Erstes Logarithmusgesetz: Logarithmus eines Produkts

Herleitung des ersten Logarithmusgesetzes

Betrachten wir folgendes Problem:

$\log_{a}(x\cdot y) = z $

Bei solchen Rechnungen ist meist x oder y eine unbekannte Zahl. Um diese herauszufinden musst du sie aus der Klammer des Logarithmus herausziehen. Wie das funktioniert, schauen wir uns jetzt an. Schreiben wir die einzelnen Logarithmen einmal getrennt voneinander auf, um uns ins Gedächtnis zu rufen, für was diese eigentlich stehen:

Für $x$ und $y$ kann ich also auch die Potenzen $a^m$ und $a^n$ einsetzen.

$\log_{a}(a^m\cdot a^n) = z $

Aus dem nicht zusammenfassbaren Produkt $x\cdot y$ haben wir ein Produkt aus zwei Potenzen mit gleicher Basis gemacht: $a^m\cdot a^n$. An dieser Stelle sollten deine mathematischen Alarmglocken klingeln, da ein Produkt zweier Potenzen gleicher Basis geradezu danach schreit, zusammengefasst zu werden. Wenn dir diese Möglichkeit nicht logisch erscheint, solltest du noch einmal unseren Lerntext zu den Potenzgesetzen lesen.

$\log_{a}(a^{m+n}) = z $

Dieser Logarithmus lässt sich wiederum in eine Potenz umwandeln: $\log_{a}(a^{m+n}) = z    a^z = a^{m+n}$

Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass $z = m + n$ ist.

Bevor wir weiter machen, sollten wir nochmal unsere Gedanken (und Buchstaben) ordnen. Wir wissen aus der Problemstellung, dass $z = \log_{a}(x\cdot y) $ ist. Wir können $z$ aber auch durch $z = m + n$ beschreiben. Wissen wir was m und n ist? Glücklicherweise ja, wenn du in den oberen, grünen Kasten schaust, definieren sich m und n durch:

$m = \log_{a}(x)$ 

$n = \log_{a}(y)$

Wir haben also alles, was wir brauchen, um $z$ neu zu definieren. Setzen wir m und n in $z = m + n$ ein erhalten wir:

$z = \log_{a}(x) + \log_{a}(y)$

Damit sind wir schon am Ziel angelangt: Wir haben einen neuen Ausdruck für $z$ gefunden, bei dem $x$ und $y$ nicht im selben Logarithmus stehen. Wäre einer der Buchstaben bekannt, ließe sich die Gleichung lösen. Um das Gesetz zu formulieren, schreiben wir anstatt $z$ wieder die Ausgangsgleichung hin:

$\log_{a}(x\cdot y) = z = \log_{a}(x) + \log_{a}(y)$

Die Herleitung solcher Rechenregeln kommt dir zurecht sehr schwierig vor, gleichzeitig ist es aber doch gut, dass all diese komplizierten Schritte am Ende eine simple Formel ergeben.

Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Quotienten, einer Potenz oder einer Wurzel. 

Du kannst dein neu erlerntes Wissen jetzt mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!