Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Nullstellen berechnen mit Polynomdivision

Inhaltsverzeichnis:

In diesem Kapitel werden wir klären, inwieweit die Polynomdivision zum Ausrechnen von Nullstellen als Alternative zur pq-Formel dienen kann und was bzw. wie das Ergebnis einer Polynomdivision zu bewerten ist.

Gut zu wissen

Hinweis

Hier klicken zum Ausklappen

Warum Polynomdivision? Bei der Polynomdivision dividierst du ganze Polynome, also mehr als zwei durch Plus- oder Minuszeichen miteinander verbundene Glieder einer Funktion. Also zum Beispiel die Funktion $x^3-3x^2-6x+8$.

Nullstellenberechnung mit der Polynomdivision

Die Polynomdivision spielt in der Mathematik vor allem bei der Nullstellenberechnung von Funktionen eine große Rolle. Sie wird dort angewendet, wo die pq-Formel nicht angewendet werden kann. Damit eine Polynomdivision ohne Rest durchgeführt werden kann, benötigt man nur eine Nullstelle der Funktion und kann die Funktion so einen kleinen Schritt vereinfachen. Allerdings kann das Erraten einer passenden Nullstelle eine große Schwierigkeit sein. Hierfür benutzen wir einen kleinen Trick. Dieser kann jedoch nur unter folgenden Bedingungen funktionieren:

1. Die Funktion hat nur ganzzahlige Koeffizienten und die Funktion besitzt ganzzahlige Nullstellen.

2. Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, dann ist eine der Nullstellen ein Teiler des absoluten Gliedes der Funktion.

Teste kostenlos unser Selbst-Lernportal
  • Über 700 Lerntexte & Videos
  • Über 250.000 Übungen & Lösungen
  • Sofort-Hilfe: Lehrer online fragen
  • Gratis Nachhilfe-Probestunde

Polynomdivision - Beispiel

Schauen wir uns einmal ein Beispiel an:

Beispiel

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen

Gegeben ist die Funktion $x^3-3x^2-6x+8$

Bei dieser Funktion lässt sich nicht die pq-Formel anwenden, weil wir nicht nur einen $x^2$-Wert, sondern auch ein $x^3$-Wert haben. Somit müssen wir, wenn wir die Nullstellen ausrechnen wollen, die Polynomdivision verwenden.

Um nicht bei jeder Zahl prüfen zu müssen, ob diese eine Nullstelle der Funktion ist, betrachten wir die oben beschriebenen Bedingungen. Diese besagen, dass die Funktion nur ganzzahlige Koeffizienten besitzen darf. Wenn wir uns die Funktion anschauen, stellen wir fest, dass alle Zahlen, die in der Funktion auftreten, keine Nachkommastellen haben, somit zur Menge der ganzen Zahlen gehören. Diese Bedingung ist erfüllt.

Die zweite Bedingung ist, dass es überhaupt ganzzahlige Nullstellen gibt. Da wir noch keine Nullstellen haben, können wir die Bedingung nicht überprüfen. Wir gehen aber davon aus, dass sie wahr ist. Somit können wir mithilfe der Teiler des absoluten Gliedes eine Nullstelle herausfinden.

Das absolute Glied in einer Funktion ist immer der Zahlenwert, an dem kein x-Wert angegliedert ist, hier also die $8$.

Die Teiler von $8$ sind $1, 2$ und $4$, sowie die negativen Zahlen $-1, -2$ und $-4$.

Somit haben wir die möglichen ganzzahligen Nullstellen auf sechs mögliche Stellen reduziert. Bei diesen führen wir jetzt nach und nach die Polynomdivision durch, bis wir eine Lösung ohne Rest erhalten und somit eine Nullstelle der Funktion gefunden haben. Fangen wir für die Nullstellenbestimmung mit dem Teiler $+1$ an. In der Polynomdivision eingesetzt, wäre das folglich:

$(x^3-3x^2-6x+8):(x-1)$

Die Vorzeichen werden bei der Polynomdivision immer vertauscht. Aus dem Wert $+1$ wird $-1$ und umgekehrt.

Wenn wir die Polynomdivision durchführen erhalten wir:

$(x^3-3x^2-6x+8):(x-1)=x^2 - 2x - 8 $

-$(x^3-x^2)$

———————————

$\;\;\;\;\;\;-2x^2-6x$

$-\;\;\;\;\;\;(-2x^2+2x)$

———————————

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;-8x+8$

$ -\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(-8x+8)$

———————————

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\underline{0}$

Nach der Polynomdivision stellen wir fest, dass die Funktion an der x-Koordinate $1$ eine Nullstelle hat. Die Lösung der Polynomdivision kann jetzt mithilfe der pq-Formel weiter auf Nullstellen überprüft werden. Wir stellen dabei fest, dass die anderen beiden Nullstellen der Funktion an den Stellen $N_{2}(-2|0)$ und $N_{3}(4|0)$ liegen. Somit sind drei der sechs Teiler des absoluten Gliedes auch Nullstellen der Funktion. Dies muss jedoch nicht bei jeder Funktion der Fall sein.

Merke

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

Die Polynomdivision ist eine Methode zur Berechnung von Nullstellen einer Funktion.

Um die Polynomdivision durchführen zu können, benötigen wir eine Nullstelle der Funktion.

Wenn keine Nullstelle gegeben ist, muss eine erraten werden. 

Hat die Funktion nur ganzzahlige Koeffizienten und besitzt ganzzahlige Nullstellen, dann ist eine der Nullstellen ein Teiler des absoluten Gliedes der Funktion.

Das absolute Glied ist der Wert der Funktion, der keine Variable beinhaltet.

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Wir wünschen dir viel Erfolg dabei!

autoren-mathematik

Dein Autorenteam für Mathematik: Simon Wirth und Fabian Serwitzki

Diese Lernseite ist Teil eines interaktiven Online-Kurses zum Thema Mathematik. Das Mathematik-Team erklärt dir alles Wichtige zu deinem Mathematik-Unterricht!

Übungsaufgaben

Teste dein Wissen!

Teste dein Wissen!

Bilde schriftlich die Polynomdivision aus folgender Funktion: $(x^2+4x+4):(x+2)$

Teste dein Wissen!

Bilde schriftlich die Polynomdivision aus folgender Funktion: $(x^3+x^2+3x+3):(x+1)$

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Bilde schriftlich die Polynomdivision aus folgender Funktion: $(x^2+4x+3):(x+3)$

Diese und weitere PDF-Übungsaufgaben findest du in unserem Selbst-Lernportal. Registriere dich jetzt gratis und lerne sofort weiter!
Teste dein Wissen!

Markiere die richtigen Aussagen.

(Es können mehrere Antworten richtig sein)
Aufgabenblätter & Lösungen
Mit wenigen Klicks die passenden Aufgaben und Lösungen zum Üben und Selbst-Lernen finden.
Mathematik > Zahlenlehre und Rechengesetze

Weitere Erklärungen & Übungen zum Thema

Potenzen addieren - so funktioniert's
Allgemeine Betrachtung einer Potenz
Potenzen - Definition und Beispiele
Potenzen mit negativem Exponenten
Potenzen multiplizieren, dividieren, potenzieren - gleiche Basis
Potenzen multiplizieren, dividieren - gleicher Exponent
Potenzen subtrahieren - so funktioniert's
L?ngeneinheiten
Zehnerpotenzen, Einheiten und wissenschaftliche Schreibweise
Übersicht zu allen Potenzgesetzen
Brüche addieren und subtrahieren - So geht's
So werden Brüche dividiert: Regeln und Erklärung
Einhalb und zwei Viertel.
Brüche kürzen und erweitern - so geht's richtig!
Brüche multiplizieren: Erklärung und Übungen
Was ist ein Bruch? - Definition und Beispiele
Bruchrechnung: verschiedene Brucharten
Wie viel Prozent der K?stchen sind gef?rbt?
Brüche umwandeln in Prozente - so geht's richtig!
Brüche vergleichen und ordnen
Logarithmus mit der Basis a und dem Numerus b.
Dekadischer, binärer und natürlicher Logarithmus
Drittes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Potenz
Erstes Logarithmusgesetz: Logarithmus eines Produkts
Wie löse ich Exponentialgleichungen?
Logarithmus mit der Basis a und dem Numerus b.
Kehrwertsätze des Logarithmus
Logarithmus
Was ist ein Logarithmus?
Was ist der Logarithmus?
Logarithmusgleichungen lösen einfach erklärt
Viertes Logarithmusgesetz: Logarithmus einer Wurzel
Zweites Logarithmusgesetz: Logarithmus eines Quotienten
Logarithmusgesetze - Übersicht und Beispiele
Wie funktioniert das Heron-Verfahren?
Was sind Quadrat- und Kubikwurzeln?
Wie funktioniert das teilweise Wurzelziehen?
Wie funktioniert das teilweise Wurzelziehen?
Wurzelrechnung: Übersicht über die Rechengesetze
Wurzeln gleichnamig machen: Wurzelexponent erweitern
Wurzelgleichungen lösen - Beispiele und Übungen
Wurzeln addieren und subtrahieren
Wurzeln multiplizieren und dividieren
Wurzeln potenzieren und radizieren
Wie bestimme ich eine Definitionsmenge?
Mengen und Elemente in der Mathematik
Leere Menge, Teilmenge, Schnittmenge und Vereinigungsmenge
Überblick: Zahlenmengen einfach erklärt
ganze Zahlen
Zahlenmengen: natürliche und ganze Zahlen
Primzahlen: Besondere Zahlen
Zahlenmengen im Vergleich
Zahlenmengen: rationale, irrationale und reelle Zahlen
Was ist ein Intervall?
Zahlenstrahl
Zahlenstrahl, Zahlengerade, Betragsfunktion einfach erklärt
Polynomdivision - so funktioniert's
Polynomdivision - so funktioniert's
Was bedeutet der Rest bei Polynomdivisionen?
Nullstellen berechnen mit Polynomdivision
Proportionale und antiproportionale Zuordnungen
Verhältnisse berechnen einfach erklärt
Zusammengesetzter Dreisatz - Doppelter Dreisatz
Dreisatz - Aufgaben, Erklärung und Berechnung
Die vier Regeln zur Multiplikation rationaler Zahlen
Multiplizieren und Dividieren rationaler Zahlen - so funktioniert's
Was sind rationale Zahlen? Eine einfache Erklärung
Regeln zur Addition rationaler Zahlen
Rechnen mit rationalen Zahlen
Vedische Mathematik - Multiplikation Rechentricks
Kopfrechnen: zweistellige Zahlen multiplizieren
Grundrechenart: so funktioniert die Addition
schriftliche Division Beispiel: 112 : 4
Grundrechenart: so funktioniert die Division
schriftliche Multiplikation
Multiplizieren - Grundrechenart in der Mathematik
Subtraktionsstrahl
Schriftliches Subtrahieren - so geht's richtig!
das kleine Ein-Mal-Eins
Das kleine und das große Einmaleins - Tabelle und Übungen
Schriftliche Multiplikation von 24 mal 2
Schriftliche Multiplikation - Aufgaben und Einführung
Erster Schritt der Beispieldivision
Schriftlich Dividieren mit Komma
Assoziativgesetz - Übungen & Aufgaben
So funktioniert die Punkt- vor Strichrechnung
Distributivgesetz - Übungen, Erklärung & Aufgaben
Kommutativgesetz - Übungen & Aufgaben
Was ist ein Term in der Mathematik?
Termumformungen und Klammern - Übungen
R?mische Zahlensymbole
Römische Zahlen und Ziffern richtig lesen und umrechnen
Zahlenstrahl von 1 bis 10
Zahlen der Größe nach ordnen und vergleichen
Zahlen runden - Mit diesen Regeln geht's richtig
Drei verschiedene Dreiecke
Maßstab umrechnen und berechnen - so geht's richtig!
Bin?rsystem
Zweiersystem/Dualsystem leicht erklärt
Wie berechnet man den größten gemeinsamen Teiler (ggT)?
Division von 472 durch 8
Teilbarkeitsregeln: Endziffernregel
Teilbarkeitsregeln: Quersummenregel
Summen- und Differenzenregel - Teilbarkeit
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) berechnen
Zerlegungstabelle der zahl 60
Primfaktor­zerlegung: Primfaktoren berechnen
Teiler und Vielfache einer Zahl
uhr
Zeiteinheiten umrechnen - Tabelle und Übungen
umwandlung_flaeche
Fläche und Volumen - Einheiten umrechnen
umwandlung_von_t_in_mg
Gewichtseinheiten umrechnen - Tabelle
umwandlung_meter
Längeneinheiten umrechnen - Tabelle und Übungen
Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz einfach erklärt
Prozentuale Veränderung, Prozentfaktor und -satz
Promille berechnen und in Prozent umrechnen
Zusammenhang zwischen Prozentangabe und Dezimalzahl.
Wie funktioniert die Prozentrechnung?
Zinseszins: Formel und Erklärung
Zinsrechnung: Formeln und Übungen
Du brauchst Hilfe?

Hol dir Hilfe beim Studienkreis und frag einen Lehrer!

Lehrer sofort fragen

Du benötigst Hilfe bei einer Aufgabe? Nutze die Mathematik-Hausaufgabenhilfe und bespreche deine Aufgabe sofort ohne Termin per Online-Chat mit einem Mathematik-Lehrer.

  • Sofort, ohne Termin
  • Online-Chat 14 – 20 Uhr
  • Erfahrene Mathematik-Lehrer
Jetzt Lehrer kostenlos fragen
Lehrer zum Wunschtermin online fragen

Du benötigst häufiger Hilfe in Mathematik? Dann vereinbare einen Termin bei einem Lehrer unserer Mathematik Online-Nachhilfe und verbessere deine Mathematik-Kenntnisse.

  • Zum Wunschtermin
  • Online-Einzelgespräch
  • Geprüfte Nachhilfelehrer
Gratis Probestunde vereinbaren
Lehrer zum Wunschtermin in deiner Nähe fragen

Du möchtest lieber einen Lehrer der Mathematik-Nachhilfe aus deiner Stadt im persönlichen und direkten Gespräch fragen? Dann vereinbare einen Termin in einer Nachhilfeschule in deiner Nähe.

  • Zum Wunschtermin
  • In deiner Stadt
  • Geprüfte Nachhilfelehrer

Gratis Probestunde vereinbaren

Selbst-Lernportal
Wissen vertiefen und selber üben

Du möchtest mehr Aufgaben? Zugriff auf alle Aufgaben erhältst du im Studienkreis Lernportal.

  • Über 250.000 Übungsaufgaben
  • 700 Lernvideos
  • Original-Abi-Klausuren
Jetzt kostenlos entdecken
Bewertungen

Unsere Kunden über den Studienkreis

anonymisiert, vom

Meinem Kind gefällt der ganze Unterricht, wie schön dieser gestaltet ist.

l j., vom

Sehr motivierter Nachhilfe-Mathelehrer.

anonymisiert, vom

Noch Fragen?

Wir sind durchgehend für dich erreichbar

0800 111 12 20
(kostenlos und jederzeit)
TÜV-Gütesiegel - Servicequalität Nachhilfe
Service-Champions - Studienkreis - Nr. 1 der Nachhilfeanbieter
n-tv Siegel Testsieger Nachhilfe Studienkreis 2019
WirtschaftsWoche - Höchstes Kundenvertrauen
DtGV-App-Award 2021
Online-Nachhilfe im Gratis-Paket kostenlos testen

Jetzt registrieren und kostenlose Probestunde anfordern.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig

Wir benötigen deine Telefonnummer zur Absprache von möglichen Unterrichtsterminen und um den am besten geeigneten Lehrer zu ermitteln. Deine Daten werden nicht an Dritte weitergegeben.

Hier ein paar Beispiele für Fragen, die wir dir telefonisch stellen könnten:

  • "Für welche Tage und Uhrzeiten wünschst du Nachhilfe?"
  • "In welchem Fach und bei welchen Themen wird Unterstützung benötigt?"
Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Hausaufgaben-Soforthilfe im Gratis-Paket kostenlos testen!

Jetzt registrieren und Lehrer sofort kostenlos im Chat fragen.

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Online Lern-Bibliothek kostenlos testen!

Jetzt registrieren und direkt kostenlos weiterlernen!

Dein Gratis-Lernpaket:

  • Lern-Bibliothek: 1 Tag Gratis-Zugang
  • Hausaufgaben-Soforthilfe: 15 Gratis-Minuten
  • Nachhilfe-Probestunden gratis
1 Kontaktdaten angeben
2 Fertig
Deine Daten werden von uns nur zur Bearbeitung deiner Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen findest du hier: www.studienkreis.de/datenschutz/
Gutschein für 2 Probestunden GRATIS & unverbindliche Beratung

In den Probestunden kann Ihr Kind uns testen und die Nachhilfe im Studienkreis kennenlernen.

In einem unverbindlichen Beratungsgespräch mit Ihnen, finden wir gemeinsam die optimale Förderung für Ihr Kind.

1 Standort wählen
2 Kontaktdaten angeben
3 Fertig

Finden Sie den Studienkreis in Ihrer Nähe!
Geben Sie hier Ihre PLZ oder Ihren Ort ein.

Füllen Sie einfach das Formular aus. Den Gutschein sowie die Kontaktdaten des Studienkreises in Ihrer Nähe erhalten Sie per E-Mail. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis setzt sich mit Ihnen in Verbindung und berät Sie gerne!

Die Studienkreisleitung Ihres Standorts wird sich mit Ihnen in Verbindung setzen um einen Beratungstermin zu vereinbaren falls Sie dies noch nicht online getan haben.

Ihre Daten werden von uns nur zur Bearbeitung Ihrer Anfrage gespeichert und verarbeitet. Weitere Informationen finden Sie hier: www.studienkreis.de/datenschutz/

Vielen Dank für Ihr Interesse!

Wir haben Ihnen eine E-Mail geschickt. Der von Ihnen ausgewählte Studienkreis wird sich schnellstmöglich mit Ihnen in Verbindung setzen und Sie beraten.

*2 x 45 Min. als Doppelstunde in einer kleinen, fachbezogenen Lerngruppe von drei bis max. fünf Schülern. Nur ein Gutschein pro Kunde. Gilt nur für Neukunden und nur in teilnehmenden Niederlassungen.
Nachhilfe mit Geld-zurück Garantie: Wenn Sie mit der Leistung Ihres Studienkreises nicht zufrieden sind, teilen Sie uns dies einfach bis zum Ende des ersten Monats mit. Dann endet Ihr Vertrag und Sie bekommen Ihr Geld ganz unbürokratisch zurück. Die Garantie gilt für alle Nachhilfe-Laufzeitverträge mit maximal acht Unterrichtseinheiten im ersten Monat – egal ob Unterricht in der kleinen Lerngruppe, Einzelunterricht oder Nachhilfe zur Prüfungsvorbereitung. Sie gilt nur in teilnehmenden Standorten und nicht für stundenweise gebuchte Nachhilfe (Kontingentvertrag).
8624