir uns das an einem Beispiel an:

Beispiel

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Nehmen wir die Zahl $60$. Diese ist durch die Zahl $2$ teilbar. Wir zerlegen sie also in:
$\textcolor{blue}{2 \cdot} 30$.

Die weitere Zerlegung ergibt:

$\textcolor{blue}{2 \cdot 2 \cdot} 15= \textcolor{blue}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}$.

Somit ist die Primfaktorzerlegung der Zahl $60= 2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5$.

Die Primfaktorzerlegung ist die Zerlegung der Zahlen in die kleinsten möglichen Primzahlen. Die Primfaktorzerlegung kann dir auch beim Kürzen von Brüchen helfen:

$\Large{\frac{120}{300}= \frac{2 \cdot 2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 2 \cdot 3\cdot 5 \cdot 5}}$

Wenn du zum Kürzen noch die gleichen Primzahlen in Nenner und Zähler wegstreichst, ergibt sich:

$\Large{\frac{\not{2} \cdot \textcolor{blue}{2}\cdot \not{2} \cdot \not{3} \cdot \not{5}}{\not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{3}\cdot \not{5} \cdot \textcolor{blue}{5}}= \textcolor{blue}{\frac{2}{5}}}$

Die Frage: "Was ist eine Primzahl?" oder "Wie erkenne ich Primzahlen?", kannst du dir nun beantworten. Zur Vertiefung des Themas schau auch noch einmal in die Aufgaben zur Primzahlenzerlegung! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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$1024$

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