Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Nullstellen berechnen mit Polynomdivision

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Kapitel werden wir klären, inwieweit die Polynomdivision zum Ausrechnen von Nullstellen als Alternative zur pq-Formel dienen kann und was bzw. wie das Ergebnis einer Polynomdivision zu bewerten ist.

Gut zu wissen

Hinweis

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Warum Polynomdivision? Bei der Polynomdivision dividierst du ganze Polynome, also mehr als zwei durch Plus- oder Minuszeichen miteinander verbundene Glieder einer Funktion. Also zum Beispiel die Funktion $x^3-3x^2-6x+8$.

Nullstellenberechnung mit der Polynomdivision

Die Polynomdivision spielt in der Mathematik vor allem bei der Nullstellenberechnung von Funktionen eine große Rolle. Sie wird dort angewendet, wo die pq-Formel nicht angewendet werden kann. Damit eine Polynomdivision ohne Rest durchgeführt werden kann, benötigt man nur eine Nullstelle der Funktion und kann die Funktion so einen kleinen Schritt vereinfachen. Allerdings kann das Erraten einer passenden Nullstelle eine große Schwierigkeit sein. Hierfür benutzen wir einen kleinen Trick. Dieser kann jedoch nur unter folgenden Bedingungen funktionieren:

1. Die Funktion hat nur ganzzahlige Koeffizienten und die Funktion besitzt ganzzahlige Nullstellen.

2. Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, dann ist eine der Nullstellen ein Teiler des absoluten Gliedes der Funktion.

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Polynomdivision - Beispiel

Schauen wir uns einmal ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

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Gegeben ist die Funktion $x^3-3x^2-6x+8$

Bei dieser Funktion lässt sich nicht die pq-Formel anwenden, weil wir nicht nur einen $x^2$-Wert, sondern auch ein $x^3$-Wert haben. Somit müssen wir, wenn wir die Nullstellen ausrechnen wollen, die Polynomdivision verwenden.

Um nicht bei jeder Zahl prüfen zu müssen, ob diese eine Nullstelle der Funktion ist, betrachten wir die oben beschriebenen Bedingungen. Diese besagen, dass die Funktion nur ganzzahlige Koeffizienten besitzen darf. Wenn wir uns die Funktion anschauen, stellen wir fest, dass alle Zahlen, die in der Funktion auftreten, keine Nachkommastellen haben, somit zur Menge der ganzen Zahlen gehören. Diese Bedingung ist erfüllt.

Die zweite Bedingung ist, dass es überhaupt ganzzahlige Nullstellen gibt. Da wir noch keine Nullstellen haben, können wir die Bedingung nicht überprüfen. Wir gehen aber davon aus, dass sie wahr ist. Somit können wir mithilfe der Teiler des absoluten Gliedes eine Nullstelle herausfinden.

Das absolute Glied in einer Funktion ist immer der Zahlenwert, an dem kein x-Wert angegliedert ist, hier also die $8$.

Die Teiler von $8$ sind $1, 2$ und $4$, sowie die negativen Zahlen $-1, -2$ und $-4$.

Somit haben wir die möglichen ganzzahligen Nullstellen auf sechs mögliche Stellen reduziert. Bei diesen führen wir jetzt nach und nach die Polynomdivision durch, bis wir eine Lösung ohne Rest erhalten und somit eine Nullstelle der Funktion gefunden haben. Fangen wir für die Nullstellenbestimmung mit dem Teiler $+1$ an. In der Polynomdivision eingesetzt, wäre das folglich:

$(x^3-3x^2-6x+8):(x-1)$

Die Vorzeichen werden bei der Polynomdivision immer vertauscht. Aus dem Wert $+1$ wird $-1$ und umgekehrt.

Wenn wir die Polynomdivision durchführen erhalten wir:

$(x^3-3x^2-6x+8):(x-1)=x^2 - 2x - 8 $

-$(x^3-x^2)$

———————————

$\;\;\;\;\;\;-2x^2-6x$

$-\;\;\;\;\;\;(-2x^2+2x)$

———————————

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-8x+8$

$ -\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(-8x+8)$

———————————

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{0}$

Nach der Polynomdivision stellen wir fest, dass die Funktion an der x-Koordinate $1$ eine Nullstelle hat. Die Lösung der Polynomdivision kann jetzt mithilfe der pq-Formel weiter auf Nullstellen überprüft werden. Wir stellen dabei fest, dass die anderen beiden Nullstellen der Funktion an den Stellen $N_{2}(-2|0)$ und $N_{3}(4|0)$ liegen. Somit sind drei der sechs Teiler des absoluten Gliedes auch Nullstellen der Funktion. Dies muss jedoch nicht bei jeder Funktion der Fall sein.

Merke

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Die Polynomdivision ist eine Methode zur Berechnung von Nullstellen einer Funktion.

Um die Polynomdivision durchführen zu können, benötigen wir eine Nullstelle der Funktion.

Wenn keine Nullstelle gegeben ist, muss eine erraten werden. 

Hat die Funktion nur ganzzahlige Koeffizienten und besitzt ganzzahlige Nullstellen, dann ist eine der Nullstellen ein Teiler des absoluten Gliedes der Funktion.

Das absolute Glied ist der Wert der Funktion, der keine Variable beinhaltet.

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Bilde schriftlich die Polynomdivision aus folgender Funktion: $(x^2+4x+4):(x+2)$

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Bilde schriftlich die Polynomdivision aus folgender Funktion: $(x^3+x^2+3x+3):(x+1)$

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Bilde schriftlich die Polynomdivision aus folgender Funktion: $(x^2+4x+3):(x+3)$

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